Esercizi: Similitudine di triangoli

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli uguali. Verifica se i due triangoli seguenti sono simili calcolando l'angolo mancante in ciascuno:

• Il triangolo A ha due angoli che misurano $45^\circ$ e $75^\circ$.

• Il triangolo B ha due angoli che misurano $75^\circ$ e $60^\circ$.

Ricorda che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre $180^\circ$.

Calcola il rapporto di similitudine $k$ che trasforma il triangolo piccolo nel triangolo grande, sapendo che sono simili. Una volta trovato $k$, indica quanto deve misurare il lato indicato con la lettera $x$.

Marta ha disegnato due triangoli in posizione di Talete. Sapendo che i segmenti orizzontali sono paralleli, calcola la misura del lato $x$ utilizzando la proporzione tra i lati corrispondenti.

Un albero proietta un'ombra di $12$ metri. Nello stesso istante, un bastone di $1,5$ metri piantato verticalmente nel terreno proietta un'ombra di $2$ metri. Quanto è alto l'albero? Spiega perché i triangoli formati dall'albero e dal bastone con le loro ombre sono simili.

Verifica se questi due triangoli sono simili utilizzando il criterio dei lati proporzionali (criterio SSS). Per farlo, dividi i lati corrispondenti (il maggiore per il maggiore, il medio per il medio e il minore per il minore) e controlla se ottieni lo stesso risultato.

• Triangolo 1: Lati di $6$ cm, $9$ cm e $12$ cm.

• Triangolo 2: Lati di $4$ cm, $6$ cm e $8$ cm.

Due triangoli rettangoli hanno un angolo acuto uguale a $37^\circ$. Possiamo affermare che sono simili? Giustifica la tua risposta utilizzando i criteri di similitudine dei triangoli.

Calcola la misura dei lati di un triangolo simile a un altro i cui lati misurano $5$ cm, $7$ cm e $9$ cm, se il rapporto di similitudine è $k = 3$. Come sarà il nuovo triangolo, più grande o più piccolo di quello originale?

Utilizza il teorema di Talete per trovare il valore di $x$ nella figura seguente, in cui i ripiani della scaffalatura triangolare sono paralleli alla base.

Ugo sta studiando per il compito di Matematica e deve stabilire se due triangoli sono simili. Il primo triangolo ha lati che misurano $4\text{ cm}$, $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$, e il secondo ha lati che misurano $7\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ e $11\text{ cm}$. Ugo scrive sul quaderno:\n«Sono simili perché se sottrai i lati corrispondenti, $7 - 4 = 3$, $9 - 6 = 3$ e $11 - 8 = 3$; poiché la differenza è sempre la stessa ($3\text{ cm}$), i due triangoli crescono allo stesso ritmo e hanno la stessa forma».\n\na) Individua l'errore concettuale commesso da Ugo e spiega con parole tue perché una differenza costante tra i lati non garantisce che due figure siano simili.\nb) Verifica matematicamente, calcolando i rapporti dei lati corrispondenti, se i triangoli di Ugo sono simili oppure no.\nc) Scrivi le misure che dovrebbe avere il secondo triangolo se il lato omologo a quello di $4\text{ cm}$ misurasse davvero $7\text{ cm}$, affinché i due triangoli siano simili.

In un parco di Bologna, un lampione verticale proietta sul terreno un'ombra di $4,8\text{ m}$ nello stesso istante in cui Marco, alto $1,60\text{ m}$, proietta un'ombra di $1,20\text{ m}$.\n\na) Prima di fare qualsiasi operazione scritta, osserva le misure di Marco e della sua ombra: la sua ombra è più lunga o più corta della sua altezza reale? Basandoti su questo, stima se l'altezza del lampione sarà maggiore o minore dei suoi $4,8\text{ m}$ di ombra e scrivi una stima ragionata di tra quali valori approssimativi dovrebbe trovarsi la sua altezza reale.\nb) Giustifica perché i triangoli formati dal lampione con la sua ombra e da Marco con la sua sono simili, citando il criterio di similitudine applicabile.\nc) Imposta la proporzione corrispondente, calcola l'altezza esatta del lampione e verifica se la tua stima del punto a) era corretta.

