Esercizi: Applicazioni del teorema di Pitagora

Un grafico ha una fotografia rettangolare larga $10 \text{ cm}$ e alta $15 \text{ cm}$. Se decide di ingrandirla per fare un manifesto in modo che la nuova larghezza sia di $40 \text{ cm}$, quanto misurerà l'altezza del manifesto se le due figure devono essere simili?

Nella planimetria di un residence, la scala utilizzata è $1:500$. Se la piscina comune misura $3 \text{ cm}$ di lunghezza sulla planimetria, qual è la sua lunghezza reale espressa in metri?

Due quadrati sono simili. Il lato del primo misura $4 \text{ cm}$ e il lato del secondo misura $12 \text{ cm}$. Calcola il rapporto di similitudine $k$ e spiega quante volte è maggiore l'area del secondo quadrato rispetto a quella del primo.

A una certa ora del giorno, un palo verticale alto $2 \text{ m}$ proietta un'ombra di $1,5 \text{ m}$. Nello stesso istante, l'ombra di un traliccio elettrico vicino misura $12 \text{ m}$. Applicando il teorema di Talete, calcola l'altezza del traliccio.

Un tablet ha uno schermo rettangolare le cui dimensioni sono $24 \text{ cm}$ di base e $7 \text{ cm}$ di altezza. Calcola la misura della sua diagonale applicando il teorema di Pitagora.

Il tetto di una casetta da giardino ha la forma di un triangolo isoscele. La base del triangolo misura $6 \text{ metri}$ e i lati uguali misurano $5 \text{ metri}$ ciascuno. Calcola l'altezza del tetto.

Per fissare un'antenna radio, è stato collocato un cavo tirante dalla sua sommità fino al suolo. Se l'antenna è alta $12 \text{ m}$ e il cavo è ancorato al suolo a una distanza di $5 \text{ m}$ dalla base, quanto è lungo il cavo?

Calcola il perimetro di un rombo le cui diagonali misurano $16 \text{ cm}$ e $12 \text{ cm}$. (Suggerimento: Ricorda che le diagonali di un rombo sono perpendicolari e si incontrano nel loro punto medio, formando quattro triangoli rettangoli uguali).

Marco deve calcolare il lato di un segnale riflettente a forma di rombo le cui diagonali misurano $16\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. Per risolverlo, scrive sul quaderno: $l^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$, per cui conclude che il lato misura $l = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$. Individua l'errore geometrico commesso da Marco, spiega perché non si può applicare direttamente il teorema di Pitagora con quei dati e calcola il valore corretto del lato del rombo.

Una piastrella da terrazza ha la forma di un esagono regolare di lato $10\text{ cm}$. Ricorda che in un esagono regolare il raggio coincide esattamente con la lunghezza del lato.

1. a) Prima di fare calcoli numerici, ragiona se l'apotema della piastrella deve essere maggiore, minore o uguale a $10\text{ cm}$, e stima se il suo valore sarà più vicino a $5\text{ cm}$ o a $9\text{ cm}$. Giustifica la tua stima pensando alla relazione tra cateti e ipotenusa.
2. b) Imposta il triangolo rettangolo corrispondente, calcola la lunghezza esatta dell'apotema arrotondando ai centesimi e verifica se la tua stima iniziale era corretta.

Un gruppo di alunni di seconda media vuole calcolare l'altezza del canestro del cortile senza usare una scala. In un dato momento, Luigi, alto $1,60 \text{ m}$, proietta un'ombra di $0,80 \text{ m}$. Se nello stesso istante l'ombra del canestro misura $1,52 \text{ m}$, qual è l'altezza del canestro? Disegna uno schema della situazione individuando i triangoli simili.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Nella piantina di una stanza in scala $1:50$, le dimensioni di una scrivania rettangolare sono $2,4 \text{ cm}$ di larghezza e $3,6 \text{ cm}$ di lunghezza.

1. Calcola le dimensioni reali della scrivania in metri.

2. Se l'area reale della stanza è di $12 \text{ m}^2$, qual è l'area occupata dalla stanza nella piantina espressa in $\text{cm}^2$?

Marta ha comprato una televisione da $50$ pollici. Sapendo che $1$ pollice equivale a $2,54 \text{ cm}$, la diagonale dello schermo misura esattamente $127 \text{ cm}$. Se la larghezza della televisione è di $110 \text{ cm}$, qual è l'altezza dello schermo? Usa il teorema di Pitagora e arrotonda il risultato ai decimi.

Un'antenna di telefonia alta $12 \text{ m}$ è fissata al suolo con due cavi tiranti che partono dalla sua estremità superiore. Ogni cavo è ancorato a una distanza di $5 \text{ m}$ dalla base dell'antenna.

1. Qual è la lunghezza totale di cavo necessaria per sostenere l'antenna?

2. Se vogliamo collocare un'altra antenna simile alta $18 \text{ m}$, a quale distanza dalla base dovremmo ancorare i cavi affinché la struttura resti proporzionale?

