Esercizi: Operazioni con i numeri razionali

In un sondaggio svolto nella tua classe sul social network preferito, $\frac{12}{30}$ degli alunni ha scelto una piattaforma di video brevi. Ottieni la frazione irriducibile per sapere quale parte del totale rappresenta questo gruppo.

Osserva la seguente figura che rappresenta una torta al cioccolato divisa in porzioni uguali. Scrivi la frazione che rappresenta la parte mancante e calcola la frazione opposta e la frazione inversa di tale quantità.

Un adolescente dedica $\frac{1}{3}$ del suo tempo libero pomeridiano allo sport e $\frac{2}{5}$ allo studio della matematica.

1. a) Calcola quale frazione del suo tempo libero totale occupano queste due attività.
2. b) Quale frazione di tempo gli resta libera per giocare alla console?

La batteria del tuo smartphone ha una capacità totale di $4500$ mAh. Se in questo momento lo schermo indica che ne resta esattamente $\frac{4}{9}$ della capacità:

1. a) Quanti mAh ha a disposizione?
2. b) Se la modalità risparmio energetico si attiva quando resta $\frac{1}{5}$ del totale, a quanti mAh corrisponde quel limite?

Per preparare uno "smoothie" salutare, hai mescolato $\frac{3}{4}$ di litro di latte d'avena con $\frac{1}{2}$ litro di succo d'arancia. Servendolo, si rovesciano $\frac{1}{8}$ di litro. Esegui l'operazione passo dopo passo per sapere quale quantità di miscela resta nella caraffa.

In uno scaffale di un negozio di fumetti, $\frac{2}{3}$ degli esemplari sono di supereroi. Di questi fumetti di supereroi, la metà ($\frac{1}{2}$) appartiene a una famosa casa editrice americana. Calcola la frazione del totale dello scaffale che rappresentano i fumetti di quella specifica casa editrice eseguendo una moltiplicazione di frazioni.

Vogliamo distribuire $\frac{3}{2}$ di chilo di gommose in sacchettini. Se in ogni sacchetto mettiamo $\frac{1}{10}$ di chilo:

1. a) Quanti sacchetti potremo riempire completamente?
2. b) Esegui l'operazione utilizzando la divisione di frazioni: $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$

Risolvi la seguente espressione rispettando la priorità delle operazioni:

Elena sta svolgendo un compito in classe e afferma quanto segue: «Per calcolare $-\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$, siccome dividere è ripartire, divido il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore: $\frac{-3 : 2}{4 : 5}$. Siccome non viene esatto, allora cambio semplicemente il segno della seconda frazione e moltiplico in linea: $-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$».

1. a) Individua i due errori concettuali che commette Elena nel suo ragionamento e spiega la differenza fondamentale tra «frazione inversa» e «frazione opposta».
2. b) Risolvi correttamente l'operazione passo dopo passo, lasciando il risultato finale come frazione irriducibile.

Prima di eseguire calcoli lunghi con denominatori diversi, è molto utile stimare la grandezza del risultato per anticipare la risposta e individuare possibili errori. Hai la seguente operazione: $E = \left( 1 - \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{11} \right)$.

1. a) Senza eseguire il calcolo esatto, stima con ragionamento il risultato rispondendo a queste domande guida:

• Il fattore $\left( 1 - \frac{1}{6} \right)$ è maggiore o minore di $1$? È vicino a $1$?

• Sapendo che $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, la frazione $\frac{5}{11}$ è maggiore o minore di $\frac{1}{2}$? La seconda parentesi darà una somma maggiore o minore di $1$?

• In base a quanto sopra, deduci con ragionamento se il prodotto finale $E$ sarà leggermente minore di $1$, esattamente $1$ o notevolmente maggiore di $1$.

1. b) Esegui ora il calcolo esatto di $E$ risolvendo le parentesi e moltiplicando le frazioni. Esprimi il risultato in forma di frazione irriducibile.
2. c) Ottieni l'espressione decimale del tuo risultato esatto (con due cifre decimali) e verifica se la tua stima iniziale era corretta.

Risolvi la seguente espressione, semplificando il risultato fino a ottenere la frazione irriducibile:

Calcola il risultato della seguente espressione, semplificando il risultato fino a ottenere la frazione irriducibile:

Tre amici decidono di comprare un regalo per un compagno che cambia scuola. Il primo versa $\frac{2}{5}$ del prezzo totale, il secondo versa $\frac{1}{3}$ di quello che resta e il terzo completa il pagamento con $16$ €.

1. a) Quale frazione del totale rappresenta la somma versata dal secondo amico?
2. b) Qual è il prezzo totale del regalo?
3. c) Quanto denaro ha messo ciascuno?

