Esercizi: Tabelle

Si vuole realizzare uno studio per sapere qual è il libro preferito dei $1\,200$ alunni di una scuola di Roma. A tal fine si scelgono a caso $80$ studenti e si chiede loro il titolo del libro che è piaciuto di più quest'anno.

Indica quali sono i seguenti elementi di questo studio statistico:

• Popolazione

• Campione

• Individuo

Classifica le seguenti variabili statistiche in qualitative o quantitative. Per quelle quantitative, indica se sono discrete o continue:

1. a) Il colore preferito dei tuoi compagni di classe.
2. b) Il numero di messaggi WhatsApp che ricevi al giorno.
3. c) L'altezza esatta dei giocatori di una squadra di pallacanestro.
4. d) Il modello di cellulare usato dai professori della scuola.
5. e) Il numero di fratelli degli alunni di seconda media.

Un gruppo di amici ha annotato il numero di volte che è andato al cinema nell'ultimo mese. I risultati ottenuti sono:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 3, 2, 1$

Organizza questi dati in una tabella di frequenze che comprenda la frequenza assoluta ($n_i$) per ogni valore della variabile.

In un'indagine sul social network preferito da $20$ adolescenti, sono stati ottenuti i seguenti risultati di frequenza assoluta:

Social network	Frequenza assoluta ($n_i$)
TikTok	$10$
Instagram	$6$
YouTube	$3$
Altri	$1$
Totale	$20$

Calcola la frequenza relativa ($f_i$) e la percentuale ($\%$) di ciascuna categoria.

La seguente tabella mostra il numero di animali domestici delle famiglie di un residence. Completa la colonna delle frequenze assolute cumulate ($N_i$):

N° animali ($x_i$)	Frequenza assoluta ($n_i$)	Frequenza cumulata ($N_i$)
$0$	$8$
$1$	$12$
$2$	$7$
$3$	$3$
Totale	$30$	---

Suggerimento. La frequenza cumulata di ogni riga è la somma della sua frequenza assoluta e della frequenza cumulata della riga precedente. La prima riga passa direttamente: $N_1 = n_1$. L'ultima frequenza cumulata deve coincidere con il totale.

È stato chiesto agli alunni di una classe quante ore al giorno in media dedicano allo studio. Alcuni dati della tabella sono andati persi. Completala sapendo che il totale degli alunni è $25$.

Ore di studio ($x_i$)	Frequenza assoluta ($n_i$)	Frequenza relativa ($f_i$)
$1$ h	$5$	$0,20$
$2$ h		$0,40$
$3$ h	$6$
$4$ h	$4$	$0,16$
Totale	$25$	$1$

Osserva la seguente tabella di frequenze che riporta il numero di scarpe di un gruppo di $10$ amici e rispondi alle domande:

Numero ($x_i$)	Frequenza assoluta ($n_i$)	Frequenza cumulata ($N_i$)
$36$	$1$	$1$
$37$	$2$	$3$
$38$	$4$	$7$
$39$	$3$	$10$

1. a) Quante persone portano un numero di scarpe inferiore al $38$?
2. b) Quale percentuale di persone porta il numero $39$?
3. c) Qual è il numero più comune (quello con la frequenza assoluta maggiore)?

Per uno studio sulle abitudini alimentari, sono stati raccolti i seguenti dati qualitativi sul tipo di frutta che $25$ bambini mangiano a merenda in un campeggio:

Mela, Banana, Pera, Mela, Arancia, Banana, Mela, Pera, Banana, Mela, Arancia, Mela, Pera, Mela, Banana, Arancia, Mela, Banana, Pera, Mela, Arancia, Mela, Banana, Mela, Pera.

Costruisci una tabella di frequenze completa che comprenda: Variabile ($x_i$), Frequenza assoluta ($n_i$), Frequenza relativa ($f_i$) e Percentuale ($\%$).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Alberto ha fatto un'indagine tra i suoi 20 compagni di classe sul numero di libri letti nell'ultimo trimestre e ha presentato i seguenti risultati in una tabella:

• Per 0 libri: frequenza assoluta $n_1 = 4$; frequenza assoluta cumulata $N_1 = 4$; frequenza relativa $h_1 = 0,20$.