Calcola il perimetro e l'area di un esagono regolare il cui lato misura $8 \text{ cm}$. Per trovare l'area, ricorda che prima devi calcolare l'apotema utilizzando il teorema di Pitagora in uno dei triangoli equilateri che formano l'esagono.

Un falegname sta progettando una libreria a forma di triangolo rettangolo. Ha collocato un ripiano intermedio parallelo alla base. L'altezza totale della libreria è di $150 \text{ cm}$ e la base misura $90 \text{ cm}$. Se il ripiano intermedio si trova a un'altezza di $60 \text{ cm}$ dalla base:

1. Quanto misura la lunghezza di tale ripiano intermedio?

2. Quanto è lunga l'asta inclinata che forma l'ipotenusa della libreria completa?

È stato realizzato un plastico di un monumento utilizzando una scala $1:250$. Se il monumento reale ha un volume di $1500 \text{ m}^3$, calcola il volume del plastico in decimetri cubi ($\text{dm}^3$). Ricorda la relazione tra il rapporto di similitudine e il rapporto dei volumi.

Per superare un piccolo burrone in un percorso avventura, è stata installata una teleferica lunga $25 \text{ m}$. Il punto di partenza è su una torre a $18 \text{ m}$ di altezza e il punto di arrivo è su un'altra piattaforma a $3 \text{ m}$ di altezza. Qual è la distanza orizzontale che separa le due strutture?

In una stazione meteorologica sulle Alpi si installerà un palo anemometrico verticale alto $12\text{ m}$. Per assicurarne la stabilità contro le raffiche di vento, sarà fissato con due cavi tiranti dall'estremità superiore del palo a due punti di ancoraggio sul suolo orizzontale. A causa del rilievo roccioso, il primo ancoraggio si trova a $5\text{ m}$ dalla base del palo e il secondo ancoraggio, sul lato opposto, a $9\text{ m}$ da tale base. Sapendo che per ciascun cavo servono $25\text{ cm}$ in più a ciascuna delle due estremità per eseguire i fissaggi regolamentari, calcola quanti metri di cavo si devono acquistare in totale per i due tiranti. Arrotonda il risultato finale a due cifre decimali.

Un'azienda di segnaletica stradale commissiona il disegno di un segnale di avvertimento a forma di rombo il cui lato esterno deve misurare esattamente $25\text{ cm}$.

1. a) Scrivi l'equazione che mette in relazione la lunghezza della diagonale maggiore ($D$), la diagonale minore ($d$) e il lato del rombo a partire dal teorema di Pitagora.
2. b) Seguendo l'impostazione inversa, proponi due diverse combinazioni di numeri interi positivi per le misure complete delle diagonali ($D$ e $d$) che diano come risultato esatto un lato di $25\text{ cm}$. Giustifica matematicamente con i calcoli opportuni perché entrambe le proposte sono valide.

Un gamer vuole riporre la sua tastiera meccanica lunga $52\text{ cm}$ dentro una scatola da trasporto che ha comprato. La scatola è un parallelepipedo rettangolo con dimensioni interne di $48\text{ cm}$ di lunghezza, $18\text{ cm}$ di larghezza e $10\text{ cm}$ di altezza. La tastiera potrà entrare nella scatola se la colloca unendo due vertici opposti (la diagonale dello spazio)? Calcola la misura della diagonale maggiore dell'interno della scatola per giustificare la tua risposta.

Un'azienda di corrieri utilizza droni per consegnare pacchi. Perché l'atterraggio su un terrazzo sia sicuro, il drone proietta due raggi laser che formano un angolo retto nell'emettitore. Il drone si trova a un'altezza $h$ sul terrazzo. I punti di impatto dei laser sul suolo sono allineati con la verticale del drone e distano tra loro $15,6\text{ m}$. Se uno dei punti di impatto è a $3,9\text{ m}$ dalla verticale del drone, calcola:

1. a) L'altezza $h$ a cui vola il drone utilizzando il secondo teorema di Euclide.
2. b) La distanza dal drone a ciascuno dei due punti di atterraggio (i cateti del triangolo).

Per un festival del cinema è stato costruito un plastico in scala di una piramide regolare a base quadrata. La piramide reale ha un lato di base di $24\text{ m}$ e un'altezza di $16\text{ m}$. Se il plastico è stato costruito con un rapporto di similitudine $k = 1:80$, calcola:

1. a) La lunghezza dello spigolo laterale della piramide reale (dovrai applicare Pitagora due volte).
2. b) Il volume del plastico in centimetri cubi, sapendo che il volume di una piramide è $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Area di base} \cdot \text{Altezza}$. (Usa la relazione $k^3$ per il volume).

Un segnale stradale ha la forma di un triangolo equilatero di lato $90\text{ cm}$. Al suo interno c'è una fascia di colore rosso che forma un altro triangolo equilatero simile. Se l'area della parte bianca (il triangolo interno) è esattamente la metà dell'area totale del segnale, qual è il rapporto di similitudine tra il triangolo piccolo e quello grande? Quanto misura il lato del triangolo interno? Arrotonda a due cifre decimali.