Un architetto sta progettando un'area giochi in un parco rettangolare. Ha deciso di dividere il terreno come mostra il seguente schema:

Se la zona "Prato" occupa esattamente la metà del terreno e la zona "Altalene" è $\frac{3}{10}$ del totale del parco:

1. a) Quale frazione del totale rappresenta la zona "Sabbia"?
2. b) Se il parco ha una superficie totale di $1200$ $m^2$, quanti metri quadrati misura la zona "Sabbia"?

Trova il valore della seguente espressione tenendo conto della priorità delle operazioni e delle regole dei segni:

Un creatore di contenuti ha registrato un video per il suo canale. Durante il montaggio, taglia $\frac{1}{6}$ del girato totale per errori audio. Poi elimina $\frac{2}{5}$ di quello che restava perché il ritmo era troppo lento. Alla fine, il video montato dura $18$ minuti.

1. a) Quale frazione del girato originale rappresenta il video finale di $18$ minuti?
2. b) Quanto durava la registrazione originale prima di iniziare il montaggio?

Calcola il valore della seguente espressione con potenze ad esponente negativo e semplifica il risultato:

In un laboratorio di chimica, un recipiente contiene $2,4$ litri di una soluzione acida. Per un esperimento, si estraggono prima $\frac{2}{3}$ del contenuto. Poi si aggiungono $0,5$ litri di acqua distillata per diluire la miscela. Infine, si utilizzano $\frac{3}{5}$ della miscela risultante.

1. a) Esegui tutte le operazioni lavorando esclusivamente con le frazioni.
2. b) Quanti litri di miscela restano alla fine nel recipiente? Esprimi il risultato sia come frazione sia come numero decimale.

Per preparare una verifica a coppie in classe di Matematica, devi proporre un indovinello numerico con la seguente uguaglianza incompleta:

1. a) Applicando le proprietà delle operazioni inverse e rispettando la priorità delle operazioni, ricava passo dopo passo e calcola quale frazione irriducibile deve essere inserita nel riquadro $\Box$.
2. b) Spiega, a partire dalla regola dei segni del prodotto, perché il contenuto della parentesi doveva essere necessariamente negativo e giustifica perché la frazione cercata $\Box$ deve essere maggiore di $\frac{2}{5}$.
3. c) Verifica la soluzione sostituendo la frazione ottenuta nell'espressione originale e risolvendola passo dopo passo.

A fine primavera, un bacino idrico del bacino idrografico del Po è pieno fino a $\frac{4}{5}$ della sua capacità totale. Durante l'estate, a causa dell'evaporazione e dell'irrigazione agricola, viene consumato $\frac{3}{8}$ dell'acqua contenuta nel bacino. A settembre, grazie ai primi temporali autunnali, entra una quantità d'acqua pari a $\frac{1}{10}$ della capacità totale del bacino.

1. a) Quale frazione della capacità totale del bacino rappresenta l'acqua consumata durante l'estate?
2. b) Imposta un'unica espressione con le frazioni che esprima la frazione della capacità totale contenuta nel bacino dopo le piogge di settembre e calcolala semplificando fino alla frazione irriducibile.
3. c) Se la capacità massima totale del bacino è di $160\text{ hm}^3$, quanti ettometri cubi di acqua restano effettivamente immagazzinati alla fine di settembre?

Calcola il valore esatto della seguente espressione, trasformando prima i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici e semplificando i passaggi intermedi:

Una giovane influencer sta organizzando il suo budget mensile derivante dalle collaborazioni. Destina $\frac{2}{5}$ dei suoi guadagni all'affitto del suo studio e $\frac{1}{4}$ del resto al montaggio video. Se dopo queste spese le restano ancora $\frac{5}{9}$ di ciò che era rimasto da risparmiare e dispone ancora di $480$ € per le spese personali, a quanto ammontano i suoi guadagni mensili totali?

In un laboratorio di chimica, una cisterna contiene una miscela di alcol e acqua. Inizialmente, $\frac{2}{7}$ del contenuto è alcol. Si estraggono $12$ litri di miscela e si sostituiscono con $12$ litri di alcol puro. Se ora la miscela contiene $\frac{2}{5}$ di alcol, quanti litri di liquido ci sono in totale nella cisterna?

Osserva il disegno di questa piastrella moderna per un centro culturale. Il quadrato esterno ha un'area di $1$ m$^2$. Sono state colorate diverse regioni seguendo uno schema geometrico. Determina quale frazione del totale rappresenta la zona colorata in arancione e calcola a quanti cm$^2$ corrisponde.

In una competizione di eSports, il montepremi totale viene ripartito nel seguente modo: la squadra vincitrice riceve $\frac{4}{7}$ del totale, la seconda classificata $\frac{2}{3}$ di ciò che resta e la terza classificata il resto. Se la differenza tra il premio della seconda e quello della terza è di $3.500$ €, calcola il valore totale del montepremi e quanto denaro riceve ciascuna delle tre squadre.