• Per 1 libro: $n_2 = 8$; $N_2 = 12$; $h_2 = 0,40$.

• Per 2 libri: $n_3 = 5$; $N_3 = 17$; $h_3 = 0,25$.

• Per 3 libri: $n_4 = 3$; $N_4 = 20$; $h_4 = 0,30$.

Sommando la colonna delle frequenze relative, Alberto ottiene $0,20 + 0,40 + 0,25 + 0,30 = 1,15$ e afferma ad alta voce: «Poiché la somma delle frequenze relative non fa 1, l'indagine è sbagliata e dobbiamo richiedere a tutti».

1. a) Individua l'errore numerico concreto commesso da Alberto nel calcolo della tabella.
2. b) Spiega perché la sua conclusione sull'indagine è errata e scrivi i valori corretti delle frequenze relative ($h_i$) e le corrispondenti percentuali.

In una scuola secondaria è stato chiesto ai 50 alunni di seconda media come si spostano abitualmente per andare a scuola: a piedi, in autobus, in bicicletta/monopattino o in auto con la famiglia. Il conteggio iniziale indica che 28 alunni vanno a piedi, 11 in autobus e 7 in bicicletta o monopattino (gli altri vanno in auto con la famiglia).

1. a) Stima: prima di eseguire qualsiasi calcolo esatto con carta e penna, stima mentalmente quale percentuale approssimativa di studenti va a piedi. Sarà inferiore al $40\,\%$, sarà compresa tra il $50\,\%$ e il $60\,\%$, oppure supererà il $70\,\%$? Giustifica in una frase il tuo ragionamento mentale.
2. b) Verifica: trova la frequenza assoluta di quelli che vanno in auto con la famiglia, completa la tabella calcolando la frequenza relativa ($h_i$) e la percentuale di ciascun mezzo di trasporto, e verifica numericamente se la tua stima iniziale era corretta. Infine, verifica che la somma totale delle frequenze relative sia esattamente 1 e quella delle percentuali il $100\,\%$.

Un gruppo di 20 adolescenti ha annotato quante ore alla settimana trascorre guardando serie sulle piattaforme di streaming. I dati ottenuti sono i seguenti:

$5, 8, 12, 5, 10, 15, 8, 8, 10, 12, 15, 5, 8, 10, 12, 8, 10, 12, 10, 8$.

Organizza questi dati in una tabella di frequenze che comprenda:

• Frequenza assoluta ($n_i$).

• Frequenza relativa ($f_i$).

• Percentuale ($\%$).

In un sondaggio sul numero di animali domestici delle famiglie di una classe di seconda media, è stata elaborata la seguente tabella incompleta. Completala sul quaderno sapendo che il totale degli alunni è $30$.

Animali ($x_i$)	Freq. assoluta ($n_i$)	Freq. assoluta cumulata ($N_i$)	Freq. relativa cumulata ($H_i$)
0	12
1	9
2		26
3	4

Quale percentuale di alunni ha al massimo un animale domestico?

È stato realizzato uno studio sulla distanza (in km) che $40$ persone percorrono per raggiungere il luogo di lavoro. I dati sono stati raggruppati nelle seguenti classi: $[0, 4)$, $[4, 8)$, $[8, 12)$ e $[12, 16)$.

Sapendo che le frequenze assolute sono rispettivamente $14$, $10$, $8$ e $8$:

1. a) Costruisci la tabella di frequenze includendo il valore centrale della classe ($c_i$) di ciascuna classe.

1. b) Quante persone percorrono $8$ km o più?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un torneo locale di videogiochi è stata registrata l'età dei partecipanti. Osserva la tabella delle frequenze relative e rispondi:

Età	Frequenza relativa ($f_i$)
12 anni	$0,15$
13 anni	$0,35$
14 anni	$0,30$
15 anni	$0,20$

Se al torneo hanno partecipato in totale $120$ persone:

1. a) Quanti partecipanti hanno esattamente $13$ anni?
2. b) Quanti partecipanti hanno più di $13$ anni?

