Esercizi: Area

Un artigiano sta costruendo dadi giganti di legno per una ludoteca. Se ogni dado è un cubo perfetto con spigolo $a = 12 \text{ cm}$, calcola la superficie totale di legno che dovrà verniciare per ciascun dado.

Calcola l'area totale di una scatola da scarpe a forma di parallelepipedo rettangolo le cui dimensioni sono $15 \text{ cm}$ di larghezza, $30 \text{ cm}$ di lunghezza e $10 \text{ cm}$ di altezza. Disegna in modo schematico il suo sviluppo piano per aiutarti nel calcolo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per un progetto di tecnologia devi rivestire con carta adesiva un portamatite cilindrico. Il portamatite ha raggio di base $r = 4 \text{ cm}$ e altezza $h = 12 \text{ cm}$. Calcola quanti centimetri quadrati di carta ti serviranno, sapendo che il portamatite è aperto in alto (ha una sola base). Usa $\pi \approx 3,14$.

Una tenda da giardino ha la forma di un prisma triangolare retto regolare. La base è un triangolo equilatero di lato $l = 3 \text{ m}$. Se la lunghezza della tenda (altezza del prisma) è $5 \text{ m}$, calcola l'area laterale della tenda (senza includere le due basi triangolari).

Trova l'area totale di una piramide quadrangolare regolare sapendo che il lato del quadrato di base misura $8 \text{ cm}$ e l'apotema delle sue facce laterali misura $10 \text{ cm}$.

Un pallone da basket ha raggio $r = 12 \text{ cm}$. Calcola la superficie di cuoio necessaria per realizzarlo, arrotondando il risultato a due cifre decimali. (Ricorda che l'area della sfera è $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$).

Osserva lo sviluppo piano di questo solido. Se ciascuno dei triangoli isosceli ha area $15 \text{ cm}^2$ e il quadrato centrale ha lato $6 \text{ cm}$, qual è l'area totale della figura una volta montata? Quale solido si forma?

Calcola l'area laterale di un cilindro la cui circonferenza di base misura $C = 25,12 \text{ cm}$ e la cui altezza è $h = 10 \text{ cm}$. (Suggerimento: ricorda che aprendo il cilindro, l'area laterale è un rettangolo la cui base è la lunghezza della circonferenza).

Marco vuole rivestire con carta adesiva un portamatite di forma cilindrica. Il portamatite è aperto nella parte superiore, la sua base circolare ha raggio $4\text{ cm}$ e la sua altezza è $12\text{ cm}$. Per calcolare la quantità di carta necessaria, Marco annota sul quaderno:\n- Area laterale: $A_L = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 12 \approx 301,59\text{ cm}^2$\n- Area della base: $A_{base} = \pi \cdot 4^2 \approx 50,27\text{ cm}^2$\n- Area totale: $A_T = A_L + 2 \cdot A_{base} = 301,59 + 2 \cdot 50,27 = 402,13\text{ cm}^2$\na) Indica l'errore di ragionamento geometrico commesso da Marco, tenendo conto della funzione dell'oggetto da rivestire.\nb) Spiega quale modifica va fatta alla formula dell'area totale a partire dallo sviluppo piano di un cilindro aperto in alto.\nc) Calcola la superficie reale di carta adesiva che Marco deve ritagliare (usa $\pi \approx 3,14$).

Per gli allenamenti scolastici della Federazione Italiana Giuoco Handball si usano palloni regolamentari sferici di taglia 2, il cui raggio è $8,5\text{ cm}$.\na) Prima di eseguire qualsiasi calcolo esatto, fai una stima approssimata dell'area della superficie sferica arrotondando mentalmente il raggio a $8\text{ cm}$ e il numero $\pi$ a $3$. Ragiona se pensi che l'area reale supererà $1.000\text{ cm}^2$ oppure sarà minore.\nb) Calcola ora con precisione la superficie di cuoio del pallone applicando la formula dell'area della sfera ($A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$), usando il raggio reale $8,5\text{ cm}$ e $\pi \approx 3,14$. Arrotonda il risultato ai centesimi.\nc) Confronta il valore ottenuto con la tua stima iniziale e valuta perché stimare in anticipo un risultato ci aiuta a verificare se i calcoli con la calcolatrice sono ragionevoli.

Per un progetto di tecnologia, devi costruire una scatola di legno a forma di prisma esagonale regolare. Lo spigolo della base misura $4\text{ cm}$ e l'altezza del prisma è di $15\text{ cm}$. Calcola la superficie totale di legno che ti servirà per costruire la scatola (comprese le due basi).

(Nota: per trovare l'area della base, ricorda che prima devi calcolare l'apotema dell'esagono usando il teorema di Pitagora).

Un tendone per un evento giovanile ha la forma di una piramide quadrangolare regolare. Il lato della base quadrata misura $10\text{ m}$ e l'altezza della piramide (dal centro della base al vertice superiore) è di $12\text{ m}$. Calcola quanti metri quadrati di tela sono serviti per realizzare le quattro facce laterali del tendone.

