Esercizi: Concetto

A una cena con amici avete ordinato una pizza famiglia divisa in $8$ porzioni uguali. Se tu hai mangiato $3$ porzioni, individua i termini della frazione che rappresenta la parte di pizza che hai mangiato.

1. a) Qual è il numeratore e che cosa indica in questo contesto?
2. b) Qual è il denominatore e che cosa indica in questo contesto?

La batteria del tuo cellulare ha una capacità totale di $4500$ mAh. Se sullo schermo compare che ti resta esattamente $\frac{2}{9}$ della carica totale, quanti mAh di batteria hai a disposizione in questo momento?

Osserva le seguenti figure geometriche e scrivi la frazione che rappresenta la parte colorata in ciascun caso. Poi indica quale di esse è una frazione propria e quale è una frazione uguale all'unità.

Classifica le seguenti frazioni in proprie o improprie. Ricorda che, per distinguerle, devi osservare la relazione tra numeratore e denominatore:

Semplifica le seguenti frazioni fino a ottenere la loro frazione ridotta ai minimi termini:

1. a) $\frac{15}{20}$
2. b) $\frac{24}{36}$
3. c) $\frac{10}{100}$

Dopo un allenamento di atletica hai bevuto $\frac{7}{3}$ di litro d'acqua. Esprimi questa quantità come numero misto per sapere quanti litri interi e quale frazione del litro successivo hai bevuto.

Nella figura, ogni litro è diviso in 3 parti uguali (terzi) ed è mostrato su una retta numerica. Puoi usarla come aiuto.

Scrivi l'opposto e l'inverso di ciascuna delle seguenti frazioni. Fai attenzione al segno:

1. a) $\frac{2}{5}$
2. b) $-\frac{3}{7}$
3. c) $4$ (ricorda che un numero intero può essere scritto anche come frazione)

Confronta le seguenti coppie di numeri razionali usando i segni $<$ (minore di), $>$ (maggiore di) o $=$ (uguale a):

1. a) $\dfrac{4}{7} \square \dfrac{6}{7}$

1. b) $\dfrac{3}{2} \square \dfrac{3}{5}$

1. c) $\dfrac{1}{3} \square \dfrac{4}{12}$

In una verifica di Matematica sui numeri razionali, Marco doveva rispondere a una domanda sul numero $-\frac{3}{5}$. Sul suo foglio ha scritto:

«L'inverso di $-\frac{3}{5}$ è $\frac{5}{3}$, perché invertendo una frazione cambia sempre il segno e diventa positiva».

1. a) Spiega quali due concetti teorici diversi sta confondendo Marco e perché la sua affermazione matematica è sbagliata.
2. b) Scrivi con chiarezza qual è l'opposto e qual è l'inverso di $-\frac{3}{5}$, giustificando ciascuno a partire dalla sua definizione.

In una tappa di montagna del Giro d'Italia, l'organizzazione colloca uno striscione speciale per il traguardo volante nel punto chilometrico che corrisponde esattamente ai $\frac{47}{6}$ di una salita di riferimento.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo esatto, stima motivando tra quali due chilometri interi consecutivi si trova lo striscione e a quale dei due pensi che sarà più vicino.
2. b) Converti la frazione $\frac{47}{6}$ in numero misto (intero più frazione propria) e verifica se la tua stima era corretta. Spiega come la frazione propria rimanente ti conferma a quale numero intero il punto chilometrico è più vicino.

In un data center, il pannello di archiviazione è diviso in moduli identici. Osserva la seguente rappresentazione grafica, in cui i quadrati colorati indicano lo spazio occupato dal database di un social network.

1. a) Scrivi la frazione che rappresenta lo spazio occupato e la frazione che rappresenta lo spazio libero.
2. b) Si tratta di una frazione propria o impropria? Giustifica la risposta confrontando numeratore e denominatore.

Per preparare una miscela di vernice lilla, un artista usa $\frac{4}{10}$ di litro di colore azzurro per ogni litro di vernice bianca. Se l'artista vuole mantenere esattamente la stessa tonalità ma ha bisogno di produrne una quantità maggiore:

1. a) Trova il valore di $x$ nella seguente uguaglianza affinché le frazioni siano equivalenti: $\frac{4}{10} = \frac{x}{25}$.
2. b) Scrivi tre frazioni equivalenti a $\frac{4}{10}$ per amplificazione e una per semplificazione.

In un torneo scolastico di basket, la squadra dei "Tigri" ha segnato $48$ canestri su $72$ tentativi, mentre i "Falchi" ne hanno segnati $36$ su $54$ tentativi.

1. a) Scrivi la frazione di successo di ciascuna squadra.
2. b) Riduci entrambe le frazioni ai minimi termini usando il metodo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.).
3. c) Alla luce dei risultati, quale delle due squadre ha una migliore percentuale di successo?

