Esercizi: Perimetri e aree dei poligoni

Calcola il perimetro e l'area del rettangolo della figura, di base $12$ cm e altezza $7$ cm.

Calcola l'area del triangolo della figura, di base $10$ m e altezza $6$ m.

Calcola a mente:

1. a) Il perimetro e l'area di un quadrato di lato $9$ cm.
2. b) Il perimetro di un rombo il cui lato misura $6,5$ m.
3. c) L'area di un rettangolo di base $8$ m e altezza $6$ m.

Un cartellone pubblicitario di forma triangolare ha una base di $4$ m e un'altezza di $3$ m.

1. a) Qual è la sua area?
2. b) Se il cartellone viene stampato su entrambe le facce, qual è la superficie totale da stampare?

Lucia vuole calcolare l'area di un parallelogramma di cartoncino per un progetto di Arte e immagine. Misura con il righello e annota: base $b = 12\text{ cm}$, lato obliquo $c = 7\text{ cm}$ e altezza perpendicolare alla base $h = 5\text{ cm}$. Sul quaderno scrive:

«$A = b \cdot c = 12 \cdot 7 = 84\text{ cm}^2$».

1. a) Spiega con chiarezza qual è l'errore commesso da Lucia e perché, dal punto di vista geometrico, non ha senso moltiplicare la base per il lato obliquo per trovare la superficie.
2. b) Calcola l'area corretta del parallelogramma e il suo perimetro.
3. c) Quale figura geometrica con lati di $12\text{ cm}$ e $7\text{ cm}$ avrebbe un'area di esattamente $84\text{ cm}^2$? Giustifica la tua risposta.

Per delimitare una zona rettangolare di giochi nel cortile della scuola si dispone di un rotolo completo di nastro segnaletico di $24\text{ m}$, senza tagliare né sprecare nulla (cioè il perimetro della zona deve essere esattamente $24\text{ m}$). Le dimensioni dei lati devono essere numeri interi di metri.

1. a) Scrivi tutte le possibili combinazioni di base e altezza (valori interi) che può avere questo rettangolo.
2. b) Calcola l'area di ciascuno dei rettangoli ottenuti al punto precedente.
3. c) Se l'obiettivo è che gli studenti dispongano del maggior spazio possibile per giocare all'interno del recinto delimitato, quale opzione devi scegliere? Che nome specifico ha quel rettangolo?

Calcola l'area del rombo della figura, le cui diagonali misurano $16$ cm e $10$ cm.

Il parallelogramma della figura ha base $9$ cm e altezza $5$ cm.

1. a) Calcola la sua area.
2. b) Se il lato obliquo del parallelogramma misura $6$ cm, calcola anche il suo perimetro.

Calcola l'area del trapezio della figura, le cui basi misurano $14$ m e $8$ m e la cui altezza misura $6$ m.

L'esagono regolare della figura ha lato $6$ cm e il suo apotema misura $5,2$ cm.

1. a) Calcola il suo perimetro.
2. b) Calcola la sua area usando la formula $A = \frac{P \cdot a}{2}$, dove $P$ è il perimetro e $a$ l'apotema.

Un cartellone rettangolare ha un'area di $48\ \text{m}^2$ e la sua base misura $8$ m.

1. a) Quanto misura la sua altezza?
2. b) Qual è il suo perimetro?
3. c) Se il cartellone avesse la stessa area ma forma quadrata, sarebbe possibile? Motiva la risposta.

Un campo da calcio è lungo $105$ m e largo $68$ m.

1. a) Calcola la sua area in $\text{m}^2$.
2. b) Esprimi l'area in ettari. Ricorda che $1\ \text{ha} = 10.000\ \text{m}^2$.
3. c) Quanti campi da calcio come questo entrerebbero, approssimativamente, in un parco naturale di $1\ \text{km}^2$?

La vasca di una piscina per bambini in un centro sportivo comunale ha la forma di un trapezio isoscele. La base maggiore misura $14,8\text{ m}$, la base minore misura $9,2\text{ m}$ e la distanza perpendicolare tra le due basi (l'altezza) è di $6,1\text{ m}$. Il comune ordinerà un telo protettivo su misura per coprirla in inverno.

1. a) Prima di operare con i decimali, arrotonda le tre misure al metro più vicino ed esegui una stima mentale dell'area del telo. Scrivi l'operazione che hai pensato e il risultato stimato.
2. b) Calcola l'area esatta che deve avere il telo a partire dalle misure reali del trapezio.
3. c) Verifica se la tua stima è stata ragionevole calcolando la differenza tra l'area esatta e quella stimata. Se il telo costa $8,50\text{ €/m}^2$, quanti euro di differenza avrebbe comportato preventivare l'acquisto con la stima invece che con il dato esatto?

Un'associazione di quartiere di Napoli sistemerà una piazzetta che ha la forma di un esagono regolare di lato $6\text{ m}$. Le planimetrie del comune indicano che l'apotema di questo poligono misura $5,2\text{ m}$. Il progetto consiste nel posare un bordo di legno lungo tutto il perimetro, al prezzo di $4,20\text{ €}$ al metro lineare, e nel ricoprire tutto il suolo interno con prato rustico che costa $2,50\text{ €}$ al metro quadrato. Per i lavori dispongono di un contributo comunale di $350\text{ €}$.

1. a) Modellizza la situazione calcolando i metri lineari di bordo necessari e la superficie in metri quadrati che occuperà il prato.
2. b) Calcola il preventivo totale richiesto dai lavori (bordo più prato).
3. c) Interpreta il risultato ottenuto: il contributo comunale di $350\text{ €}$ basta per finanziare il progetto? Se manca o avanza denaro, indica la somma esatta.