Trova il valore di $x$ nella seguente uguaglianza di potenze con numeri razionali, applicando le proprietà necessarie per semplificare l'espressione:

Un drone di sorveglianza compie un percorso di andata e ritorno tra due basi. All'andata vola con il vento a favore a velocità costante. Al ritorno, con il vento contrario, la sua velocità si riduce a $\frac{3}{5}$ della velocità di andata. Se il tempo totale di volo è stato di $1$ ora e $20$ minuti, quale frazione del tempo totale ha impiegato nel viaggio di ritorno? Esprimi il risultato anche in minuti e secondi.

Tre soci investono in un'attività tecnologica. Il primo versa $12.000$ €, il secondo versa i $\frac{2}{5}$ del totale e il terzo versa la stessa somma degli altri due insieme meno $18.000$ €.

1. a) Qual è l'investimento totale dell'attività?
2. b) Quale frazione del totale versa ciascun socio? (Esprimi le frazioni in forma irriducibile).

Per calcolare il valore esatto dell'espressione $M = \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{8}{9} - \frac{16}{21} \right)$, Sofia e Davide discutono su quale sia la strada più intelligente:

• Metodo di Sofia (prima la parentesi): trova il m.c.m. di $9$ e $21$, risolve la sottrazione dentro la parentesi e poi moltiplica per $\frac{3}{4}$, semplificando la frazione risultante.

• Metodo di Davide (proprietà distributiva): applica la proprietà distributiva calcolando $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{21}$, semplificando ogni prodotto prima di eseguire la sottrazione.

1. a) Risolvi l'espressione seguendo in dettaglio il metodo proposto da Sofia fino ad arrivare alla frazione irriducibile.
2. b) Risolvi l'espressione seguendo il metodo di Davide, indicando con chiarezza le semplificazioni incrociate prima di ogni moltiplicazione.
3. c) Analizza la grandezza dei denominatori e dei numeratori con cui hai operato in ciascun percorso. Giustifica quale dei due metodi è più efficace e presenta minor rischio di errori di calcolo in questo caso specifico.

In una difficile tappa di montagna del Giro d'Italia:

• Nel primo tratto si ritira $\frac{1}{12}$ dei ciclisti che erano partiti.

• Nel secondo tratto, durante la salita a un passo di categoria speciale, abbandona $\frac{2}{11}$ dei corridori ancora in gara.

• Nel terzo tratto, a causa di un'intensa grandinata in discesa, si ritira $\frac{1}{3}$ dei ciclisti che hanno superato il passo.

• All'inizio della salita finale verso il traguardo restano soltanto $60$ corridori a contendersi la tappa.

1. a) Esprimi mediante un prodotto di frazioni la parte del gruppo che resta in gara tratto dopo tratto, e semplifica incrociando i fattori per dimostrare che i $60$ corridori rappresentano esattamente $\frac{1}{2}$ del gruppo iniziale.
2. b) Deduci quanti ciclisti sono partiti all'inizio della tappa.
3. c) Nella telecronaca televisiva, un commentatore afferma: «Poiché si è ritirato $\frac{1}{12}$ all'inizio, $\frac{2}{11}$ sul passo e $\frac{1}{3}$ in discesa, sommiamo $\frac{1}{12} + \frac{2}{11} + \frac{1}{3} = \frac{79}{132}$, il che significa che quasi il $60\,\%$ del gruppo ha abbandonato». Giustifica con precisione matematica il grave errore concettuale del commentatore e indica qual è la frazione reale del gruppo iniziale che ha abbandonato la corsa.

Sfida del tema. Come influisce il tempo atmosferico sul nostro ambiente? Diventa un analista meteorologico analizzando dati reali della tua provincia.

1. Raccolta dei dati: Accedi al sito ufficiale del servizio meteorologico e registra le temperature massime e minime (interi o decimali con segno) e le precipitazioni degli ultimi $7$ giorni.

2. Interi e frazioni: Calcola l'escursione termica giornaliera ($T_{\text{max}} - T_{\text{min}}$) applicando operazioni con numeri interi e decimali. Esprimi mediante una frazione i giorni di pioggia rispetto al totale settimanale, trova la sua frazione irriducibile e una frazione equivalente proiettata su un mese di $28$ giorni.

3. Calcolo e conclusioni: Inserisci i dati in un foglio di calcolo per trovare la temperatura media della settimana e stima il risparmio economico sull'irrigazione sapendo che ogni litro raccolto vale $0,18$ € (la precipitazione in l/m² indica i litri raccolti per metro quadrato, quindi esprimi il risparmio in €/m²). Scrivi una breve relazione motivando i tuoi risultati.

Verranno valutati:

• Correttezza nell'applicazione dei segni e nella sottrazione di interi/decimali nell'escursione termica.

• Determinazione rigorosa della frazione irriducibile e della sua equivalente.

• Precisione nelle operazioni con i decimali nel foglio di calcolo.

• Chiarezza e fondamento matematico della relazione finale.