In un esperimento di laboratorio si registra la variazione della temperatura di un fluido rispetto alla temperatura ambiente. Si ottengono i seguenti valori in gradi Celsius:

1. a) Rappresenta approssimativamente questi numeri su una retta numerica.
2. b) Ordina i valori dal minore al maggiore (dal più freddo al più caldo).
3. c) Indica quale di questi valori ha il valore assoluto maggiore.

Classifica le seguenti espressioni indicando se rappresentano un numero naturale, un numero intero (ma non naturale) o un numero razionale non intero:

1. a) $\frac{15}{3}$
2. b) $-\frac{12}{4}$
3. c) $\frac{7}{5}$
4. d) $\frac{0}{8}$
5. e) $-\frac{1}{2}$
6. f) $\frac{24}{6}$

Trova il termine incognito $x$ in ciascuna delle seguenti uguaglianze affinché le frazioni siano equivalenti:

1. a) $\frac{x}{12} = \frac{20}{48}$

1. b) $\frac{5}{9} = \frac{x}{45}$

1. c) $\frac{14}{x} = \frac{2}{7}$

1. d) $\frac{27}{81} = \frac{1}{x}$

Ordina dal minore al maggiore i seguenti numeri razionali. Per farlo, riducili prima a denominatore comune usando il minimo comune multiplo:

Tre amici stanno completando un album di figurine di calcio. Alex ha incollato $\frac{1}{3}$ del totale delle figurine, Beatrice ne ha incollato $\frac{2}{5}$ del totale e le restanti figurine le ha Wei.

1. a) Quale frazione dell'album ha completato Wei?
2. b) Se l'album ha in totale $300$ figurine, quante ne ha incollate ciascuno?
3. c) Chi dei tre amici ha incollato più figurine?

Per ridurre la frazione $\frac{420}{1260}$ ai minimi termini, due compagni di classe propongono strategie diverse:

• Sofia propone: «Divido successivamente numeratore e denominatore applicando semplici criteri di divisibilità (per 2, per 3, per 5...) finché non posso più».

• Matteo propone: «Preferisco scomporre entrambi i numeri in fattori primi, calcolare il $\text{m.c.d.}(420, 1260)$ e fare un'unica divisione».

1. a) Applica entrambi i metodi passo dopo passo sul tuo quaderno per ottenere la frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Valuta criticamente i due procedimenti: quali vantaggi e svantaggi ha ciascun metodo in questo caso con numeri di tre e quattro cifre? Perché calcolare il $\text{m.c.d.}$ garantisce matematicamente che la frazione ottenuta non si può semplificare ulteriormente?

Uno studio sulla sostenibilità urbana in due comuni italiani analizza l'uso della bicicletta. Nel comune A, 180 persone intervistate su 450 usano la bicicletta ogni giorno. Nel comune B, 252 persone intervistate su 588 affermano di usarla ogni giorno.

1. a) Modella la proporzione di ciclisti quotidiani di ciascun comune mediante una frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Senza calcolare l'espressione decimale delle frazioni, confronta le due proporzioni a partire dalle loro forme ridotte e indica con una motivazione in quale comune c'è una maggiore abitudine all'uso della bicicletta.
3. c) Giustifica a quali insiemi numerici ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o solo $\mathbb{Q}$) appartengono i valori di queste proporzioni e che cosa dovrebbe accadere teoricamente nell'indagine perché la frazione risultante appartenesse all'insieme $\mathbb{N}$.

In uno scavo archeologico è stato trovato un papiro che descrive una divisione di terre usando frazioni unitarie (quelle il cui numeratore è 1). Lo scriba annotò che la parcella di un agricoltore è la somma di tre frazioni unitarie distinte e che il totale è $\frac{13}{12}$ dell'unità base di misura.

Se sappiamo che il denominatore più piccolo di quelle frazioni è $2$, trova gli altri due denominatori in modo che l'uguaglianza sia corretta.

Osserva la seguente figura geometrica che rappresenta un pannello solare quadrato di lato $L$. Il pannello è diviso in diverse sezioni per massimizzarne l'efficienza.

Calcola quale frazione dell'area totale del quadrato rappresenta la regione ombreggiata A. Se l'area totale è di $1$ metro quadrato, esprimi l'area della regione B come frazione ridotta ai minimi termini.

Due amici, Amina e Diego, stanno confrontando i loro risultati in una corsa a ostacoli. Amina ha completato $\frac{5}{7}$ del percorso e Diego $\frac{6}{7}$. Un terzo corridore, Matteo, si trova in un punto qualsiasi tra i due (non necessariamente nel punto medio).

