Esercizi: Operazioni con i monomi

Per capire come si costruiscono le espressioni matematiche è fondamentale conoscere le parti di un monomio. Completa le informazioni richieste per ciascuno dei seguenti monomi:

1. a) $7x^{3}$
2. b) $-a^{2}b$
3. c) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}$
4. d) $-5$

Per ciascuno, indica:

• Il coefficiente.

• La parte letterale.

• Il grado del monomio.

Nel mondo dell'algebra possiamo sommare o sottrarre solo "cose uguali". Individua quali dei seguenti monomi sono simili tra loro e raggruppali:

$5x^{2}$, $-3x$, $\frac{1}{4}x^{2}$, $7y$, $x$, $-x^{2}$, $12x$, $2y$

Semplifica le seguenti espressioni sommando e sottraendo i monomi simili:

1. a) $5a + 3a - 2a$
2. b) $4x^{2} - x^{2} + 7x^{2}$
3. c) $3ab - 5ab + ab$
4. d) $x + x + x + x$

Calcola il prodotto dei seguenti monomi. Ricorda di moltiplicare tra loro i coefficienti e di sommare gli esponenti delle lettere uguali:

1. a) $(3x^{2}) \cdot (5x^{4})$
2. b) $(-2a^{3}) \cdot (4a)$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^{2})$
4. d) $(-x^{2}) \cdot (-x^{3})$

Esegui le seguenti divisioni di monomi. Ricorda di dividere i coefficienti e di sottrarre gli esponenti delle lettere:

1. a) $(12x^{5}) : (3x^{2})$
2. b) $(-10a^{4}) : (5a^{3})$
3. c) $(15x^{3}y^{2}) : (3x^{2}y)$
4. d) $(4x^{2}) : (2x^{2})$

Calcola la potenza di questi monomi. Non dimenticare di elevare all'esponente indicato sia il coefficiente sia la parte letterale:

1. a) $(2x^{3})^{2}$
2. b) $(-3a^{2})^{2}$
3. c) $(x^{4})^{3}$
4. d) $(-2x)^{3}$

Trova l'espressione algebrica che rappresenta il perimetro del seguente terreno rettangolare destinato a un orto scolastico. Una volta ottenuta l'espressione, riducila al massimo sommando i suoi termini simili.

In un videogioco di corse, per ogni moneta d'oro raccolta ottieni $5x$ punti e per ogni moneta d'argento ottieni $2x$ punti.

Se in una partita un giocatore ha ottenuto 4 monete d'oro e 6 d'argento:

1. a) Scrivi il monomio che rappresenta i punti totali delle monete d'oro.
2. b) Scrivi il monomio che rappresenta i punti totali delle monete d'argento.
3. c) Somma i due monomi per ottenere il totale dei punti della partita.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Durante la lezione di matematica, Marco ha risolto alla lavagna la seguente potenza di un monomio:

$$(-3x^4)^2 = -6x^8$$

La sua compagna Alba alza la mano e afferma che Marco ha commesso due errori concettuali diversi in questo unico passaggio.

1. a) Individua i due errori commessi da Marco, spiegando chiaramente quale regola sulle operazioni con i monomi ha applicato male in ciascun caso (uno nel coefficiente e uno nel segno o negli esponenti).
2. b) Scrivi la risoluzione corretta, sviluppata completamente passo dopo passo, giustificando il segno, il coefficiente e l'esponente finali.

Un insegnante ha cancellato parzialmente la lavagna al termine della lezione e sono rimaste incomplete queste tre operazioni con i monomi:

1. a) $4x^3 \cdot \Box = -20x^7$
2. b) $\frac{\Box}{3x^2} = 5x^4$
3. c) $(\Box)^3 = -8x^6$

Scopri quale monomio deve essere inserito in ciascun riquadro ($\Box$) affinché le uguaglianze siano vere. In ogni caso, spiega con un ragionamento come deduci il segno, il coefficiente numerico e l'esponente della parte letterale mediante la corrispondente operazione inversa.

