Esercizi: Concetti

Sara ha due fotografie del suo cane. La prima misura $10 \text{ cm}$ di larghezza e $15 \text{ cm}$ di altezza. La seconda è un ingrandimento che misura $20 \text{ cm}$ di larghezza e $30 \text{ cm}$ di altezza. Queste due fotografie sono figure simili? Giustifica la tua risposta verificando se le dimensioni sono proporzionali.

Calcola il rapporto di similitudine $k$ che trasforma il rettangolo $A$ nel rettangolo $B$, sapendo che il lato minore di $A$ misura $4 \text{ cm}$ e il lato minore di $B$ misura $12 \text{ cm}$. Si tratta di un ingrandimento o di una riduzione?

Luca ha disegnato un triangolo con angoli di $40^\circ$, $60^\circ$ e $80^\circ$. Se decide di creare un nuovo triangolo simile raddoppiando la misura di tutti i suoi lati, quanto misureranno gli angoli del nuovo triangolo? Spiega che cosa succede agli angoli di due figure quando sono simili.

Sullo schermo del suo cellulare, Marco vede una mappa a una certa scala. Se il rapporto di similitudine tra la mappa sullo schermo e la realtà è $k = \frac{1}{5000}$, indica se le seguenti affermazioni sono vere o false:

• a) La mappa è una riduzione della realtà.

• b) $1 \text{ cm}$ sulla mappa rappresenta $5000 \text{ cm}$ nella realtà.

• c) Gli angoli tra le strade cambiano sulla mappa per poter stare nello schermo.

Un logo ha forma di pentagono regolare con un lato di $3 \text{ cm}$. Per la facciata di un negozio, si realizza un logo simile con rapporto di similitudine $k = 15$. Quanto misurerà il lato del nuovo logo?

Osserva le seguenti coppie di rettangoli. Indica, senza fare calcoli complessi, quale di essi non può essere simile all'originale e spiega perché osservandone la forma.

Se abbiamo due poligoni simili con rapporto di similitudine $k = 2,5$, e il perimetro del poligono piccolo è $20 \text{ cm}$, qual sarà il perimetro del poligono maggiore? Ricorda la relazione che esiste tra il rapporto di similitudine e i perimetri.

Disegna su un reticolo una lettera "L" che occupi $2$ quadretti di larghezza e $4$ di altezza. Poi disegna accanto un'altra lettera "L" simile con rapporto di similitudine $k = 0,5$. Quanti quadretti di altezza avrà la nuova figura?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Carla ha un cartoncino rettangolare di $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ per la materia di Educazione artistica e usa esattamente un tubetto da $60\text{ ml}$ di tempera per coprirlo completamente. Per una mostra a scuola, vuole fare una versione ingrandita e simile moltiplicando la lunghezza di tutti i suoi lati per $3$ (cioè con rapporto di similitudine $k = 3$). Il suo compagno Ugo le dice: «Poiché i lati misurano il triplo, ti servirà il triplo di colore, quindi compra $3$ tubetti da $60\text{ ml}$ ($180\text{ ml}$) e ne avrai abbastanza».\na) Indica l'errore di ragionamento commesso da Ugo e spiega, usando le proprietà delle figure simili, perché la quantità di colore non è proporzionale al rapporto $k$.\nb) Calcola quanti millilitri di tempera e quanti tubetti interi di colore servirà in realtà a Carla per dipingere il cartoncino grande.

Il comune vuole dipingere sul suolo di un parco un campo polivalente per bambini che sarà simile a un campo regolamentare di calcio a cinque. Il campo regolamentare misura $40\text{ m}$ di lunghezza per $20\text{ m}$ di larghezza. Il campo per bambini avrà una lunghezza di $20\text{ m}$.\na) Senza ancora fare calcoli dettagliati, stima in modo ragionato: il perimetro del campo per bambini sarà la metà o un quarto di quello del campo regolamentare? E la sua superficie (area) sarà la metà, un quarto o un ottavo?\nb) Calcola ora il rapporto di similitudine $k$, il perimetro di entrambi i campi e l'area di entrambi i campi.\nc) Verifica se le tue stime del punto a) coincidono con i valori calcolati e giustifica la relazione matematica ottenuta tra il rapporto di similitudine, i perimetri e le aree.

