Esercizi: Polinomi

Nel mondo dei videogiochi, il sistema di punteggio di un nuovo gioco di piattaforme funziona così: per ogni moneta d'oro raccolta ricevi una quantità di punti sconosciuta $x$, ma per ogni nemico sconfitto ricevi il triplo dei punti rispetto a una moneta. Alla fine del livello ti danno sempre un bonus fisso di $50$ punti esperienza.

Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta il punteggio totale di un giocatore che ha raccolto $12$ monete e ha sconfitto $4$ nemici.

Copia e completa la seguente tabella sul tuo quaderno per individuare gli elementi fondamentali di questi monomi:

Per poter sommare o sottrarre monomi, questi devono essere simili. Seleziona dalla seguente lista quali sono simili al monomio $5x^2y$:

• $5xy^2$

• $-x^2y$

• $2x^2$

• $\frac{1}{2}x^2y$

• $5x^2y^2$

Un fattorino di pizze riceve una paga fissa di $15$ euro per ogni pomeriggio di lavoro, più un extra di $3$ euro per ogni ordine consegnato a domicilio. L'espressione che calcola il suo guadagno è $G = 15 + 3x$, dove $x$ è il numero di ordini.

Calcola il valore numerico del suo guadagno (quanto riceverà in totale) se in un pomeriggio riesce a consegnare $8$ ordini.

Analizza il seguente polinomio e rispondi alle domande:

$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$

1. a) Qual è il grado del polinomio?
2. b) Come si chiama il termine che non ha variabile (il $-8$)?
3. c) Quanti termini ha? In base al numero di termini, è un monomio, un binomio o un trinomio?
4. d) Qual è il coefficiente del termine di grado maggiore?

Trova l'espressione algebrica semplificata che rappresenta il perimetro della seguente cornice rettangolare per fotografie:

Dati i seguenti polinomi, esegui la somma $A(x) + B(x)$ e riduci i termini simili:

$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$

$B(x) = x^2 + 2x - 7$

I prodotti notevoli ci permettono di calcolare rapidamente alcune potenze. Utilizza la formula del quadrato di un binomio $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ per sviluppare la seguente espressione:

$(x + 2)^2$

Marco deve calcolare il valore numerico del polinomio $P(x) = 3x^2 - 4x + 5$ per $x = -2$. Sul quaderno scrive la seguente risoluzione:

Alla fine, Marco aggiunge: «Inoltre, è un polinomio incompleto perché non ha il termine con $x^3$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due errori commessi da Marco (uno aritmetico nel calcolo delle potenze o dei segni e uno concettuale nella classificazione del polinomio).
2. b) Esegui il calcolo corretto per trovare $P(-2)$ e classifica il polinomio indicando il suo grado, se è completo o incompleto, il suo coefficiente principale e il suo termine noto.

Costruisci un polinomio $P(x)$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Il suo grado è $3$.

2. È un polinomio incompleto e non contiene il termine di grado $1$.

3. Il suo coefficiente principale è $-2$.

4. Il suo termine noto è $16$.

Una volta scritto il tuo polinomio:

1. a) Verifica se il numero $x = 2$ è una radice del tuo polinomio calcolando il suo valore numerico $P(2)$ e giustificando la tua conclusione a partire dalla definizione di radice.
2. b) Senza eseguire lunghe sostituzioni numeriche, spiega perché è impossibile che il numero $x = 0$ sia una radice di questo polinomio, basandoti sul valore del suo termine noto.

In un negozio di tecnologia, il prezzo di uno smartphone di fascia media è $x$ euro. Uno smartphone di fascia alta costa il doppio di quello di fascia media più 150 €, e un tablet costa 80 € in meno dello smartphone di fascia media.

1. a) Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta il costo totale dell'acquisto di due smartphone di fascia media, uno di fascia alta e tre tablet.
2. b) Riduci l'espressione ottenuta in modo che sia un polinomio nella sua forma più semplice.
3. c) Se il prezzo dello smartphone base è $x = 200$ €, quanto costerà l'ordine totale?

Dato il seguente polinomio:

$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$

Indica, motivando, i seguenti elementi:

1. a) Il grado del polinomio.
2. b) Il coefficiente del termine di grado 2.
3. c) Il termine noto.
4. d) Il valore numerico di $P(x)$ per $x = -1$.

