Esercizi: Monomi

In un negozio di app, il guadagno per ogni download di un gioco è espresso dal monomio $7x^2y$. Individua i seguenti elementi di tale espressione:

• Coefficiente:

• Parte letterale:

• Grado del monomio:

Stiamo organizzando un inventario di pezzi di robotica. Raggruppa i seguenti monomi in coppie di monomi simili tra loro:

$5x^2$, $-3ab$, $x$, $\frac{1}{2}ab$, $-2x^2$, $8x$

Calcola il valore numerico del monomio $M(x) = -5x^2$ per i valori della variabile indicati:

1. a) $x = 2$
2. b) $x = -1$
3. c) $x = 0$

Osserva il seguente esagono regolare il cui lato misura $x$ metri. Scrivi il monomio che rappresenta il suo perimetro e calcola il suo valore se ogni lato misurasse $4,5$ cm.

Riduci le seguenti espressioni algebriche sommando e sottraendo i monomi simili:

1. a) $4x + 2x - x$
2. b) $5a^2 - 3a^2 + 7a^2$
3. c) $3ab + ab - 2ab$

Esegui le seguenti moltiplicazioni di monomi e semplifica il risultato:

1. a) $3 \cdot (5x^4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (4x)$
3. c) $(3a) \cdot (2b)$

Trova il monomio che esprime l'area del seguente rettangolo destinato a una zona giochi "gaming" in un centro commerciale:

Traduci in linguaggio algebrico le seguenti frasi usando un solo monomio:

1. a) Il doppio del cubo di un numero $x$.
2. b) La metà del prodotto di due numeri $a$ e $b$.
3. c) Il triplo del quadrato della distanza $d$.

Lucia deve semplificare l'espressione $5x^3 + 3x^3$ in un esercizio in classe e scrive alla lavagna: $5x^3 + 3x^3 = 8x^6$. Quando l'insegnante le chiede spiegazioni, giustifica la sua risposta dicendo: «Ho sommato i coefficienti ($5 + 3 = 8$) e ho sommato anche gli esponenti delle lettere ($3 + 3 = 6$)».

1. a) Individua l'errore commesso da Lucia e spiega, usando la proprietà distributiva (raccogliendo la parte letterale), perché gli esponenti non si devono sommare.
2. b) Scrivi il risultato corretto della somma.
3. c) Quale operazione tra i monomi $5x^3$ e $3x^3$ si sarebbe dovuta eseguire affinché il risultato fosse un monomio di grado $6$? Giustifica la risposta.

Vogliamo costruire un monomio che soddisfi contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

1) Le sue variabili sono $a$ e $b$, e il suo grado totale è $4$.

2) L'esponente della variabile $b$ è esattamente il triplo di quello della variabile $a$.

3) Il suo coefficiente è un numero intero negativo e il suo valore numerico per $a = 2$ e $b = -1$ è uguale a $10$.

1. a) Ragiona passo dopo passo su quali debbano essere gli esponenti di $a$ e di $b$.
2. b) Imposta l'equazione che ti permetta di dedurre il coefficiente del monomio dal valore numerico dato.
3. c) Scrivi l'espressione algebrica finale del monomio e verifica che soddisfi tutte le condizioni.

In un'applicazione di matematica, un bot ha classificato male alcuni monomi. Il tuo compito è correggere la seguente tabella individuando il coefficiente, la parte letterale e il grado di ciascuno. Se trovi qualche errore nella classificazione del bot, scrivilo correttamente:

Monomio	Coefficiente	Parte letterale	Grado
$-5x^2y$	$5$	$x^2y$	$2$
$\frac{3}{4}ab^3c$	$3$	$ab^3c$	$4$
$-x^4$	$-1$	$x$	$4$
$7$	$7$	Non ha	$1$

Un creatore di contenuti analizza la crescita dei suoi social network. Il numero di "Like" sulle sue foto è dato dal monomio $8x^2y$, e il numero di "Condivisioni" da $3x^2y$. Durante l'ultimo mese, ha ricevuto un extra di visualizzazioni equivalente a $\frac{1}{2}x^2y$.

Calcola l'espressione algebrica semplificata che rappresenta l'interazione totale sommando i tre elementi.