Un illustratore sta progettando due versioni dello stesso logo rettangolare. Il logo originale ha dimensioni di $12\text{ cm}$ di lunghezza e $8\text{ cm}$ di larghezza. Se vuole creare una versione ingrandita che sia simile e la cui lunghezza misuri $30\text{ cm}$:

1. Calcola il rapporto di similitudine $k$ dell'ingrandimento.

2. Determina la larghezza del nuovo logo.

3. Se il perimetro del logo piccolo è $40\text{ cm}$, quanto sarà il perimetro di quello grande? Utilizza la relazione tra i perimetri di figure simili per verificarlo.

Calcola il valore del segmento incognito $x$ nella seguente figura, sapendo che le rette $r$, $s$ e $t$ sono parallele. Applica il teorema di Talete ed esprimi il risultato con due cifre decimali.

Due triangoli, $ABC$ e $A'B'C'$, sono in posizione di Talete. Il triangolo piccolo ha i lati che misurano $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 6\text{ cm}$ e $AC = 4\text{ cm}$. Se il lato corrispondente $AB'$ del triangolo maggiore misura $12,5\text{ cm}$:

1. Qual è il rapporto di similitudine tra il triangolo maggiore e quello minore?

2. Trova la lunghezza dei lati $B'C'$ e $AC'$.

3. Verifica che il rapporto tra le loro aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine.

Un architetto ha disegnato la pianta di una stanza in scala 1:50. Nella pianta, la stanza è un rettangolo di $12\text{ cm}$ di lunghezza per $8\text{ cm}$ di larghezza.

1. Calcola le dimensioni reali della stanza in metri.

2. L'architetto vuole collocare un tappeto che occupa $6\text{ m}^2$ nella realtà. Quale area occuperà questo tappeto nella pianta (in $\text{cm}^2$)?

3. Se decidesse di cambiare la scala in 1:100, come varierebbero le misure del disegno rispetto alla pianta precedente?

Per misurare l'altezza di un traliccio dell'alta tensione, un tecnico osserva che in un dato momento il traliccio proietta un'ombra di $18\text{ metri}$. Nello stesso momento, colloca un bastone verticale alto $1,5\text{ metri}$ che proietta un'ombra di $2,25\text{ metri}$.

1. Giustifica perché i triangoli formati dal traliccio e dalla sua ombra, e dal bastone e dalla sua, sono simili.

2. Calcola l'altezza del traliccio.

Determina se le seguenti coppie di triangoli sono simili e indica quale criterio di similitudine hai utilizzato in ciascun caso:

• Caso A: Il triangolo 1 ha angoli di $40^\circ$ e $75^\circ$. Il triangolo 2 ha angoli di $75^\circ$ e $65^\circ$.

• Caso B: Il triangolo 1 ha lati di $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. Il triangolo 2 ha lati di $8\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ e $16\text{ cm}$.

• Caso C: Entrambi i triangoli hanno un angolo di $50^\circ$. Nel primo, i lati che formano quell'angolo misurano $4\text{ cm}$ e $7\text{ cm}$. Nel secondo, misurano $8\text{ cm}$ e $14\text{ cm}$.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti (proiezioni dei cateti) che misurano $3,6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$.

1. Calcola l'altezza del triangolo utilizzando il secondo teorema di Euclide.

2. Calcola la lunghezza dei cateti utilizzando il primo teorema di Euclide.

3. Disegna uno schema del triangolo indicando tutti i valori trovati.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Abbiamo due contenitori cilindrici di succo che sono simili. Il contenitore piccolo ha un'altezza di $10\text{ cm}$ e una capacità di $250\text{ ml}$. Il contenitore grande ha un'altezza di $20\text{ cm}$.

1. Qual è il rapporto di similitudine $k$ tra il contenitore grande e quello piccolo?

2. Calcola la capacità (volume) del contenitore grande in litri. Ricorda la relazione tra il rapporto di similitudine e il volume di solidi simili.