Un residence vuole recintare e seminare a prato un terreno rettangolare lungo $45$ m e largo $28$ m.

1. a) Quanti metri di recinzione servono se si lascia un ingresso di $3$ m senza recinzione?
2. b) Se la recinzione costa $12,50\ \text{€}$ al metro installata, qual è il preventivo per chiudere il terreno?
3. c) Il prato si vende in rotoli da $5\ \text{m}^2$ a $18,95\ \text{€}$ il rotolo. Quanti rotoli bisogna comprare e quanto costeranno?

L'area di un trapezio è $84\ \text{m}^2$, la sua altezza misura $7$ m e la base maggiore $16$ m.

1. a) Sostituisci i dati nella formula dell'area del trapezio, $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$, e imposta la relativa equazione.
2. b) Risolvi l'equazione e calcola quanto misura la base minore.
3. c) Verifica il tuo risultato controllando che l'area risulti $84\ \text{m}^2$.

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta o fornendo un controesempio:

1. a) Se raddoppiamo i lati di un rettangolo, anche la sua area raddoppia.
2. b) Un parallelogramma e un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza hanno la stessa area.
3. c) Un triangolo ha area pari alla metà di quella di un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza.
4. d) Due figure con lo stesso perimetro hanno sempre la stessa area.

Per calcolare l'area di un triangolo di base $12$ cm e altezza $7$ cm, un alunno ha eseguito $12 \cdot 7 = 84$ e ha risposto: «l'area è $84\ \text{cm}^2$».

1. a) Spiega quale errore ha commesso.
2. b) Calcola l'area corretta.
3. c) Lo stesso alunno calcola l'area di un rombo con diagonali $10$ cm e $6$ cm e ottiene $60\ \text{cm}^2$. Commette di nuovo lo stesso errore? Correggilo.

Le diagonali di un rombo misurano $20$ cm e $14$ cm.

1. a) Calcola la sua area.
2. b) Se tagliamo il rombo lungo le sue due diagonali, esso risulta diviso in $4$ triangoli rettangoli uguali. Quanto misurano la base e l'altezza di ciascuno di questi triangoli?
3. c) Calcola l'area di uno di questi triangoli e verifica che le quattro aree sommano l'area del rombo.

Si vuole posare un nuovo pavimento su una terrazza rettangolare lunga $6$ m e larga $4$ m usando piastrelle quadrate di lato $40$ cm, senza tagliarne nessuna.

1. a) Quante piastrelle entrano nella lunghezza e nella larghezza? Quante piastrelle servono in totale?
2. b) Le piastrelle si vendono in scatole da $12$ unità a $18,95\ \text{€}$ la scatola. Quante scatole bisogna comprare? Quanto costerà il pavimento?
3. c) Qual è l'area di una piastrella, in $\text{cm}^2$? Verifica che l'area totale delle piastrelle usate coincide con l'area della terrazza (esprimi entrambe in $\text{m}^2$).

Nel cortile di una scuola si dipingerà un logo a forma di rombo le cui diagonali misurano $D = 8\text{ m}$ e $d = 6\text{ m}$. Due studenti di prima media discutono sul modo migliore di calcolarne la superficie:

• Marco propone: «Disegniamo un rettangolo di base $8\text{ m}$ e altezza $6\text{ m}$ che contenga il rombo. La sua area è $8 \cdot 6 = 48\text{ m}^2$. Negli angoli restano quattro triangoli rettangoli uguali di base $4\text{ m}$ e altezza $3\text{ m}$; se sottraiamo questi quattro triangoli al rettangolo esterno, otteniamo l'area del rombo».

• Sara propone: «Possiamo applicare direttamente la formula $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$, perché il rombo occupa esattamente la metà del rettangolo che lo contiene».

1. a) Sviluppa per intero il procedimento di Marco: calcola l'area di uno dei triangoli degli angoli, la somma dei quattro e la sottrazione finale.
2. b) Applica il metodo diretto di Sara e verifica se i due risultati coincidono.
3. c) Confronta i due metodi: quale risulta più efficace in questo problema e perché? In quali casi di figure poligonali irregolari disegnate su una griglia è indispensabile usare la strategia di Marco (racchiudere in un rettangolo e sottrarre gli angoli in eccesso)?

Un allevatore della Sardegna dispone di $120\text{ m}$ di recinzione metallica per delimitare un recinto di riposo per le sue pecore e vuole che abbia la massima superficie possibile. È indeciso tra tre progetti, tutti con un perimetro esatto di $120\text{ m}$:

1. Un triangolo equilatero di lato $40\text{ m}$ e la cui altezza misura $34,64\text{ m}$.

2. Un quadrato di lato $30\text{ m}$.

3. Un esagono regolare di lato $20\text{ m}$ e il cui apotema misura $17,32\text{ m}$.

1. a) Calcola l'area racchiusa da ciascuna delle tre opzioni proposte.
2. b) Confronta i tre risultati: a parità di perimetro ($120\text{ m}$), quale dei tre poligoni regolari racchiude la superficie maggiore? Quale conclusione geometrica puoi dedurre su come cambia l'area al crescere del numero di lati di un poligono regolare con perimetro costante?
3. c) La normativa sul benessere animale richiede che il recinto abbia almeno $1000\text{ m}^2$ per le dimensioni del suo gregge. Qualcuna delle tre opzioni la rispetta? Se si costruisse un poligono regolare con molti più lati (per esempio un decagono regolare o una figura quasi circolare con gli stessi $120\text{ m}$ di recinzione), pensi che sarebbe possibile superare quella soglia di $1000\text{ m}^2$? Motiva la risposta a partire dalla tendenza osservata.