Un produttore di candele artigianali vuole rivestire con una carta protettiva argentata la superficie laterale di una candela cilindrica. La candela ha un diametro di $8\text{ cm}$ e un'altezza di $20\text{ cm}$. Se la carta deve coprire solo la parte curva (senza le basi), quale superficie di carta serve per ogni candela? Usa $\pi \approx 3,14$.

In una gelateria di design hanno creato un cono gelato a forma di cono retto la cui altezza è $12\text{ cm}$ e il raggio della sua base è $5\text{ cm}$. Calcola l'area totale del cono (superficie laterale più il cerchio di base) per sapere quanto cioccolato serve per ricoprirlo completamente.

(Suggerimento: prima dovrai trovare l'apotema del cono).

Un moderno vaso per piante ha la forma di un tronco di piramide quadrangolare regolare. Le basi sono due quadrati di lati $20\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$ rispettivamente. Se l'altezza delle facce laterali (l'apotema del tronco) è $10\text{ cm}$, calcola l'area totale della superficie esterna del vaso (basi superiore e inferiore comprese).

Si vuole restaurare la cupola di un osservatorio astronomico che ha la forma di una semisfera di raggio $6\text{ metri}$. Se il budget per la vernice è di $15\text{ €}$ per ogni metro quadrato, quanto costerà verniciare la superficie esterna della cupola? (Usa $\pi \approx 3,14$).

Un faro decorativo per un giardino è formato da due solidi: un cilindro di raggio $10\text{ cm}$ e altezza $30\text{ cm}$, sormontato da un cono con la stessa base e apotema $15\text{ cm}$. Calcola l'area totale della superficie esterna di questo faro (senza contare la base su cui poggia).

Calcola l'area totale di un cubo sapendo che la diagonale di una sua faccia misura $10\text{ cm}$.

(Suggerimento: usa il teorema di Pitagora su una delle facce per trovare la misura dello spigolo del cubo prima di calcolare l'area).

Un'azienda di conserve vegetali del Piemonte produce barattoli cilindrici di latta per confezionare asparagi. Il team tecnico ha stabilito che la base circolare del barattolo deve avere raggio $4\text{ cm}$. La macchina da taglio dispone di esattamente $351,68\text{ cm}^2$ di lamiera per realizzare ogni barattolo completo e chiuso (area laterale più i due coperchi circolari).\na) Imposta un'equazione in cui l'incognita sia l'altezza $h$ del cilindro, utilizzando i dati forniti e la formula dell'area totale ($A_T = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2$, usando $\pi \approx 3,14$).\nb) Risolvi l'equazione per calcolare l'altezza esatta che deve avere il barattolo.\nc) Se il reparto qualità indica che per quella quantità di conserva l'altezza ideale deve essere compresa tra $9\text{ cm}$ e $11\text{ cm}$, stabilisci con una giustificazione se le dimensioni trovate rispettano tale standard di qualità.

Nella campagna toscana si deve restaurare il tetto conico di un mulino a vento per proteggere il suo meccanismo interno dalle piogge torrenziali registrate dal servizio meteorologico. Il tetto ha la forma di un cono retto: il raggio della sua base circolare misura $3\text{ m}$ e l'altezza verticale dal centro della base fino alla cima misura $4\text{ m}$. Si impermeabilizzerà soltanto la superficie laterale esterna (il cono non ha base da coprire, poiché poggia aperto sulla torre in muratura).\na) Modella la sezione del tetto mediante un triangolo rettangolo per calcolare l'apotema del cono applicando il teorema di Pitagora.\nb) Calcola i metri quadrati di superficie conica da impermeabilizzare (usa $\pi \approx 3,14$).\nc) Per posare i teli impermeabilizzanti occorre ordinare un $10\,\%$ in più di materiale a causa di tagli e sovrapposizioni. Se il metro quadrato di telo costa $25\text{ €}$, calcola il costo totale del materiale necessario per il restauro.

Un'azienda di design vuole realizzare una lampada da soffitto a forma di piramide esagonale regolare. Il lato dell'esagono di base misura $10\text{ cm}$ e l'altezza della piramide è di $24\text{ cm}$. Perché la luce si proietti correttamente, devono rivestire le facce laterali con una lamina di rame speciale. Calcola quanti $\text{cm}^2$ di lamina di rame servono per coprire la superficie laterale della lampada. Tieni presente che dovrai prima trovare l'apotema della base e, con esso, l'apotema della piramide.

Un architetto ha progettato un lucernario per un museo che consiste in un tronco di piramide quadrangolare regolare di vetro. La base inferiore ha un lato di $4\text{ m}$, la base superiore un lato di $2\text{ m}$ e l'altezza del tronco è di $1,5\text{ m}$. Il vetro usato per le facce laterali costa $85\text{ €/m}^2$. Calcola il budget necessario per acquistare il vetro della superficie laterale, arrotondando il risultato a due decimali.