3. Se l'area della base del piccolo è $25\text{ cm}^2$, qual sarà l'area della base del grande?

Il cortile interno di un centro culturale della tua regione ha forma di trapezio con un'area totale di $54\text{ m}^2$ e il suo lato maggiore misura $12\text{ m}$. In portineria vogliono ordinare un plastico simile del cortile per esporlo in una teca di vetro. Per le dimensioni della teca, l'area del plastico deve essere esattamente $6\text{ m}^2$.\na) Sapendo che il rapporto tra le aree di figure simili dipende da $k^2$, imposta l'equazione corrispondente e calcola il rapporto di similitudine $k$ del plastico rispetto al cortile reale.\nb) Determina quanto deve misurare nel plastico il lato corrispondente al lato maggiore di $12\text{ m}$.\nc) Se il perimetro completo del cortile reale misura $36\text{ m}$, quanti centimetri di listello di legno serviranno per bordare il perimetro del plastico?

In un laboratorio di grafica stanno preparando uno striscione triangolare per una campagna sull'uso del trasporto pubblico. Il bozzetto iniziale è un triangolo rettangolo i cui cateti misurano $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$. Per il supporto finale serve uno striscione simile con un rapporto di ingrandimento $k = 4$. Per trovare la superficie di tessuto che occuperà lo striscione grande, due designer propongono metodi diversi:\n- Metodo di Lucia: calcolare prima le nuove misure dei cateti moltiplicandoli per $4$ e, con esse, calcolare l'area del triangolo grande con la formula $(\text{base} \cdot \text{altezza}) / 2$.\n- Metodo di Matteo: calcolare prima l'area del bozzetto iniziale e moltiplicarla direttamente per il rapporto al quadrato ($k^2$).\na) Risolvi il problema applicando entrambi i metodi passo dopo passo e verifica numericamente se si arriva allo stesso risultato.\nb) Se la figura non fosse un semplice triangolo, ma un logo a forma di poligono irregolare di $7$ lati di cui conosciamo già l'area iniziale ($35\text{ cm}^2$), quale dei due metodi sceglieresti e perché? Giustifica la tua scelta valutando la quantità di dati e di calcoli necessari.

Un'azienda di profumi lancia due formati del suo flacone di punta, che hanno la forma di piramidi a base quadrata simili. Il flacone "Grande" ha una base di superficie $144 \text{ cm}^2$ e un'altezza di $15 \text{ cm}$. Il flacone "Mini" è stato progettato in modo che la sua superficie totale di vetro sia esattamente la nona parte della superficie del flacone "Grande". Se il costo del profumo è di $0,25$ € ogni $\text{cm}^3$, calcola la differenza di prezzo tra il contenuto dei due flaconi.

Un artista di strada vuole proiettare l'ombra di una scultura verticale alta $2,4 \text{ m}$ su una parete che si trova a $6 \text{ m}$ di distanza. Per farlo, colloca un faro a terra a una distanza $d$ dalla scultura. Se desidera che l'ombra proiettata sulla parete sia alta esattamente $8 \text{ m}$, a che distanza dalla scultura deve collocare il faro? Utilizza il teorema di Talete per giustificare la tua risposta e disegna lo schema dei triangoli simili.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un triangolo rettangolo $ABC$ (retto in $A$), si traccia l'altezza $h$ relativa all'ipotenusa, che la divide in due segmenti $m$ e $n$. Si sa che il cateto $b$ misura $15 \text{ cm}$ e la sua proiezione sull'ipotenusa, $n$, misura $9 \text{ cm}$. Calcola il perimetro e l'area del triangolo iniziale utilizzando i teoremi di Euclide (primo teorema e secondo teorema).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

La pianta di un'abitazione è disegnata in scala $1:75$. In tale pianta, la cucina ha una forma rettangolare di $4 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$. Il proprietario vuole rifare il pavimento con piastrelle quadrate di $40 \text{ cm}$ di lato.

1. a) Calcola la superficie reale della cucina in metri quadrati.
2. b) Quante piastrelle intere servono, come minimo, per coprire il pavimento della cucina reale? (Tieni presente che i ritagli delle piastrelle si possono riutilizzare, ma si possono acquistare solo piastrelle intere).

