Esercizi: Concetto di funzione

In un videogioco di strategia, la posizione delle risorse è indicata mediante coordinate in un piano cartesiano. Osserva la mappa e scrivi le coordinate dei tre forzieri del tesoro rappresentati:

Scrivi le coordinate di ciascun forziere nella forma $(x, y)$.

Per noleggiare un monopattino elettrico, un'azienda fa pagare $1,50$ € per lo sblocco iniziale e $0,20$ € per ogni minuto di utilizzo. Vogliamo analizzare la relazione tra il tempo di utilizzo e il costo totale del noleggio.

Individua le variabili di questa relazione:

• Variabile indipendente ($x$): ________

• Variabile dipendente ($y$): ________

Una delle regole d'oro per sapere se un grafico rappresenta una funzione è verificare che per ogni valore della variabile indipendente $x$ esista un unico valore della variabile dipendente $y$. Indica quale dei seguenti grafici NON è una funzione e giustifica brevemente la tua risposta.

Completa la seguente tabella di valori sapendo che la funzione associa a ogni numero naturale il suo triplo meno una unità. Cioè, l'espressione algebrica è $y = 3x - 1$.

Variabile indipendente ($x$)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Variabile dipendente ($y$)	$2$

Indica se le seguenti situazioni rappresentano una funzione continua o una funzione discreta:

1. a) Il numero di persone che entrano in un cinema in base al film in programmazione.
2. b) L'altezza di una mongolfiera al passare dei minuti dal suo decollo.
3. c) Il prezzo di un sacchetto di arance in base al suo peso in chilogrammi.
4. d) Il numero di follower su Instagram di un influencer giorno dopo giorno.

Osserva il seguente diagramma di corrispondenza (diagramma di Venn) che mette in relazione un gruppo di amici con il loro colore preferito di maglietta. Questa relazione rappresenta una funzione? Spiega perché.

Lucia sta controllando la batteria del suo cellulare durante la mattina. Quando si è svegliata alle $08:00$ aveva il $100\%$. Ogni ora che passa, la batteria diminuisce del $8\%$.

1. a) Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione le ore trascorse ($x$) con la percentuale di batteria residua ($y$).
2. b) Che percentuale di batteria avrà Lucia alle $12:00$ del mattino (dopo $4$ ore di utilizzo)?

Data la funzione $f(x) = x^2 - 3$, calcola il valore della variabile dipendente per i seguenti valori di $x$:

1. a) Se $x = 0 \rightarrow y = $
2. b) Se $x = 2 \rightarrow y = $
3. c) Se $x = 5 \rightarrow y = $
4. d) Se $x = 10 \rightarrow y = $

Osserva attentamente i seguenti tre grafici rappresentati nel piano cartesiano. Utilizza il criterio della retta verticale (immagina rette verticali che percorrono ogni grafico e conta in quanti punti lo intersecano) per individuare quale o quali di essi rappresentano una funzione e giustifica dettagliatamente la tua risposta in ogni caso.

In un campionato di videogiochi si vuole stabilire una relazione tra i giocatori e i personaggi che scelgono. Analizza le due situazioni seguenti e determina quale delle due definisce una funzione:

• Situazione 1: A ogni giocatore si assegna il nome dell'unico personaggio che ha utilizzato durante tutto il torneo.

• Situazione 2: A ogni personaggio si assegnano i nomi di tutti i giocatori che lo hanno scelto in qualche partita.

Disegna un diagramma a frecce (diagramma di Venn) per la Situazione 1 usando questi dati: Giocatori $\{Ainhoa, Marc, Leo\}$ e Personaggi $\{Guerrero, Maga\}$. Ainhoa e Marc hanno scelto il Guerriero, e Leo ha scelto la Maga.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un monopattino elettrico ha una batteria che si scarica in modo costante. Quando esci di casa, la batteria è al $100\%$. Per ogni chilometro percorso, la batteria diminuisce del $5\%$.

1. a) Individua la variabile indipendente e la variabile dipendente, indicando in quale unità si misura ciascuna.
2. b) Scrivi l'espressione algebrica (formula) della funzione che mette in relazione i chilometri percorsi ($x$) con la percentuale di batteria residua ($y$).
3. c) È possibile che il valore di $x$ sia $25$? Ragiona se questo valore appartiene al dominio della funzione in questo contesto reale.

Il grafico seguente mostra la distanza a cui si trova un drone per consegne rispetto alla sua base logistica durante un tragitto di andata e ritorno di 10 minuti.

Dal grafico, indica:

1. a) Il dominio e il codominio della funzione.
2. b) Per quanto tempo il drone è rimasto fermo a consegnare il pacco? A che distanza dalla base si trovava in quel momento?
3. c) In quale intervallo di tempo il drone stava tornando alla base?

Completa la seguente tabella di valori per la funzione $y = x^2 - 3$:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$

Una volta completata, rispondi:

1. a) Esistono valori di $x$ diversi che hanno la stessa immagine ($y$)? Questo impedisce che sia una funzione?
2. b) Rappresenta i punti ottenuti in un sistema di assi cartesiani. Che forma sembra avere il grafico?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Stiamo riempiendo un serbatoio d'acqua di forma cilindrica con un rubinetto che versa una portata costante di $4$ litri al minuto. All'inizio il serbatoio è vuoto e ha una capacità totale di $20$ litri.