Trova il monomio che rappresenta l'area della seguente zona colorata, che fa parte del progetto di un nuovo skatepark. Esprimi il risultato nella forma più semplificata possibile.

Calcola il valore numerico dei seguenti monomi per i valori delle variabili indicati in ciascun caso:

1. a) $P(x, y) = -3x^2y$ per $x = -2$, $y = 5$

1. b) $Q(a, b) = \frac{2}{3}a^3b^2$ per $a = 3$, $b = -1$

In un videogioco di strategia, l'energia della tua base aumenta secondo la seguente operazione tra monomi. Riduci l'espressione a un solo monomio:

$$(12x^5 \cdot 3x^2) : (9x^4)$$

Qual è il grado del monomio risultante?

Semplifica la seguente espressione che combina potenze e divisioni di monomi:

$$\frac{(-2a^3b)^2 \cdot 5ab^4}{10a^4b^3}$$

Osserva la figura seguente, composta da due rettangoli affiancati.

1. a) Scrivi il monomio che rappresenta l'area di ciascun rettangolo separatamente.
2. b) Scrivi il polinomio che rappresenta l'area totale.
3. c) Raccogli il fattore comune nell'espressione dell'area totale.

Completa gli spazi vuoti con il monomio necessario affinché le uguaglianze siano corrette:

1. a) $7x^3y + \dots \dots = 10x^3y$

1. b) $(-2ab^2) \cdot (\dots \dots) = 12a^3b^2$

1. c) $\frac{15x^4y^2}{\dots \dots} = 3x^2y$

È dato il monomio $P(a, b) = -4a^2b^3$ e si vuole calcolare il suo valore numerico per $a = -2$ e $b = -1$.

1. a) Stima il segno: prima di fare qualsiasi calcolo numerico completo, stabilisci con un ragionamento se il risultato finale sarà positivo o negativo. Per farlo, analizza separatamente il segno del coefficiente $-4$, della potenza $(-2)^2$ e della potenza $(-1)^3$.
2. b) Stima l'ordine di grandezza: senza calcolare il valore esatto, deduci se il valore assoluto del risultato sarà maggiore o minore di $100$. Giustifica la tua stima mentale.
3. c) Verifica: sostituisci i valori nel monomio, calcola passo dopo passo il risultato finale rispettando la priorità delle operazioni e controlla se le tue previsioni dei punti precedenti erano corrette.

In un impianto di riciclaggio del vetro in Piemonte, un frantoio immagazzina il materiale in tramogge cubiche il cui spigolo misura $x$ metri. La massa di vetro frantumato (in chilogrammi) contenuta in una tramoggia piena è data dal monomio $M(x) = 1500x^3$.

1. a) Interpreta e spiega quale significato fisico ha in questo contesto reale ciascuna parte del monomio: il coefficiente $1500$, la variabile $x$, la potenza $x^3$ e il grado del monomio.
2. b) Se l'impianto usa attualmente tramogge con spigolo $x = 0,8\text{ m}$, calcola quanti chilogrammi di vetro frantumato contiene una tramoggia piena.
3. c) In una giornata di lavoro si riempiono completamente $5$ di queste tramogge con spigolo $x$. Esprimi con un unico monomio semplificato la massa totale raccolta nella giornata e giustifica perché è stato possibile raggruppare quelle quantità.

Osserva la seguente sequenza di figure formate da quadratini. Il primo termine ($n=1$) ha 4 quadrati, il secondo ($n=2$) ne ha 7 e il terzo ($n=3$) ne ha 10.

1. a) Determina il monomio che rappresenta il numero di quadrati in funzione della posizione $n$, sapendo che la relazione è di tipo lineare (un monomio in $n$ più un termine noto).

1. b) Quanti quadrati avrà la figura che occupa la posizione $n=150$?

1. c) Se una figura ha 91 quadrati, quale posizione $n$ occupa nella sequenza?

Semplifica al massimo la seguente espressione combinata con monomi, applicando le proprietà delle potenze e la priorità delle operazioni:

$$\frac{(-3x^2y^3)^2 \cdot (2x^4y)^3}{(-6x^3y^2)^2}$$

Esprimi il risultato come un unico monomio.

