Esercizi: Rappresentazione nel piano cartesiano

Nel seguente piano cartesiano sono state segnate le posizioni di quattro oggetti in una stanza. Scrivi le coordinate $(x, y)$ di ciascuno dei punti rappresentati: il telecomando ($A$), il libro ($B$), le chiavi ($C$) e lo zaino ($D$).

Disegna un sistema di assi coordinati sul quaderno e individua in quale quadrante (primo, secondo, terzo o quarto) si trovano i seguenti punti senza bisogno di rappresentarli:

• $P(4, 7)$

• $Q(-3, 5)$

• $R(-2, -8)$

• $S(6, -1)$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Stiamo progettando un livello per un videogioco su una griglia. Tre dei vertici di una stanza rettangolare sono i punti $A(1, 2)$, $B(6, 2)$ e $C(6, 5)$.

1. a) Rappresenta i punti in un piano cartesiano.

1. b) Quali devono essere le coordinate del quarto vertice $D$ affinché la stanza sia un rettangolo perfetto?

1. c) Unisci i punti in ordine ($A$, $B$, $C$ e $D$) e verifica la tua risposta.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Completa le seguenti frasi sul sistema di coordinate cartesiane:

1. a) L'asse orizzontale si chiama asse delle ________ e si indica con la lettera $X$.
2. b) L'asse verticale si chiama asse delle ________ e si indica con la lettera $Y$.
3. c) Il punto di intersezione dei due assi si chiama ________ e le sue coordinate sono $(0, 0)$.

Un drone per le consegne parte dal centro logistico, situato nel punto $(0, 0)$. Effettua due consegne: la prima nel punto $A(0, 4)$ e la seconda nel punto $B(5, 0)$.

1. a) Indica su quale asse si trova ciascuno dei punti di consegna.

1. b) Se il drone vola in linea retta dal punto $A$ al punto $B$, rappresenta la traiettoria in un sistema di assi coordinati (su carta a quadretti, con un'unità per quadretto). Segna anche i punti $A$ e $B$.

Rappresenta su un reticolo i seguenti punti e uniscili seguendo l'ordine alfabetico. Alla fine, unisci l'ultimo punto con il primo. Quale figura geometrica hai ottenuto?

• $A(-2, 2)$

• $B(2, 2)$

• $C(2, -2)$

• $D(-2, -2)$

Dati i punti $M(3, 2)$ e $N(3, -4)$:

1. a) Rappresentali nel piano cartesiano.

1. b) Che cosa hanno in comune le loro coordinate?

1. c) Se disegni la retta che passa per entrambi, è una retta orizzontale o verticale?

Disegna il punto $A(-4, 3)$ sul quaderno.

1. a) Scrivi le coordinate di un punto $B$ che abbia la stessa ascissa di $A$, ma ordinata opposta.
2. b) Scrivi le coordinate di un punto $C$ che abbia la stessa ordinata di $A$, ma ascissa opposta.
3. c) Rappresenta i tre punti e osserva la simmetria che si crea rispetto agli assi.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un gruppo di archeologi sta mappando le rovine di un'antica città romana. Hanno posto il centro di un anfiteatro nell'origine delle coordinate $O(0,0)$. Rappresenta in un piano cartesiano (sul quaderno, a quadretti) i seguenti punti di interesse e determina in quale quadrante si trova ciascuno:

• Tempio di Giove: $A(-4, 3)$

• Terme pubbliche: $B(5, -2)$

• Porta Nord: $C(0, 6)$

• Foro: $D(-3, -5)$

• Mercato: $E(6, 4)$

Se decidessero di costruire una recinzione che unisse i punti $E$, $B$ e $A$, quale figura geometrica si formerebbe?

Osserva i punti rappresentati nel seguente radar di navigazione marittima. Scrivi le coordinate delle navi identificate con le lettere $P$, $Q$, $R$ e $S$. Indica inoltre quali navi hanno la stessa ascissa e quali si trovano su uno degli assi coordinati.

Disegna un sistema di assi cartesiani e rappresenta i punti $A(2, 1)$ e $B(2, 5)$.

• Trova le coordinate di un punto $C$ in modo che il triangolo $ABC$ sia un triangolo rettangolo e isoscele (cioè con due lati uguali e un angolo di $90^\circ$).

• Esiste più di una soluzione possibile? Scrivi le coordinate di tutte quelle che trovi.