1. a) Indica se la funzione che mette in relazione il tempo trascorso con il volume d'acqua è continua o discreta. Spiega perché.

1. b) Qual è il dominio di questa funzione, tenendo conto che il rubinetto si chiude quando il serbatoio è pieno?

1. c) Disegna uno schizzo del grafico che rappresenta questa situazione, con il tempo $t$ (in minuti) sull'asse orizzontale e il volume $V$ (in litri) sull'asse verticale.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la funzione definita dal seguente grafico, che rappresenta il costo di un abbonamento mensile a una piattaforma musicale in funzione dei mesi sottoscritti:

1. a) È corretto unire i punti con una linea continua? Giustifica se la variabile indipendente è discreta o continua.
2. b) Se il punto $(1, 10)$ appartiene alla funzione, che cosa significa questo dato nel contesto del problema?
3. c) Determina l'immagine di $x=3$ osservando l'andamento dei punti.

Indica quali delle seguenti relazioni non sono funzioni e spiega il motivo basandoti sulla definizione di funzione:

1. A ogni persona della tua classe associamo la sua data di nascita.

2. A ogni numero naturale associamo i suoi divisori.

3. A ogni numero reale associamo la sua radice quadrata positiva.

4. A ogni madre associamo il nome dei suoi figli.

5. A ogni prodotto di un negozio associamo il suo prezzo in euro.

Analizza attentamente la seguente rappresentazione grafica che mostra la relazione tra due grandezze. Determina, motivando la risposta in base alla definizione di funzione, se questo grafico rappresenta una funzione o una relazione non funzionale. Indica inoltre quale sarebbe il valore (o i valori) della variabile dipendente $y$ quando la variabile indipendente $x$ è uguale a $2$.

Un'azienda di corrieri con droni applica una tariffa base di $5\ €$ per il servizio. Inoltre, il costo per la distanza è suddiviso in scaglioni: i primi $2\ km$ sono gratuiti, ma da lì in poi ogni chilometro o frazione di chilometro aggiuntivo costa $2\ €$ (cioè, se percorre $2,1\ km$ si paga come se fossero $3\ km$).

1. a) Spiega perché questa situazione rappresenta una funzione discontinua.
2. b) Individua la variabile indipendente e quella dipendente.
3. c) Rappresenta graficamente il costo del servizio per distanze tra $0$ e $5\ km$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si definisce una relazione tra due insiemi di numeri nel modo seguente: "A ogni numero intero $x$ corrisponde la sua radice quadrata".

1. a) Questa relazione è una funzione se l'insieme di partenza (dominio) è l'insieme di tutti i numeri interi $\mathbb{Z}$? Giustifica la risposta analizzando che cosa succede con i numeri negativi.
2. b) E se restringiamo il dominio ai numeri $\{0, 1, 4, 9\}$? Sarebbe una funzione se ogni numero potesse avere due valori associati (positivo e negativo)? Motiva la risposta basandoti sull'unicità dell'immagine.

Un atleta si allena su un percorso rettilineo. Il grafico seguente mostra la distanza dal punto di partenza in funzione del tempo.

1. a) Spiega che cosa sta accadendo tra il minuto $4$ e il $6$.
2. b) A quale velocità massima ha corso l'atleta e in quale intervallo è avvenuto?
3. c) Spiega che cosa sta accadendo tra $t=6$ e $t=8$.
4. d) Possiamo affermare che è una funzione continua? Perché?

Data la seguente tabella di valori raccolti durante un esperimento di fisica, si sospetta che uno dei dati sia errato e violi la condizione di funzione.

Tempo (s)	$1$	$2$	$3$	$2$	$5$
Posizione (m)	$10$	$20$	$35$	$25$	$60$

1. a) Individua quale dato impedisce a questa tabella di rappresentare una funzione. Giustifica la tua scelta.
2. b) Se eliminiamo il dato errato, la variabile indipendente sarebbe discreta o continua?
3. c) Scrivi una possibile equazione $y = f(x)$ che metta in relazione la posizione con il tempo se la velocità fosse costante e pari a $12\ m/s$.

Considera la funzione che associa a ogni numero naturale di due cifre la somma delle sue cifre.

Ad esempio: $f(14) = 1 + 4 = 5$.

1. a) Qual è il dominio di questa funzione?
2. b) Qual è il codominio (insieme immagine) della funzione? (Tieni conto del numero più piccolo e del più grande possibili).
3. c) È una funzione crescente? Giustifica la risposta confrontando, ad esempio, $f(19)$ e $f(20)$.

Disegna in un sistema di assi cartesiani il grafico di una funzione che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Il suo dominio sia l'intervallo $[-4, 6]$.

2. Abbia un punto di discontinuità (un salto) in $x = 2$.

3. Sia decrescente nell'intervallo $[-4, 0]$ e crescente nell'intervallo $[3, 6]$.

4. Abbia un massimo relativo nel punto $(-4, 5)$ e un minimo assoluto in $(3, 1)$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.