Esercizi: Il linguaggio algebrico

Esprimi in linguaggio algebrico le seguenti situazioni relative al risparmio e ai social network:

1. a) Il numero di follower di un influencer, $x$, aumentato di $150$.
2. b) Il prezzo di un biglietto del cinema, $p$, ridotto di $2$ euro.
3. c) Il triplo dell'età di mio fratello, se la sua età è $y$.
4. d) La metà del denaro che ho nel salvadanaio, essendo $d$ la somma totale.

Copia e completa la seguente tabella identificando le componenti di questi monomi:

Monomio	Coefficiente	Parte letterale	Grado
$7x^2$
$-ab^3$
$\frac{1}{2}x^3y$
$-5$

Dalla seguente lista di monomi, individua e raggruppa quelli che sono simili tra loro:

$5x^2$, $3y$, $-2x$, $\frac{1}{4}x^2$, $8y$, $x^2$, $-5y$, $10x$

Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni per i valori indicati:

1. a) $3x + 10$ per $x = 4$
2. b) $x^2 - 5$ per $x = 3$
3. c) $2(a + b)$ per $a = 5$ e $b = 2$
4. d) $\frac{12}{x}$ per $x = 6$

Trova l'espressione algebrica che rappresenta il perimetro del seguente quadrato il cui lato misura $x$ metri:

Associa ogni frase alla sua espressione algebrica corrispondente:

1. Il doppio di un numero più cinque unità.                      a) $x - 5$

2. Un numero diminuito di cinque unità.                         b) $2x + 5$

3. La quinta parte di un numero.                                           c) $x^5$

4. Un numero elevato alla quinta potenza.                           d) $\frac{x}{5}$

In un negozio di videogiochi, il costo di noleggio di una console è di $10$ euro fissi più $2$ euro per ogni ora di utilizzo.

1. a) Scrivi l'espressione algebrica del costo totale per un numero di ore $h$.
2. b) Quanto pagherà Giulia se noleggia la console per $3$ ore?

Trova l'espressione algebrica che rappresenta l'area del seguente rettangolo, sapendo che la sua base misura $5$ unità in più della sua altezza ($x$):

Alberto noleggia un monopattino elettrico in sharing a Napoli. L'azienda applica una tariffa di $1$ € per lo sblocco iniziale più $0,25$ € per ogni minuto di percorso. Per calcolare il costo in euro di un viaggio di $m$ minuti, Alberto scrive sul suo quaderno l'espressione $(1 + 0,25) \cdot m$.

1. Individua l'errore concettuale commesso da Alberto nell'impostare questa espressione.

2. Spiega con parole tue perché il termine fisso non deve mai essere moltiplicato per la variabile tempo in questo tipo di tariffe.

3. Scrivi l'espressione algebrica corretta per calcolare il costo totale del percorso in funzione dei minuti $m$.

In un comune italiano, la bolletta mensile dell'acqua domestica è composta da una quota fissa di manutenzione e fognatura di $11,50$ €, a cui si aggiunge un costo di $1,30$ € per ogni metro cubo ($m^3$) di acqua consumata.

1. Scrivi l'espressione algebrica che permette di calcolare l'importo totale della bolletta mensile per un'abitazione che ha consumato $x$ metri cubi di acqua.

2. Se una famiglia consuma $14\text{ m}^3$ durante il mese di maggio, calcola l'importo totale che risulterà in bolletta.

3. Se un'abitazione rimane disabitata durante le vacanze e il suo consumo è di $0\text{ m}^3$, quanto pagherà quel mese? Spiega come si deduce questo risultato dalla tua espressione algebrica.

Su una piattaforma di streaming di videogiochi, la tariffa mensile base è di $12$ €. Inoltre, ogni volta che vuoi giocare a un titolo "Premium" fuori dal catalogo, devi pagare $3,50$ € aggiuntivi.

Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta il costo totale che pagherà un utente al mese se decide di giocare a $x$ titoli "Premium".

Calcola l'espressione algebrica del perimetro della seguente figura, che rappresenta la pianta di una piccola area giochi rettangolare.

Osserva la seguente sequenza di figure formate da punti e determina il termine generale $a_n$ che permette di calcolare il numero di punti necessari per una qualsiasi figura $n$.

Un centro di riciclaggio assegna "punti eco" in base al materiale consegnato:

• $5$ punti per ogni chilogrammo di vetro ($v$).

• $3$ punti per ogni chilogrammo di carta ($p$).

• $10$ punti fissi per ogni visita al centro.

Scrivi la formula dei punti totali $P$ che riceve una persona in una visita. Una volta scritta, calcola quanti punti riceverà uno studente che consegna $4$ kg di vetro e $8$ kg di carta.

Analizza le seguenti espressioni algebriche e completa le informazioni richieste in ciascun caso:

1. Nell'espressione $7x^2y - 5x + 3$: Quanti termini ha? Qual è il termine noto?

2. Dato il monomio $-\frac{2}{3}ab^4$: Indica il suo coefficiente, la sua parte letterale e il suo grado complessivo.

Giulia sta analizzando la crescita dei suoi follower su un social network. Ha iniziato il mese con $x$ follower. Durante la prima quindicina, il numero dei suoi follower è triplicato. Tuttavia, nella seconda quindicina, ha perso $150$ follower a causa di una pulizia degli account inattivi.

Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta il numero finale di follower di Giulia e calcola quanti ne ha se ha iniziato il mese con $x = 420$.

Traduci queste frasi dal linguaggio comune al linguaggio algebrico utilizzando una sola variabile $x$:

1. a) La somma di un numero e della sua metà.
2. b) Il triplo del risultato della sottrazione di cinque da un numero.
3. c) Il quadrato del precedente di un numero.
4. d) La differenza tra il doppio di un numero e il suo successivo.

Una scatola di cartone per spedizioni ha una base quadrata di lato $x$ e un'altezza che è $5$ cm maggiore del lato della base.

Disegna uno schema del parallelepipedo e scrivi l'espressione algebrica semplificata che rappresenta il volume della scatola in funzione di $x$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un furgone di un corriere che effettua consegne in un capoluogo di provincia ha un costo operativo giornaliero modellizzato dall'espressione $C = 16,50 + 0,12 \cdot k$, dove $C$ è la spesa totale del giorno in euro e $k$ è la distanza percorsa in chilometri ($16,50$ € per assicurazione e tasse fisse giornaliere, più $0,12$ € per chilometro di carburante e usura).

1. Prima di eseguire il calcolo esatto, fai una stima mentale della spesa totale per un percorso di $195\text{ km}$. Per farlo, arrotonda $16,50$ € a $17$ € e $0,12$ € a $0,10$ € (oppure usa un altro arrotondamento giustificato che faciliti il calcolo mentale). Mostra l'operazione stimata che hai eseguito.

2. Calcola il costo reale esatto sostituendo $k = 195$ nell'espressione algebrica originale.

3. Confronta il valore esatto con la tua stima precedente: calcola la differenza in euro e argomenta se la stima è stata ragionevole e sufficiente per prevedere la spesa della giornata.

Vuoi inventare un gioco di indovinelli matematici per i tuoi compagni di classe. Il gioco deve condurre in modo matematico alla seguente espressione algebrica:

$$\frac{2 \cdot (x + 5) - 4}{2}$$

dove $x$ è il numero segreto scelto inizialmente dal tuo compagno.

1. Scrivi in modo ordinato le istruzioni verbali passo per passo che devi dettare al tuo compagno affinché costruisca tale espressione (iniziando con «Pensa un numero intero qualsiasi...»).

2. Sviluppa e semplifica al massimo l'espressione algebrica applicando la proprietà distributiva e riducendo i termini simili.

3. A partire dall'espressione semplificata, spiega qual è il «trucco»: se il tuo compagno esegue le operazioni in silenzio e ti dice ad alta voce di aver ottenuto $19$, quale calcolo mentale istantaneo devi fare tu per dirgli quale numero $x$ aveva pensato all'inizio?

Un comune vuole installare una recinzione di legno intorno a un nuovo parco giochi. La recinzione si costruisce unendo pannelli rettangolari mediante pali verticali. Ogni pannello richiede $3$ listelli orizzontali. Per sostenere la struttura, si colloca un palo all'inizio della recinzione e un altro alla fine di ogni pannello.

1. Scrivi un'espressione algebrica che permetta di calcolare il numero totale di listelli orizzontali necessari per una recinzione di $n$ pannelli.

2. Scrivi un'espressione algebrica per il numero totale di pali necessari per una recinzione di $n$ pannelli.

3. Se ogni palo costa $p$ euro e ogni listello orizzontale costa $l$ euro, scrivi l'espressione del costo totale dei materiali per una recinzione di $n$ pannelli.

Un'azienda di spedizioni fa pagare ai clienti in base al peso dei pacchi e alla distanza della spedizione. La tariffa base è di $B$ euro. A questa cifra si aggiungono:

• $2,5$ euro per ogni chilogrammo di peso ($w$).

• $0,15$ euro per ogni chilometro di distanza ($d$).

Se il cliente è "Premium", si applica uno sconto del $15\%$ sul prezzo totale della spedizione. Scrivi l'espressione algebrica che determina il costo totale per spedire un pacco a un cliente "Premium" in funzione di $B$, $w$ e $d$.

Da una lamiera d'acciaio quadrata di lato $x$ centimetri, un operaio deve ritagliare quattro cerchi uguali, uno per ogni angolo, per fabbricare un pezzo industriale. Il raggio di ciascun cerchio è di $r$ centimetri.

1. Scrivi l'espressione algebrica dell'area della lamiera che resta dopo aver effettuato i quattro ritagli (usa $\pi$ come simbolo).

2. Se sappiamo che il raggio dei cerchi è la quarta parte del lato della lamiera, cioè $r = \frac{x}{4}$, semplifica l'espressione precedente in modo che dipenda solo dalla variabile $x$.

Osserva la seguente sequenza di figure formate da piccoli esagoni. La prima figura ha un esagono centrale circondato da altri sei. A ogni passo si aggiunge un nuovo strato di esagoni intorno alla figura precedente.