Due alunni di seconda media, Lucia e Marco, stanno verificando se le vele triangolari delle loro barche a vela leggere sono simili. La vela di Lucia ha due angoli che misurano $65^\circ$ e $45^\circ$. La vela di Marco ha un angolo di $45^\circ$ e un altro di $70^\circ$.

a) Calcola il terzo angolo di ciascuna vela.

b) Stabilisci, utilizzando i criteri di similitudine, se le due vele hanno la stessa forma (sono simili).

Per misurare l'altezza di un canestro da pallacanestro, un gruppo di studenti utilizza un palo di $1,5$ metri posto verticalmente. Nello stesso istante in cui l'ombra del palo misura $1,2$ metri, l'ombra del canestro proiettata sul suolo misura $2,4$ metri. Calcola l'altezza del canestro sfruttando la similitudine dei triangoli formati dal sole.

Nella progettazione di una struttura metallica per un tetto si utilizzano due travi parallele per rinforzare l'armatura principale. Sapendo che i triangoli che si formano sono in posizione di Talete, calcola la lunghezza dei segmenti indicati con $x$ e $y$ nello schema seguente:

(Nota: Nella base, il segmento piccolo misura $4\text{ m}$ e il totale $10\text{ m}$. Nella falda inclinata, il segmento piccolo misura $5\text{ m}$. Trova $x$, la base restante, e $y$, il segmento restante della falda inclinata).

Un drone sorvola un parco a un'altezza di $15$ metri. La sua telecamera proietta a terra un campo visivo triangolare. Se il drone sale fino a un'altezza di $45$ metri:

a) Qual è il rapporto di similitudine tra il triangolo di visione originale e quello nuovo?

b) Se il perimetro dell'area che copriva a terra era di $120$ metri, qual sarà il perimetro della nuova area?

c) Se la superficie (area) coperta originariamente era di $800\text{ m}^2$, quale sarà la superficie coperta alla nuova altezza?

Calcola la distanza tra i punti $B$ e $D$ della figura seguente, sapendo che i segmenti $BC$ e $DE$ sono paralleli e che i punti $A$, $B$ e $D$ sono allineati, così come $A$, $C$ e $E$. I dati noti sono: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ e $DE = 12,5\text{ cm}$.

Il comune vuole installare una rampa di accesso per le sedie a rotelle. Il progetto originale è un triangolo rettangolo di base $4$ metri e altezza $0,8$ metri. Per normativa, devono ampliare la base fino a $6$ metri mantenendo la stessa inclinazione (angolo).

a) Quale altezza avrà la nuova rampa?

b) Se per la rampa originale servivano $4,08$ metri di superficie di scorrimento (ipotenusa), quanti metri serviranno per la rampa ampliata?

Daniele vuole misurare la profondità di un pozzo circolare di $1,6$ metri di diametro. Per farlo, si allontana di $0,8$ metri dal bordo finché, da un'altezza di $1,75$ metri (quella dei suoi occhi), riesce a vedere esattamente il bordo del fondo del pozzo. Utilizza la similitudine dei triangoli per trovare la profondità del pozzo.

Abbiamo due triangoli isosceli. Il primo ha un angolo al vertice di $40^\circ$ e i suoi lati uguali misurano $10\text{ cm}$ ciascuno. Il secondo ha anch'esso un angolo al vertice di $40^\circ$ ma i suoi lati uguali misurano $15\text{ cm}$.

a) Questi due triangoli sono simili? Giustifica la tua risposta citando il criterio di similitudine applicato.

b) Qual è il rapporto di similitudine tra il secondo e il primo?

c) Se la base del primo triangolo misura $6,84\text{ cm}$, quanto misurerà la base del secondo?