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In un videogioco di strategia, la base operativa si trova nel punto $M(-3, 2)$. Il programmatore vuole collocare tre postazioni di guardia in posizioni simmetriche:

• La postazione $P_1$ è la simmetrica di $M$ rispetto all'asse X.

• La postazione $P_2$ è la simmetrica di $M$ rispetto all'asse Y.

• La postazione $P_3$ è la simmetrica di $M$ rispetto all'origine degli assi.

Rappresenta i quattro punti nel piano cartesiano e scrivi le loro coordinate.

Un drone per le consegne segue un percorso lineare. Decolla dal magazzino nel punto $S(-5, -2)$ e deve passare per i punti $T(-2, 1)$ e $U(1, 4)$ prima di arrivare a destinazione.

1. a) Rappresenta i punti $S$, $T$ e $U$ in un piano cartesiano (su carta a quadretti). Sono allineati?

1. b) Se il drone continua la sua traiettoria nella stessa direzione, passerà per il punto $V(4, 7)$? Giustifica la risposta graficamente: rappresenta anche $V$ e la retta che unisce i punti.

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Disegna un piano cartesiano e individua i seguenti punti che formano i vertici di un rettangolo: $A(-4, -1)$, $B(3, -1)$ e $C(3, 4)$.

• Trova le coordinate del quarto vertice $D$ per chiudere il rettangolo.

• Calcola il perimetro e l'area di questo rettangolo contando le unità del reticolo.

• In quale quadrante si trova la maggior parte della superficie del rettangolo?

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Individua quali dei seguenti punti soddisfano la condizione che la loro ordinata è il doppio della loro ascissa ($y = 2x$):

• $A(1, 2)$

• $B(-2, -4)$

• $C(3; 1,5)$

• $D(-1, 2)$

• $E(0, 0)$

Rappresentali in un piano cartesiano. Che cosa osservi unendo questi punti?

In una stazione meteorologica è stata registrata la variazione della temperatura nel corso di una mattina. I dati ottenuti sono:

• Alle ore $0$ (mezzanotte): $-2\,^\circ C$

• Alle ore $2$: $-1\,^\circ C$

• Alle ore $4$: $2\,^\circ C$

• Alle ore $6$: $4\,^\circ C$

Nella figura hai gli assi con la loro scala (sull'asse $X$ ogni unità è $1$ ora; sull'asse $Y$ ogni unità è $1\,^\circ C$). Copiala sul quaderno, preferibilmente su carta a quadretti, e risolvi:

1. a) Rappresenta questi dati come punti $(x, y)$ nel piano cartesiano, dove l'asse $X$ rappresenta il tempo e l'asse $Y$ la temperatura.

1. b) Unisci i punti con dei segmenti per tracciare il grafico.

1. c) Che significato ha il punto in cui il grafico taglia l'asse delle ascisse? Indica le sue coordinate in modo approssimato.

1. d) Che significato ha il punto in cui il grafico taglia l'asse delle ordinate? Indica le sue coordinate.

Il progetto di un nuovo logo per un marchio di abbigliamento sportivo si basa su un rombo $ABCD$ (con i vertici in quest'ordine). Sono noti tre dei suoi vertici: $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$ e $C(4, 1)$, che compaiono nella figura.

a) Determina le coordinate del quarto vertice, $D$, affinché la figura $ABCD$ sia un rombo, e rappresentalo nel piano cartesiano.

b) Calcola le coordinate del centro del rombo (il punto in cui si intersecano le sue diagonali).

c) Se volessimo raddoppiare la dimensione del logo mantenendo il vertice $A$ al suo posto (cioè moltiplicando per 2 le distanze da $A$ a ciascun vertice), quali sarebbero le nuove coordinate dei punti $B$ e $C$?

Un'azienda di noleggio di monopattini elettrici usa una tariffa "a scaglioni" per evitare tragitti troppo brevi. Il costo $y$ (in euro) dipende dal tempo $x$ (in minuti) secondo queste regole:

• Se il tragitto dura tra $0$ e $10$ minuti (inclusi), il costo è di $2$ €.

• Se dura più di $10$ e fino a $20$ minuti, il costo è di $4$ €.