In una piazza c'è un palo verticale. A una distanza di $12\text{ m}$ dalla sua base, c'è un faro a terra che proietta luce. Un ragazzo alto $1,65\text{ m}$ si colloca tra il faro e il palo, a una distanza di $3\text{ m}$ dal faro.

1. a) Calcola l'altezza del palo sapendo che l'ombra della testa del ragazzo coincide esattamente con la sommità del palo.
2. b) Se il ragazzo cammina per $2\text{ m}$ verso il palo, quanto sarà lunga la sua ombra proiettata sul palo stesso?

Il logo di un nuovo marchio di abbigliamento è un rombo inscritto in un rettangolo di $16\text{ cm}$ di lunghezza e $12\text{ cm}$ di larghezza. I vertici del rombo sono i punti medi dei lati del rettangolo. Calcola:

1. a) Il perimetro del rombo.
2. b) L'area di un secondo logo simile al precedente il cui perimetro sia il triplo. Giustifica come cambia l'area senza bisogno di calcolare i nuovi lati.

Un faro alto $35\text{ m}$ si trova su una scogliera verticale. Da una barca in mare si osserva che la distanza dalla base del faro (il punto in cui il faro inizia sulla scogliera) è di $100\text{ m}$ e la distanza dalla sommità del faro è di $110\text{ m}$. Calcola:

1. a) L'altezza della scogliera sul livello del mare.
2. b) La distanza orizzontale dalla barca alla base della scogliera.

Si vuole installare un pannello solare rettangolare su un tetto inclinato. Il tetto ha un'inclinazione tale che per ogni $4\text{ m}$ di avanzamento orizzontale sale di $3\text{ m}$ in altezza.

1. a) Calcola la lunghezza reale del tratto di tetto che copre $8\text{ m}$ di distanza orizzontale.
2. b) Se il pannello solare è lungo $2\text{ m}$ e viene posizionato seguendo la pendenza del tetto, quale altezza verticale $h$ supera il pannello tra il suo bordo inferiore e quello superiore? (Usa la similitudine dei triangoli).

Un condominio a Napoli installerà una rampa retta continua per superare una scala esterna formata da $4$ gradini identici. Ogni gradino ha una pedata (profondità orizzontale) di $18\text{ cm}$ e un'alzata (altezza verticale) di $15\text{ cm}$. Per ordinare il corrimano inclinato che percorrerà tutta la rampa, devono sapere la sua lunghezza totale. Due persone dell'assemblea propongono metodi diversi:

• Metodo di Sonia: Calcola l'ipotenusa di un singolo gradino applicando Pitagora alle sue misure ($18\text{ cm}$ e $15\text{ cm}$) e moltiplica il risultato ottenuto per $4$.

• Metodo di Roberto: Somma prima le misure dei $4$ gradini per trovare la base totale ($4 \cdot 18 = 72\text{ cm}$) e l'altezza totale ($4 \cdot 15 = 60\text{ cm}$), e applica Pitagora una sola volta sul triangolo rettangolo complessivo.

1. a) Sviluppa entrambi i metodi mostrando i calcoli con due cifre decimali e verifica se si ottiene la stessa lunghezza totale.
2. b) Dimostra, basandoti sulla similitudine dei triangoli, perché i due procedimenti sono matematicamente equivalenti.
3. c) Giustifica quale dei due metodi è più consigliabile se si vuole minimizzare l'accumulo di errori di arrotondamento quando le misure dei gradini hanno decimali inesatti.

Una casa unifamiliare a Siena deve rifare il suo tetto simmetrico a due falde (con profilo a triangolo isoscele) per installare pannelli solari fotovoltaici. La facciata orizzontale della casa è larga $8\text{ m}$ e l'edificio è lungo $12\text{ m}$ in profondità. Per rispettare la normativa tecnica sui carichi di neve e consentire un adeguato deflusso dell'acqua, l'altezza verticale del colmo (il vertice superiore del tetto) deve essere di almeno $3\text{ m}$, ma non può superare $4,5\text{ m}$ per restrizioni urbanistiche del comune. L'architetto dispone di due tipi di travi di legno per la falda inclinata del tetto:

• Trave A: di lunghezza $4,5\text{ m}$.

• Trave B: di lunghezza $5,5\text{ m}$.

1. a) Individua il triangolo rettangolo del profilo del tetto, calcola con due decimali l'altezza del colmo che si raggiungerebbe con ciascun tipo di trave e deduci quale delle due opzioni è l'unica che rispetta la normativa tecnica.
2. b) Per la trave a norma, calcola l'area totale della copertura inclinata sommando le due falde rettangolari dell'abitazione.
3. c) I pannelli solari sono rettangolari e misurano $2\text{ m}$ di lunghezza per $1\text{ m}$ di larghezza, e saranno installati solo sulla falda esposta a sud (un rettangolo di $12\text{ m}$ di profondità per la lunghezza della trave valida). Analizza come conviene orientare i pannelli (in orizzontale o in verticale rispetto al suolo) per non superare i bordi del tetto e calcola il numero massimo di pannelli interi che si possono posizionare.