Riduci al massimo la seguente espressione algebrica raggruppando i monomi simili:

$9x^3 - 5x^2 + 4x - 2x^3 + 7x^2 - x + 10$

Calcola il risultato delle seguenti moltiplicazioni di monomi e semplifica la parte letterale usando le proprietà delle potenze:

1. a) $(4a^2b) \cdot (-3ab^3)$

1. b) $(\frac{1}{2}x^4) \cdot (6x^2)$

1. c) $(-2z^3) \cdot (-5z^2) \cdot z$

Trova l'espressione algebrica semplificata che rappresenta il perimetro del seguente terreno destinato a un'area giochi in un parco:

Esegui le seguenti potenze di monomi. Ricorda che l'esponente riguarda sia il coefficiente sia ciascuna delle variabili della parte letterale:

1. a) $(-3x^4)^2$

1. b) $(2a^2b^3)^4$

1. c) $(-\frac{1}{2}m^5)^3$

Semplifica i seguenti quozienti di monomi. Esprimi il risultato come un solo monomio quando è possibile:

1. a) $\frac{20x^6}{5x^2}$

1. b) $(-12a^3b^2) : (3a^2b^2)$

1. c) $\frac{15m^4n^2}{10m^2}$

In una campagna di riforestazione, ogni volontario pianta $3x$ alberi al mattino e $2x$ alberi al pomeriggio. Se ci sono in tutto $y$ volontari, scrivi l'espressione algebrica semplificata che rappresenta:

1. a) Il numero totale di alberi piantati da un solo volontario in un giorno.

1. b) Il numero totale di alberi piantati da tutti i volontari in una settimana (7 giorni).

Calcola l'espressione che rappresenta l'area della regione colorata nella figura seguente, sapendo che il lato del quadrato esterno misura $4x$ e il lato del quadrato interno bianco misura $x$:

Risolvi le seguenti operazioni combinate con i monomi rispettando la priorità delle operazioni:

1. a) $5x^2 \cdot 2x + 12x^4 : 3x$

1. b) $3ab \cdot (2a^2b) - (5a^3b^2)$

1. c) $(2n^3)^2 - 5n^6 + n^2 \cdot n^4$

Considera la seguente operazione combinata con i monomi:

$$M = \frac{(-2x^3)^3 \cdot (6x^2)}{-4x^5}$$

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo numerico con i coefficienti, fai una stima ragionata rispondendo a queste due domande:

1. Che segno avrà il risultato finale? Giustificalo analizzando in successione i segni della potenza, del prodotto al numeratore e della divisione finale.

2. Qual è il grado esatto del monomio risultante? Giustificalo calcolando mentalmente la somma e la differenza degli esponenti secondo le proprietà delle potenze.

1. b) Risolvi l'operazione combinata passo dopo passo rispettando la priorità delle operazioni e semplifica il monomio risultante.
2. c) Verifica se il risultato ottenuto coincide con le tue deduzioni precedenti sul segno e sul grado del punto a).

Una cooperativa agricola di Foggia installa pannelli solari in un terreno rettangolare per alimentare i motori di irrigazione. Le misure del terreno sono espresse in funzione di una variabile $x$ (in metri): la larghezza misura $3x$ metri e la lunghezza misura il triplo della larghezza.

1. a) Determina il monomio semplificato che rappresenta l'area totale del terreno in metri quadrati.
2. b) Per distribuire il cablaggio, dividono tutto il terreno in parcelle quadrate identiche di lato $x$ metri. Scrivi il monomio che rappresenta l'area di una di queste parcelle e calcola quante parcelle ci stanno in tutto eseguendo l'opportuna divisione di monomi.
3. c) Il costo di manutenzione annuale del terreno è di $0,5$ euro per ogni metro quadrato di superficie. Se la cooperativa riceve un contributo regionale fisso annuo di $15x^2$ euro, determina con operazioni tra monomi se il contributo è sufficiente a coprire la manutenzione e quanto denaro avanza o manca in funzione di $x$.

Esegui la seguente operazione combinata con i monomi, semplificando il risultato al massimo. Fai particolare attenzione alla priorità delle operazioni e alle regole delle potenze:

$$ \frac{2}{3}x^2 \cdot (-3x^3)^2 - 5x^5 \cdot (2x^3) + \frac{16x^{10}}{2x^2} $$

Un'azienda di design produce cornici in alluminio per gli schermi dei tablet. Il progetto segue le proporzioni mostrate nella figura seguente, in cui tutte le misure sono espresse in funzione di una variabile $x$. Trova il monomio che rappresenta l'area totale della superficie della cornice (la zona colorata).