Due pentagoni regolari sono simili. Il perimetro del primo è $75 \text{ cm}$. Si sa che l'area del secondo è $1,44$ volte l'area del primo.

1. a) Determina il rapporto di similitudine $k$ tra il secondo pentagono e il primo.
2. b) Calcola il perimetro del secondo pentagono.
3. c) Se l'apotema del primo pentagono misura $10,32 \text{ cm}$, quanto misurerà il raggio della circonferenza circoscritta del secondo pentagono? (Arrotonda a due decimali).

Un televisore da $50$ pollici ha un rapporto d'aspetto di $16:9$ (questo significa che la base e l'altezza sono proporzionali a $16$ e $9$). Sapendo che $1$ pollice equivale a $2,54 \text{ cm}$ e che i "pollici" di un televisore si riferiscono alla misura della sua diagonale:

1. a) Calcola le dimensioni reali (base e altezza) del televisore in centimetri.
2. b) Se un'immagine di $800 \times 450$ pixel viene mostrata a schermo intero senza deformarsi, qual è la superficie di ciascun pixel sullo schermo reale?

Un plastico di un grattacielo realizzato in scala $1:250$ ha un volume di $320 \text{ cm}^3$ e la sua base ha una superficie di $20 \text{ cm}^2$.

1. a) Calcola l'altezza reale del grattacielo in metri.
2. b) Se l'edificio reale verrà rivestito con pannelli di vetro che costano $120$ € al metro quadrato, calcola il costo totale del rivestimento della facciata (superficie laterale), sapendo che il grattacielo ha la forma di un prisma retto e che il plastico ha una superficie laterale di $180 \text{ cm}^2$.

Un comune del sud Italia applica un piano di risparmio idrico a causa della siccità e ha bisogno di modellizzare il consumo delle piscine del suo centro sportivo comunale. Ha due piscine a forma di prisma retto che sono simili tra loro (hanno la stessa forma e proporzioni in lunghezza, larghezza e profondità): la piscina per bambini e la piscina ricreativa per adulti. La piscina per bambini è lunga $10\text{ m}$ e ha una capacità di $30\text{ m}^3$ d'acqua ($30.000\text{ litri}$). La piscina per adulti è lunga $25\text{ m}$.\na) Modellizza la situazione individuando il rapporto di similitudine $k$ che trasforma le misure della piscina per bambini in quelle della piscina per adulti.\nb) Calcola il volume totale d'acqua, in metri cubi e in litri, necessario per riempire la piscina per adulti.\nc) Prima di riempirle, si deve applicare uno strato di resina protettiva sul fondo e sulle quattro pareti interne. Se per la piscina per bambini sono stati impiegati $16\text{ kg}$ di resina, calcola quanti chilogrammi serviranno per quella per adulti.\nd) Spiega perché l'aumento della spesa di vernice/resina non coincide con l'aumento della spesa di acqua confrontando i due impianti.

Un maestro cioccolatiere di Torino prepara figure piene simili a forma di campana tradizionale. La figura piccola è alta $10\text{ cm}$, pesa $125\text{ g}$ e si vende a $3,50$ €. Per un ordine speciale di una confraternita, vuole realizzare una campana gigante simile che pesi esattamente $1\text{ kg}$ ($1.000\text{ g}$). Entrambe le figure sono fatte con lo stesso tipo di cioccolato puro, quindi la loro massa è direttamente proporzionale al loro volume.\na) A partire dal rapporto tra le masse (volumi), deduci il valore del rapporto di similitudine lineare $k$ tra la campana gigante e quella piccola.\nb) Quanto sarà alta la campana gigante?\nc) Per incartarla si usa carta cellophane metallizzata. Se la campana piccola richiede $180\text{ cm}^2$ di carta per essere completamente coperta, calcola la superficie di carta necessaria per incartare la campana gigante.\nd) Il cliente afferma: «Poiché l'altezza della campana gigante è il doppio di quella della piccola, il prezzo giusto dovrebbe essere il doppio: $7,00$ €». Giustifica matematicamente se l'affermazione del cliente è corretta o no, e ragiona su quale dovrebbe essere il prezzo della campana gigante se si fa pagare in proporzione alla quantità di cioccolato impiegata.