Un piccolo razzo ad acqua viene lanciato da una piattaforma. L'altezza $h$ (in metri) a cui si trova il razzo in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data dal polinomio:

$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$

1. a) A che altezza si trova la piattaforma di lancio? (Suggerimento: calcola $h(0)$).
2. b) A che altezza sarà il razzo 2 secondi dopo il lancio?
3. c) Il razzo sarà più in alto dopo 3 secondi o dopo 4 secondi? Giustifica la tua risposta calcolando i valori numerici corrispondenti.

Esegui le seguenti operazioni con i polinomi e riduci il risultato finale:

1. a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
2. b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
3. c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$

Calcola l'area della zona colorata della seguente figura. Esprimi il risultato come polinomio ridotto in funzione di $x$.

Moltiplica i seguenti polinomi utilizzando la proprietà distributiva e semplifica i termini simili:

1. a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$
2. b) $Q(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 4)$

Applica le formule dei prodotti notevoli per sviluppare le seguenti espressioni:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x^2 - 5)^2$
3. c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6) \cdot (\frac{1}{2}x - 6)$

Il raccoglimento a fattor comune è il passaggio inverso della proprietà distributiva. Utilizza questa tecnica per semplificare le seguenti espressioni algebriche:

1. a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
3. c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$

Un'azienda pubblica di noleggio di biciclette elettriche in una città italiana applica una tariffa mensile agli utenti non abbonati che dipende dal tempo di utilizzo. L'importo si calcola con il polinomio $C(t) = 0,05t^2 + 1,2t + 8$, dove $t$ rappresenta il numero di ore totali di utilizzo al mese e $C(t)$ è il costo risultante in euro.

1. a) Interpreta che cosa rappresenta nella vita reale il termine noto del polinomio calcolando il valore numerico $C(0)$.
2. b) Un utente registra $10$ ore di utilizzo nel mese di aprile e raddoppia il suo tempo a $20$ ore nel mese di maggio. Calcola il costo della fattura in ciascuno dei due mesi.
3. c) Osservando i risultati dei due mesi e i termini del polinomio, giustifica algebricamente perché raddoppiando le ore di utilizzo il costo totale non raddoppia esattamente, indicando quale termine è responsabile di questo effetto.

In un progetto scolastico di tecnologia, si lancia verticalmente un piccolo razzo ad acqua. La sua altezza in metri dal suolo dopo $t$ secondi dal lancio è data dal polinomio $h(t) = -5t^2 + 29t + 6$.

1. a) Senza calcolare il valore esatto, fai una stima arrotondando mentalmente il coefficiente $29$ a $30$ per prevedere se dopo $t = 2$ secondi l'altezza del razzo sarà sopra o sotto i $40$ metri. Spiega in una frase come hai ragionato per fare la stima.
2. b) Calcola ora il valore numerico esatto di $h(2)$ e confrontalo con la tua previsione. Ritieni che la tua stima sia stata adeguata e utile? Giustifica.
3. c) Calcolando $h(6)$ si ottiene esattamente $0$. Interpreta che cosa significa fisicamente questo risultato per il volo del razzo e quale nome matematico ha il numero $6$ rispetto a questo polinomio.

Un designer di videogiochi sta creando un motivo di piastrelle per il pavimento di un dungeon. Al livello 1 usa una piastrella centrale e a ogni livello successivo circonda il motivo precedente con un nuovo strato di piastrelle di colore diverso. Il numero totale di piastrelle al livello $n$ segue una sequenza logica.

Osserva la figura che rappresenta i primi tre livelli e:

1. Trova il polinomio $P(n)$ che esprime il numero totale di piastrelle necessarie per costruire fino al livello $n$.

2. Calcola quante piastrelle avrà un pavimento di livello $n = 12$.

Un'azienda di spedizioni applica per l'invio dei pacchi la seguente tariffa: un costo fisso di gestione $G$ euro, più un prezzo di $2$ € per ogni chilogrammo di peso e un supplemento "distanza premium" pari al quadrato del peso del pacco diviso per 4.