Trova i monomi incogniti $M$ e $N$ che rendono vere le seguenti uguaglianze:

1. a) $ (-4x^3y^2) \cdot M = 20x^7y^5 $

1. b) $ \frac{N}{-3ab} = 6a^2b^3 $

1. c) $ (2x^2)^3 : M = -4x $

In un videogioco di strategia, l'energia di un battaglione si calcola come il prodotto del suo livello di attacco per il suo livello di difesa, diviso per la sua fatica. Se sappiamo che:

• Attacco: $ 12a^2b^3 $

• Difesa: $ 5a^3b $

• Fatica: $ 10ab^2 $

Esprimi l'energia totale del battaglione come un unico monomio e determina il suo grado.

Raccogli il massimo fattore comune possibile nella seguente espressione algebrica. Ricorda che devi raccogliere sia il M.C.D. dei coefficienti sia le variabili comuni con il loro minore esponente:

$$ 24x^5y^4z^2 - 36x^3y^6z^3 + 12x^2y^4z^5 $$

Calcola il valore del monomio risultante in cima a questa "piramide di prodotti", in cui ogni mattone è il risultato della moltiplicazione dei due monomi che ha subito sotto:

Riduci la seguente espressione applicando la proprietà distributiva e semplificando i monomi simili che ne risultano:

$$ -3ab^2 \cdot (2a^2 - 5ab + b^2) - 2a^2b \cdot (4ab - a) $$

Calcola il monomio che rappresenta il volume di un solido formato dall'unione di 5 cubi identici, dove lo spigolo di ogni cubo misura $ \frac{2}{3}x^2 $ metri. Esprimi il risultato finale in forma semplificata.

Per calcolare il valore numerico dell'espressione algebrica:

$$E = \frac{(6x^4)^2 \cdot x^3}{12x^7}$$

per il valore $x = -2$, due studenti di seconda media propongono due strategie diverse:

• Metodo di Sergio: sostituisce direttamente il valore $x = -2$ in ciascuna delle $x$ dell'espressione originale, calcola le potenze numeriche risultanti e infine esegue le moltiplicazioni e la divisione con i numeri ottenuti.

• Metodo di Irene: applica prima le proprietà delle operazioni con i monomi per semplificare l'espressione a un unico monomio irriducibile e solo alla fine sostituisce $x = -2$.

1. a) Applica il metodo di Sergio indicando i numeri intermedi che ottiene al numeratore e al denominatore prima di semplificare.
2. b) Applica il metodo di Irene semplificando prima l'espressione algebrica e calcolando il valore numerico finale.
3. c) Confronta i due metodi e giustifica quale dei due sia più vantaggioso e sicuro in matematica. Argomenta la risposta valutando la grandezza dei numeri utilizzati e la probabilità di commettere errori di calcolo in ciascun procedimento.

Si vuole progettare una tramoggia metallica per immagazzinare grano la cui capacità è data dal volume di un parallelepipedo rettangolo. Il volume totale è il prodotto di tre monomi che corrispondono alle sue tre dimensioni (lunghezza $L(x)$, larghezza $A(x)$ e altezza $H(x)$), in modo che $V(x) = L(x) \cdot A(x) \cdot H(x)$. Si conoscono i seguenti dati tecnici:

• Il monomio del volume totale è $V(x) = 72x^7$.

• L'altezza della tramoggia è il monomio $H(x) = 2x^2$.

• Sia la lunghezza $L(x)$ sia la larghezza $A(x)$ hanno coefficienti interi positivi.

• Il grado della lunghezza $L(x)$ è di una unità maggiore del grado della larghezza $A(x)$.

• Il coefficiente numerico della lunghezza $L(x)$ è esattamente il quadruplo del coefficiente della larghezza $A(x)$.

1. a) Deduci passo dopo passo i monomi esatti corrispondenti a $L(x)$ e a $A(x)$, giustificando come ottieni sia i coefficienti sia i gradi a partire dalle proprietà delle operazioni con i monomi.
2. b) Imposta l'espressione dell'area della base della tramoggia, $B(x) = L(x) \cdot A(x)$. Poi rispondi giustificando: è possibile modificare le dimensioni $L(x)$ e $A(x)$ (mantenendo lo stesso prodotto e facendo in modo che restino monomi) in modo che il grado della base sia 6? Giustifica perché è o non è possibile a partire dalla relazione tra il grado del volume e quello dell'altezza.