La normativa tecnica sull'edilizia in Italia stabilisce che le rampe di accesso per persone con mobilità ridotta non devono superare una pendenza massima né superare dislivelli superiori a $1,20\text{ m}$ di altezza senza inserire un ripiano orizzontale di sosta. In un centro sanitario di Bologna è stata costruita una rampa rettilinea. Controllandola, il tecnico verifica che nei primi $3\text{ m}$ di avanzamento orizzontale la rampa è salita di $0,18\text{ m}$ di altezza rispetto al suolo.\n\na) Modella la situazione mediante triangoli rettangoli e spiega perché qualsiasi punto lungo la rampa forma con il suolo un triangolo simile a quello che abbraccia l'intera rampa.\nb) Se la distanza orizzontale totale dall'inizio della rampa alla porta d'ingresso è $18\text{ m}$, calcola l'altezza totale che la rampa supera.\nc) Con i dati ottenuti e la normativa indicata, determina se la rampa può essere continua o se è obbligatorio inserire un ripiano orizzontale intermedio. Giustifica la tua conclusione.

Un laboratorio artigianale produce cornici triangolari di legno. Dispongono di una cornice campione di riferimento i cui lati misurano $5\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$. Il laboratorio riceve l'incarico di progettare due nuove cornici triangolari, la cornice $A$ e la cornice $B$, che devono avere due lati che misurino esattamente $15\text{ cm}$ e $24\text{ cm}$.\n\na) Determina quale deve essere la misura esatta del terzo lato della cornice $A$ affinché sia simile alla cornice campione. Indica quale criterio di similitudine hai applicato e qual è il rapporto di similitudine $k$ che le lega.\nb) Proponi una possibile misura intera per il terzo lato della cornice $B$ in modo che formi un triangolo geometricamente valido (ricorda che la somma di due lati qualsiasi deve essere sempre maggiore del terzo), ma che NON sia simile alla cornice campione.\nc) Dimostra in dettaglio perché la cornice $B$ che hai proposto non è simile alla cornice campione confrontando i rapporti tra i suoi lati.

Un gruppo di studenti di seconda media vuole misurare l'altezza della torre di telecomunicazioni della propria città. Per farlo, utilizzano un palo verticale alto $2,5$ metri. Sistemano il palo in modo che, in un dato momento, l'estremo dell'ombra della torre e quello del palo coincidano nello stesso punto del terreno. Se la distanza tra la base del palo e il punto in cui terminano le ombre è $3,2$ metri, e la distanza tra la base della torre e la base del palo è $18,4$ metri, calcola l'altezza della torre.

Due rette incidenti si incontrano in un punto $V$. Su una di esse si segnano i punti $A$ e $B$, e sull'altra i punti $C$ e $D$, in modo che i segmenti $AC$ e $BD$ siano paralleli (configurazione di Talete). Se sappiamo che $VA = 9$ cm, $VB = 15$ cm e l'area del triangolo minore $VAC$ è $27$ $cm^2$, calcola l'area del quadrilatero $ABDC$ sapendo che i triangoli sono simili.

Un falegname sta progettando una scaffalatura rinforzata con una traversa a forma di triangolo rettangolo. Nel triangolo di base, l'altezza relativa all'ipotenusa divide quest'ultima in due segmenti che misurano $18$ cm e $32$ cm. Il falegname deve conoscere la lunghezza dei due listelli che formano i cateti del triangolo per acquistarli. Calcola la misura di entrambi i cateti e l'altezza della traversa utilizzando le relazioni di similitudine nei triangoli rettangoli.

Uno schermo di un cinema estivo proietta un'immagine da una sorgente luminosa situata a $12$ metri di distanza. Lo schermo originale ha una superficie di $24$ $m^2$. Se avviciniamo lo schermo al proiettore fino a collocarlo esattamente a metà distanza ($6$ metri dalla sorgente), l'immagine proiettata sarà più piccola ma conserverà la stessa forma. Qual è l'area dell'immagine in questa nuova posizione? Motiva la tua risposta utilizzando la relazione tra il rapporto di similitudine e l'area.

Per calcolare la larghezza di un fiume senza attraversarlo, un topografo colloca alcuni picchetti come mostrato nella figura. I triangoli formati, $ABC$ e $CDE$, sono simili perché le rive sono parallele e le linee di vista si incrociano nel punto $C$. Se le misure rilevate sono $AB = 24$ m, $BC = 30$ m e $CD = 15$ m, determina la larghezza del fiume ($ED$) e spiega quale criterio di similitudine hai applicato.