Trova una frazione che rappresenti la posizione di Matteo in modo che il suo denominatore sia un numero primo maggiore di $10$. Giustifica se esiste più di una possibilità.

Analizza la seguente proprietà delle frazioni: «Se abbiamo una frazione propria positiva $\frac{n}{d}$ (dove $n < d$) e sommiamo lo stesso numero naturale $k$ sia al numeratore sia al denominatore, otteniamo una nuova frazione $\frac{n+k}{d+k}$».

Dimostra, usando come esempio la frazione $\frac{2}{5}$ e sommando $k=3$, se la nuova frazione è maggiore, minore o uguale a quella originale. Questa conclusione si manterrebbe se la frazione originale fosse impropria ($\frac{5}{2}$)?

Un grafico sta creando un logo basato su un esagono regolare. Ha diviso l'esagono unendo i suoi vertici opposti per formare sei triangoli equilateri. Poi ha diviso uno di quei triangoli in quattro triangoli più piccoli unendo i punti medi dei suoi lati.

Se ombreggiamo uno di quei triangolini (come mostrato in arancione), quale frazione dell'area totale dell'esagono rappresenta? Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini.

Trova una frazione ridotta ai minimi termini $\frac{a}{b}$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

1. È maggiore di $\frac{3}{5}$ ma minore di $\frac{2}{3}$.

2. La somma del suo numeratore e del suo denominatore è un multiplo di $13$.

3. Il denominatore $b$ è un numero pari minore di $20$.

Giustifica i passaggi seguiti per trovarla.

In una stazione meteorologica di alta montagna sono state registrate le seguenti variazioni di temperatura rispetto alla media stagionale, in gradi Celsius:

• Lunedì: $-\frac{9}{4}\ ^\circ\text{C}$

• Martedì: $-2,1\overset{\frown}{6}\ ^\circ\text{C}$ (il 6 si ripete: $-2,1666\ldots$)

• Mercoledì: $-|-2,2|\ ^\circ\text{C}$

• Giovedì: $-\frac{22}{10}\ ^\circ\text{C}$

Rappresenta questi quattro valori su una retta numerica come quella della figura (copiala sul quaderno) e ordinali in modo crescente (dal minore al maggiore) usando i simboli $<$ e $=$ quando serve. Giustifica la risposta trasformando tutti i numeri nella loro forma di frazione ridotta ai minimi termini.

Progetta un mosaico quadrato per una piscina. Il mosaico è diviso in tre zone di colori diversi:

• La Zona A occupa $\frac{2}{5}$ del totale.

• La Zona B occupa $\frac{3}{7}$ di ciò che resta dopo aver delimitato la Zona A.

• La Zona C occupa il resto della superficie.

Se la superficie totale della piscina è di $140 \text{ m}^2$, calcola quale frazione del totale rappresenta la Zona C e quanti metri quadrati le corrispondono. Esprimi il risultato della superficie della Zona C come numero decimale esatto.

Trova una frazione positiva e ridotta ai minimi termini $\frac{a}{b}$ che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni:

1. La sua scrittura come numero misto ha come parte intera il numero 3 (cioè $\frac{a}{b} = 3 + \frac{r}{b}$, con $0 < r < b$).

2. L'inverso della frazione propria rimanente $\frac{r}{b}$ è un numero intero esatto.

3. Il prodotto del numeratore per il denominatore, $a \cdot b$, è un numero strettamente maggiore di 50 e minore di 80.

Deduci passo dopo passo quale valore o quali valori possono avere $a$ e $b$, spiegando perché la condizione che la frazione iniziale sia ridotta ai minimi termini impone che $r = 1$ e scartando con argomenti matematici le opzioni che non rispettano tutte le condizioni.

Durante una discussione in classe, Carla propone la seguente affermazione sulla semplificazione e l'equivalenza di frazioni:

«Se ho una qualsiasi frazione propria e ridotta ai minimi termini $\frac{a}{b}$ (con $a < b$) e sommo uno stesso numero naturale $k$ ($k > 0$) sia al numeratore sia al denominatore, ottengo una frazione equivalente $\frac{a+k}{b+k}$, perché a entrambe le parti ho aggiunto esattamente la stessa quantità».

1. a) Fornisci un semplice controesempio numerico per dimostrare che la nuova frazione ottenuta da Carla non è equivalente a quella originale.
2. b) Usando i valori del tuo controesempio, stabilisci se la nuova frazione è maggiore o minore di quella originale.
3. c) Spiega perché il ragionamento di Carla è un errore concettuale: giustifica quale tipo di relazione (additiva o moltiplicativa) definisce le frazioni equivalenti e spiega perché, sommando $k$ a entrambi i termini di una frazione propria, il valore ottenuto si avvicina a 1 invece di rimanere costante.