È stato progettato un trofeo di metacrilato che consiste in un cilindro retto di $10\text{ cm}$ di altezza e $6\text{ cm}$ di diametro, a cui è stata sottratta una semisfera perfetta nella base superiore, il cui raggio coincide esattamente con il raggio del cilindro. Calcola l'area totale della superficie del trofeo (superficie esterna cilindrica, superficie della base inferiore e superficie curva della cavità semisferica). Usa $\pi \approx 3,14$.

Un serbatoio industriale ha la forma di un cilindro retto sormontato da un cono con la stessa base. L'altezza della parte cilindrica è di $8\text{ m}$ e l'altezza della parte conica è di $3\text{ m}$. Il diametro del serbatoio è di $8\text{ m}$. Si vuole dipingere tutta la superficie esterna laterale e la base superiore (cono), ma non la base su cui poggia. Se con ogni barattolo di vernice si possono coprire $15\text{ m}^2$, quanti barattoli di vernice bisogna acquistare almeno?

Un cubo di legno di $12\text{ cm}$ di spigolo viene tagliato con un piano che passa per i punti medi di tre spigoli concorrenti in uno stesso vertice, separando una piccola piramide triangolare (un tetraedro irregolare). Calcola l'area totale della figura risultante dopo aver tolto la piccola piramide. Suggerimento: il taglio genera una nuova faccia che è un triangolo equilatero i cui lati sono le diagonali dei quadrati di lato $6\text{ cm}$.

Un produttore di palloni da ginnastica realizza sfere di gomma di due dimensioni. Il pallone piccolo ha una superficie di $5024\text{ cm}^2$. Il pallone grande ha un raggio esattamente doppio di quello del pallone piccolo. Calcola l'area della superficie del pallone grande. Quale relazione numerica (rapporto) c'è tra l'area del pallone grande e quella del piccolo? Usa $\pi = 3,14$.

Si vuole costruire una serra a forma di mezzo cilindro appoggiato sul suolo, come mostrato in figura. La lunghezza della serra è di $15\text{ m}$ e la larghezza della base (il diametro del semicilindro) è di $6\text{ m}$. Se la plastica per coprire la parte curva e le due pareti frontali (semicerchi) costa $12\text{ €/m}^2$, qual è il costo totale della plastica necessaria? (Il suolo non si conta).

Un pezzo meccanico d'acciaio ha la forma di un prisma retto a base quadrata con un foro cilindrico che lo attraversa da base a base passando per il centro. Il lato del quadrato di base del prisma misura $10\text{ cm}$ e l'altezza del pezzo è di $20\text{ cm}$. Il diametro del foro cilindrico è di $8\text{ cm}$. Calcola l'area della superficie totale del pezzo (compresa la superficie interna del foro).

Per progettare un monolite commemorativo in un parco pubblico, il comune prevede una torre composta da un prisma quadrangolare retto a base quadrata di $4\text{ m}$ di lato e $10\text{ m}$ di altezza, sormontato da una piramide quadrangolare retta con base identica e un'altezza verticale di $1,5\text{ m}$. Due architetti discutono su come calcolare la superficie esterna totale che richiederà un trattamento idrorepellente (compresa la base inferiore del prisma che poggia sul terreno preparato):\n- Metodo di Laura: «Calcolo l'area totale della piramide completa con la sua formula, le sommo l'area totale del prisma completo con la sua formula e sottraggo due volte l'area del quadrato in cui si uniscono».\n- Metodo di Sergio: «Guardo lo sviluppo piano esterno del solido composto: calcolo direttamente l'area della base inferiore, l'area laterale del prisma e l'area laterale della piramide, sommando queste tre quantità».\na) Dimostra formalmente che entrambi i metodi giungono alla stessa espressione algebrica della superficie.\nb) Giustifica quale dei due metodi è più conveniente ed efficiente per evitare errori nella pratica di officina.\nc) Applica il metodo più conveniente per trovare la superficie esterna totale da trattare. (Tieni presente che per la piramide devi prima calcolare il suo apotema usando il teorema di Pitagora con la metà del lato di base e la sua altezza verticale).

Una cooperativa di olio extravergine di oliva di Jaén vuole commercializzare una latta metallica di design premium a forma di prisma esagonale regolare. Per ragioni ergonomiche e di presa in cucina, lo spigolo della base esagonale misura $4\text{ cm}$. Il reparto finanziario impone un vincolo di costi: la superficie totale di latta consumata da ogni contenitore chiuso (comprese entrambe le basi esagonali) non può superare i $450\text{ cm}^2$.\na) Determina l'area di una delle basi esagonali regolari. Ricorda che per calcolare l'apotema della base devi usare il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo formato dal raggio della base (che misura quanto il lato, $4\text{ cm}$) e dalla metà del lato. Arrotonda l'apotema a due decimali e l'area della base ai decimi.\nb) A partire dall'area totale massima consentita ($450\text{ cm}^2$), imposta un'equazione o disequazione in cui compaiano l'altezza $h$ della latta e le due basi esagonali.\nc) Risolvi l'espressione per ricavare l'altezza massima che può avere la latta. Se il macchinario di confezionamento permette di calibrare le altezze solo in numeri interi di centimetri, qual è la massima altezza in centimetri che si può produrre rispettando il budget di materiale?