Un architetto presenta un plastico di un centro culturale a forma di piramide a base triangolare. Il rapporto di similitudine tra il plastico e l'edificio reale è $1:150$. Se il volume del plastico è $0,8$ $dm^3$, qual è il volume dell'edificio reale espresso in metri cubi ($m^3$)? Ricorda di applicare correttamente la relazione tra il rapporto di similitudine e il volume.

In un triangolo $ABC$, il lato $AB$ misura $12$ cm e il lato $AC$ misura $15$ cm. Tracciamo un segmento $PQ$ parallelo al lato $BC$, in modo che il punto $P$ si trovi su $AB$ e il punto $Q$ si trovi su $AC$. Se il segmento $AP$ misura la terza parte del segmento $PB$, calcola le lunghezze dei segmenti $AP$ e $AQ$. Giustifica la tua risposta basandoti sul teorema di Talete.

Considera due triangoli rettangoli. Il primo ha i cateti di $3$ cm e $4$ cm. Il secondo triangolo è simile al primo e la sua ipotenusa misura $15$ cm. Calcola il perimetro e l'area di questo secondo triangolo. (Suggerimento: trova prima l'ipotenusa del triangolo originale per determinare il rapporto di similitudine).

In una pista da skateboard si costruisce una rampa di salto la cui sezione laterale è un triangolo rettangolo. L'altezza tracciata sull'ipotenusa (il suolo) la divide in due tratti, proiezioni che misurano $m = 1,8\text{ m}$ e $n = 3,2\text{ m}$. Si vuole calcolare la lunghezza della rampa di salita, che corrisponde al cateto minore $c$ adiacente alla proiezione $m$.\n\nPer risolverlo, due progettisti propongono metodi diversi:\n- Metodo 1 (Sofia): Calcolare prima l'altezza $h$ con il teorema dell'altezza ($h^2 = m \cdot n$) e poi applicare il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo minore per trovare $c = \sqrt{h^2 + m^2}$.\n- Metodo 2 (Matteo): Applicare direttamente il teorema del cateto, derivato dalla similitudine dei triangoli, secondo il quale $c^2 = m \cdot (m + n)$, ricavando $c$ in un solo passaggio.\n\na) Applica passo dopo passo entrambi i metodi con i dati forniti e verifica che si ottenga esattamente lo stesso valore numerico per la lunghezza $c$.\nb) Dimostra algebricamente che la formula di Sofia ($c^2 = h^2 + m^2$) equivale esattamente a quella di Matteo ($c^2 = m \cdot (m + n)$) sostituendo in essa l'uguaglianza $h^2 = m \cdot n$ e raccogliendo a fattor comune.\nc) Se le misure di partenza dessero luogo a radici quadrate non esatte e non potessi usare la calcolatrice, giustifica quale dei due metodi è più consigliabile per evitare di portarsi dietro errori di arrotondamento.

Una camera oscura si basa su un minuscolo foro attraverso il quale entrano raggi di luce in linea retta: incrociandosi nel foro, proiettano sullo schermo posteriore un'immagine capovolta e simile all'oggetto esterno.\nUn gruppo di studenti costruisce una camera oscura con una scatola profonda $20\text{ cm}$ (distanza dal foro allo schermo posteriore). Vogliono fotografare una turbina eolica di un parco eolico in Puglia la cui altezza totale è $45\text{ m}$. Lo schermo sul fondo della camera ha un'altezza utile massima di $15\text{ cm}$.\n\na) Modella la situazione descrivendo i due triangoli che si formano ai due lati del foro e dimostra perché sono simili, indicando quali angoli coincidono e quale criterio di similitudine è soddisfatto.\nb) Imposta la proporzione adeguata e calcola a quale distanza minima dalla turbina deve essere collocata la camera affinché la sua immagine completa stia sullo schermo senza essere tagliata.\nc) Se per sicurezza gli studenti sono costretti ad allontanarsi fino a collocare la camera esattamente al triplo della distanza calcolata nel punto precedente, ragiona senza risolvere di nuovo tutta l'equazione quale altezza avrà ora l'immagine proiettata e come si relaziona con il rapporto di similitudine.