• Dai $20$ minuti in poi, il costo è di $4$ € fissi più $0,10$ € per ogni minuto aggiuntivo oltre i $20$.

a) Rappresenta graficamente questa funzione nel piano cartesiano per un tempo da $0$ a $40$ minuti.

b) Indica se la funzione è continua o discontinua. Se è discontinua, indica i punti di salto.

c) Quanto pagherà una persona che usa il monopattino per $25$ minuti? E una che lo usa per $10$ minuti e un secondo?

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Un drone di sorveglianza effettua un percorso di andata e ritorno dalla sua base. La sua distanza dalla base (in metri) in funzione del tempo (in secondi) è data dal seguente grafico:

a) Determina il dominio e il codominio di questa funzione in base al grafico.

b) Individua gli intervalli di tempo in cui il drone si allontana dalla base, si avvicina o rimane fermo.

c) Qual è la velocità del drone (in m/s) durante i primi $10$ secondi? Ricorda che $v = \frac{distancia}{tiempo}$.

In un videogioco di strategia, l'area di influenza di una torre di difesa è limitata dai punti $(x, y)$ che soddisfano la seguente condizione: il valore assoluto della loro ascissa più il valore assoluto della loro ordinata deve essere minore o uguale a $4$, cioè $|x| + |y| \leq 4$.

a) Rappresenta nel piano cartesiano tutti i punti che formano il bordo di questa regione (dove $|x| + |y| = 4$). Quale figura geometrica ottieni?

b) Verifica se i punti $P(2, 2)$, $Q(-3, 2)$ e $R(0, -4)$ sono all'interno, all'esterno o sul bordo dell'area di influenza.

c) Calcola l'area di questa regione in unità quadrate.

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Un biologo misura la profondità di un lago in diversi punti lungo una linea retta che attraversa da una riva all'altra. La riva di partenza è in $x=0$ e la riva finale in $x=10$. La profondità $y$ (in metri, espressa con valori negativi per indicare la profondità) segue la funzione $y = x^2 - 10x$.

a) Costruisci una tabella di valori per $x \in \{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10\}$.

b) Rappresenta i punti nel piano cartesiano e uniscili con una curva regolare.

c) In quale punto si raggiunge la profondità massima del lago e qual è questo valore?

d) Che cosa rappresenta il fatto che in $x=0$ e $x=10$ il valore di $y$ sia $0$?

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In una lezione di disegno artistico, gli alunni devono creare figure mediante simmetrie. Si disegna un triangolo i cui vertici sono $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ e $C(2, 5)$.

a) Rappresenta il triangolo originale.

b) Disegna il triangolo simmetrico rispetto all'asse $Y$. Scrivi le coordinate dei nuovi vertici $A'$, $B'$ e $C'$.

c) Disegna il triangolo simmetrico dell'originale rispetto all'origine degli assi $O(0,0)$. Scrivi le coordinate di questi nuovi vertici $A''$, $B''$ e $C''$.

d) Come sono cambiati i segni delle coordinate in ciascun caso?

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Due navi, l'Alfa e la Beta, si spostano nell'oceano. Le loro posizioni nel piano cartesiano (dove ogni unità dell'asse verticale rappresenta $1$ miglio nautico) sono date dalle seguenti funzioni rispetto al tempo $t$ (in ore):

• Nave Alfa: $y = 2t - 4$

• Nave Beta: $y = -t + 5$

Usa gli assi della figura (copiali sul quaderno) per risolvere i punti.

a) Rappresenta entrambe le traiettorie negli stessi assi coordinati per valori di $t$ tra $0$ e $6$.

b) In quale punto della mappa si incroceranno le due navi? Trova le coordinate $(t, y)$ di tale punto osservando il grafico.

c) A che ora ($t$) avverrà questo incontro?

Analizza i due grafici seguenti, $G_1$ e $G_2$, rappresentati nello stesso sistema di assi, e rispondi motivando. Il grafico $G_1$ è la retta $y=0{,}5x+4$ e il grafico $G_2$ è una circonferenza con centro nell'origine e raggio $3$.

a) Quali di essi rappresentano una funzione? Giustifica la risposta usando il concetto di "unicità dell'immagine".

b) Per quelli che sono funzioni, indica se sono crescenti o decrescenti in tutto il loro dominio.

c) Osserva i punti di $G_2$ con $x=0$: quali valori di $y$ corrispondono loro? Cosa concludi sul fatto che $G_2$ rispetti l'unicità dell'immagine? Indica anche un altro valore di $x$ diverso da $0$ per cui accade lo stesso.