1. Scrivi il polinomio $C(x)$ che rappresenta il costo totale della spedizione di un pacco di $x$ chilogrammi.

2. Se le spese di gestione sono $G = 5$ € e vogliamo spedire un pacco di $8$ kg, qual è il costo totale?

3. Se l'azienda decide di raddoppiare il costo per chilogrammo e di mantenere invariati gli altri parametri, scrivi il nuovo polinomio $C_2(x)$.

Calcola l'area della zona colorata nella figura seguente, esprimendo il risultato come polinomio ridotto in funzione di $x$. La figura esterna è un quadrato di lato $3x + 2$ e il vuoto interno è un rettangolo di base $x + 4$ e altezza $x - 1$.

Esegui e semplifica al massimo la seguente espressione algebrica utilizzando i prodotti notevoli e il raccoglimento a fattore comune:

Indica se il risultato finale è un numero costante o se dipende dal valore di $x$.

Dato il polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determina il valore del coefficiente $k$ sapendo che il valore numerico del polinomio per $x = 2$ è uguale a zero ($x = 2$ è una radice del polinomio). Una volta trovato $k$, calcola il valore numerico di $P(x)$ per $x = -1$.

Un parco ha forma rettangolare. In origine, la sua base misura $x$ metri e la sua altezza misura $5$ metri in meno della base. Il comune decide di ampliare il parco aumentando la base di $3$ metri e l'altezza di $2$ metri.

1. Scrivi il polinomio $A_1(x)$ dell'area del parco originale.

2. Scrivi il polinomio $A_2(x)$ dell'area del parco ampliato.

3. Trova il polinomio che rappresenta l'incremento di area $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ e semplificalo.

Esegui la seguente operazione combinata con i polinomi e riduci i termini simili:

Raccogli il fattore comune e usa i prodotti notevoli per scomporre in fattori i seguenti polinomi.

Ricorda i prodotti notevoli: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ e $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

1. a) $Q(x) = 3x^3 - 12x$

1. b) $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$

1. c) $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$

Per verificare se i numeri $x = 3$ e $x = -1$ sono radici del polinomio espresso in forma scomposta $P(x) = (x - 3) \cdot (x^2 + 5x + 4)$, due studenti propongono strade diverse:

• Strategia di Daniele: Moltiplicare tutti i termini per ottenere il polinomio in forma sviluppata, ordinata e ridotta, e poi sostituire $x = 3$ e $x = -1$.

• Strategia di Elena: Sostituire direttamente i valori in ogni parentesi separatamente, senza sviluppare la moltiplicazione, verificando se qualcuno dei fattori dà zero.

1. a) Applica la strategia di Elena per verificare se $x = 3$ è radice di $P(x)$, mostrando i passaggi seguiti.
2. b) Applica la strategia che ritieni più conveniente per verificare se $x = -1$ è radice di $P(x)$.
3. c) Confronta i due percorsi e argomenta quale dei due metodi è più efficiente (minor numero di calcoli e minor rischio di errore nei segni). Su quale proprietà matematica della moltiplicazione si basa la strategia di Elena per evitare di calcolare la seconda parentesi quando la prima è uguale a zero?

Considera la famiglia di polinomi di secondo grado descritta dall'espressione $P(x) = x^2 + b \cdot x + 15$, dove $b$ rappresenta un numero intero che non conosciamo.

1. a) Sapendo che la rappresentazione grafica di questo polinomio interseca l'asse orizzontale $X$ nel punto di ascissa $x = -3$, deduci con ragionamento il valore che deve avere il coefficiente $b$. (Ricorda la relazione tra i punti di intersezione con l'asse $X$ e le radici del polinomio).
2. b) Con il valore di $b$ che hai ottenuto, scrivi l'espressione definitiva del polinomio e verifica se interseca l'asse $X$ anche nel punto $x = -5$.
3. c) Un compagno afferma che, modificando il valore di $b$ con un altro numero intero adatto, potremmo fare in modo che $x = 0$ fosse una radice di questo polinomio. Dimostra algebricamente che il tuo compagno si sbaglia e spiega quale cambiamento concreto bisognerebbe fare nel polinomio affinché $x = 0$ potesse essere una radice.