1. Determina quanti esagoni ha lo strato numero $n$ (senza contare quelli degli strati interni).

2. Trova l'espressione algebrica che rappresenta il numero totale di esagoni che formano la figura completa quando questa ha $n$ strati intorno all'esagono centrale.

(Suggerimento: il numero di esagoni aggiunti in ogni strato segue una progressione).

Traduci in linguaggio algebrico le seguenti proprietà relative ai numeri interi:

1. Il quadrato della somma di due numeri qualsiasi, $a$ e $b$, è uguale alla somma dei loro quadrati più il doppio del loro prodotto.

2. La somma dei quadrati di tre numeri consecutivi, essendo $n$ il minore di essi.

3. La differenza tra il cubo di un numero $x$ e il quadrato della sua metà.

4. Il quoziente tra la somma di un numero e il suo inverso, e il triplo di tale numero.

Tre fratelli, Marco, Valentina e Adriano, decidono di risparmiare per comprare un regalo. Sappiamo che:

• Valentina ha risparmiato $x$ euro.

• Marco ha risparmiato $10$ euro in meno del triplo di quanto ha Valentina.

• Adriano ha risparmiato la metà della somma di quanto hanno insieme gli altri due fratelli.

Esprimi in funzione di $x$:

1. Il denaro che ha Marco.

2. Il denaro che ha Adriano (semplifica l'espressione).

3. Il denaro totale risparmiato dai tre fratelli.

Si vuole progettare una scatola di cartone senza coperchio a partire da un foglio rettangolare di cartoncino lungo $50$ cm e largo $30$ cm. Per farlo, si ritaglia un quadrato di lato $x$ in ciascuno degli angoli e si piegano le alette verso l'alto.

Scrivi l'espressione algebrica semplificata che rappresenta:

1. L'area della base della scatola in funzione di $x$.

2. Il volume totale della scatola in funzione di $x$.

Una piattaforma di streaming offre due tipi di abbonamento:

• Piano Base: Una quota fissa di $x$ euro al mese più $0,50$ euro per ogni film in prima visione noleggiato ($p$).

• Piano Premium: Una quota fissa che costa il $40\%$ in più di quella base, ma permette di vedere un numero illimitato di film senza costi aggiuntivi.

• Scrivi l'espressione algebrica del costo mensile del Piano Base.

• Scrivi l'espressione algebrica del costo mensile del Piano Premium.

• Scrivi l'espressione che rappresenta la differenza di costo tra il Piano Premium e il Piano Base in un mese in cui si noleggiano $p$ film. Per quali valori di $p$ il Piano Base risulterebbe più caro del Premium? (Indica solo la condizione).

Due studenti di seconda media, Marco e Sara, vogliono dimostrare in generale che «la somma di tre numeri interi consecutivi è sempre divisibile per $3$». Ognuno propone un percorso algebrico diverso:

• Metodo di Marco: chiama il primo numero $n$, il secondo $n + 1$ e il terzo $n + 2$.

• Metodo di Sara: chiama il numero centrale $n$, il precedente $n - 1$ e il successivo $n + 1$.

• Sviluppa e semplifica la somma impostata da Marco. Giustifica perché l'espressione ottenuta dimostra che il risultato è sempre multiplo di $3$, qualunque sia il valore del numero intero $n$.

• Sviluppa e semplifica la somma impostata da Sara. Giustifica perché dimostra anch'essa la stessa proprietà.

• Confronta i due metodi: quale dei due risulta più diretto ed elegante nel semplificare i termini numerici? Giustifica la tua risposta.

• Un compagno dice: «Perché complicarsi con le lettere; basta provare che $4+5+6=15$ e che $10+11+12=33$ per vedere che la regola funziona». Controbatti la sua argomentazione spiegando qual è la funzione essenziale dell'algebra rispetto alla semplice verifica con esempi numerici.

Al torneo comprensoriale di calcio a 5 scolastico partecipano $n$ squadre. Nella fase preliminare, tutte le squadre devono giocare contro tutte le altre esattamente una volta (girone all'italiana con sola andata). L'organizzazione utilizza l'espressione algebrica $P = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}$ per calcolare il numero totale di partite da programmare.

1. Interpreta la struttura logica della formula: spiega perché si moltiplica il numero di squadre $n$ per $(n - 1)$, e perché è necessario dividere tale prodotto per $2$.

2. Poiché il numero di partite deve essere necessariamente un numero intero per qualsiasi numero di squadre $n$ ($n \ge 2$), dimostra algebricamente che $P$ dà sempre un risultato intero esatto studiando separatamente i due casi possibili:

3. Caso A: Il numero di squadre è pari ($n = 2k$, con $k$ numero naturale).

4. Caso B: Il numero di squadre è dispari ($n = 2k + 1$, con $k$ numero naturale).

(Sostituisci ciascuna forma nella formula di $P$ e semplifica la frazione).

1. Se il palazzetto comunale dispone di ore libere solo per disputare al massimo $20$ partite durante il fine settimana, determina mediante la formula algebrica se è possibile ammettere un torneo di $7$ squadre.