Calcola il monomio che rappresenta il perimetro e il polinomio che rappresenta l'area colorata della seguente figura composta (un quadrato grande di lato $3x$ a cui sono stati ritagliati quattro quadrati piccoli identici di lato $y$ negli angoli):

Riduci al massimo le espressioni.

Raccogli il più grande fattore comune possibile (massimo comune divisore dei termini) nella seguente espressione algebrica. Fai particolare attenzione ai coefficienti frazionari:

$$\frac{4}{9}a^5b^2 - \frac{8}{27}a^3b^4 + \frac{2}{3}a^3b^2$$

Nella seguente "piramide dei prodotti", ogni mattone è il risultato della moltiplicazione dei due monomi che ha subito sotto. Completa gli spazi vuoti trovando i monomi $A$, $B$ e $C$.

Si sa che il valore numerico del monomio $M(x, y) = -5x^a y^b$ è $-320$ quando $x=2$ e $y=2$. Inoltre, si sa che il grado rispetto alla variabile $x$ è il doppio del grado rispetto a $y$.

Trova gli esponenti $a$ e $b$ giustificando i passaggi seguiti.

Tre amici noleggiano un campo da padel. Il costo totale è dato dall'espressione algebrica $C(t, l) = 6t + 2l$, dove $t$ è il tempo in ore e $l$ è il numero di racchette noleggiate.

1. a) Se decidono di dividere la spesa in parti uguali, scrivi l'espressione algebrica che rappresenta quanto deve pagare ciascuno.

1. b) Se un quarto amico si unisce al gruppo, il costo totale delle racchette aumenta (ora sono $l+1$) e la spesa si divide per quattro. Scrivi la nuova espressione per il pagamento individuale.

1. c) Se il tempo di gioco è di $1,5$ ore e ognuno noleggia la propria racchetta, quanti euro risparmia ciascuno dei tre amici originari quando entra il quarto giocatore?

Calcola il grado di questo monomio "a catena" e semplificalo nella sua forma più semplice:

$$P(x) = x \cdot (2x^2)^3 : \left( \frac{1}{4}x^4 \right) + (-5x^3) \cdot (-2x^0)$$

I termini risultanti dalla somma sono simili? Giustifica la tua risposta.

Per calcolare il valore numerico dell'espressione algebrica:

$$E = 7x^2y - 12x^2y + 8x^2y - 2x^2y$$

per $x = -\frac{2}{3}$ e $y = 9$, due studenti seguono strade diverse:

• Metodo A (Marco): Sostituisce direttamente i valori di $x$ e $y$ in ciascuno dei quattro monomi separatamente, calcola i quattro risultati numerici e poi esegue le addizioni e sottrazioni con i numeri ottenuti.

• Metodo B (Nuria): Raggruppa prima i monomi simili per ridurre l'intera espressione a un unico monomio e, successivamente, sostituisce i valori numerici una sola volta.

1. a) Risolvi l'esercizio seguendo nel dettaglio il metodo di Marco e poi quello di Nuria.
2. b) Analizza entrambi i procedimenti: in quale hai dovuto fare più operazioni con potenze e frazioni? Giustifica quale dei due metodi è più conveniente e sicuro per evitare errori di calcolo.

Un comune progetta due tipi di appezzamenti rettangolari per orti comunitari:

• L'orto di tipo A ha una base di $3x$ metri e un'altezza di $2x^2y$ metri.

• L'orto di tipo B ha una base di $k \cdot x$ metri (dove $k$ è un numero fisso che non conosciamo) e un'altezza di $5x^2y$ metri.

1. a) Trova il monomio che rappresenta la superficie di ciascun tipo di orto moltiplicando la sua base per la sua altezza. Indica il coefficiente, la parte letterale e il grado di ciascuno.
2. b) Spiega in modo motivato perché i due monomi ottenuti sono simili, qualunque sia il valore del coefficiente $k$.
3. c) Il comune vuole costruire $4$ orti di tipo A e $2$ orti di tipo B. Determina il valore che deve avere il numero $k$ affinché la superficie totale degli orti costruiti sia esattamente uguale a $44x^3y\text{ m}^2$. Mostra tutto il procedimento di deduzione raggruppando i monomi simili.