È stata fatta un'indagine tra gli alunni di una scuola sul loro sport preferito. I risultati sono mostrati in questa tabella a doppia entrata, ma mancano alcuni dati. Completala.

	Calcio	Pallacanestro	Tennis	TOTALE
Ragazze	$45$		$20$	$95$
Ragazzi		$25$	$15$
TOTALE	$105$	$55$

A partire dalla tabella, calcola la percentuale di alunni (sul totale) che preferisce la pallacanestro.

Osserva il seguente diagramma a torta che rappresenta il tipo di musica preferito dai $200$ alunni di una scuola:

Costruisci la tabella delle frequenze assolute e relative corrispondente a questo grafico.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un negozio di abbigliamento giovanile vuole analizzare il numero di capi che ogni cliente acquista. Si sa che la frequenza relativa cumulata ($H_i$) per l'acquisto di $2$ capi è $0,75$. Se sono stati analizzati $160$ clienti:

1. a) Quanti clienti hanno acquistato $2$ o meno capi?
2. b) Se la frequenza assoluta dell'acquisto di $1$ solo capo è di $60$ clienti, quanti clienti hanno acquistato esattamente $2$ capi?

Si vuole realizzare uno studio sull'uso dei social network. A tal fine si chiede a un campione di alunni di seconda media quale sia il loro social preferito (TikTok o Instagram) e se pubblicano contenuti ogni giorno (Sì o No).

Completa la tabella sapendo che:

• Sono stati intervistati $80$ alunni in totale.

• A $45$ alunni piace di più Instagram.

• Tra quelli che preferiscono TikTok, $15$ non pubblicano ogni giorno.

• In totale, $50$ alunni del campione pubblicano contenuti ogni giorno.

	Pubblica ogni giorno (Sì)	Pubblica ogni giorno (No)	TOTALE
TikTok		$15$
Instagram			$45$
TOTALE	$50$		$80$

Quale percentuale degli alunni che preferiscono Instagram pubblica contenuti ogni giorno?

A un laboratorio comunale di robotica partecipano $N = 40$ alunni di età compresa tra i 12 e i 15 anni. Nel trasferire i dati al computer, sono state cancellate varie caselle della tabella di frequenze, ma si conservano le seguenti informazioni:

• La frequenza relativa cumulata per gli alunni di 13 anni o meno è $H_2 = 0,65$.

• La frequenza assoluta cumulata per gli alunni di 14 anni o meno è $N_3 = 36$.

• Il numero di partecipanti di 12 anni è esattamente il doppio di quello dei partecipanti di 15 anni ($n_1 = 2 \cdot n_4$).

Ricostruisci con ragionamento la tabella di frequenze completa determinando, per ciascuna delle quattro età ($12, 13, 14$ e $15$ anni), la frequenza assoluta ($n_i$), la frequenza assoluta cumulata ($N_i$) e la frequenza relativa ($h_i$). Mostra in modo chiaro le operazioni e le deduzioni che svolgi per trovare ogni valore incognito.

L'insegnante di Educazione fisica ha cronometrato la prova di velocità sui 60 metri piani per i 30 alunni di seconda media. I tempi ottenuti variano tra $8,72\text{ s}$ e $13,25\text{ s}$ e, data la precisione del cronometro digitale, praticamente ogni studente ha un tempo diverso con due cifre decimali. Per organizzare i dati prima di analizzarli, due alunni discutono su quale tipo di tabella utilizzare:

• Proposta di Lucia: costruire una tabella di frequenze semplice con una riga per ciascuno dei tempi individuali registrati, indicando quante volte compare ciascuno.

• Proposta di Marco: raggruppare i tempi in quattro classi continue di ampiezza $1,2\text{ s}$ a partire da $8,5\text{ s}$ e calcolare il valore centrale di ciascuna classe da usare come valore rappresentativo.

1. a) Confronta le due proposte e ragiona su quale sia adatta a questo insieme di dati. Quale svantaggio insuperabile presenta la proposta scartata nel riassumere le informazioni?
2. b) Scrivi le quattro classi proposte da Marco nella forma $[a; b)$ e calcola il valore centrale di ciascuna. Spiega che cosa significa matematicamente il valore centrale della classe e a che cosa servirà poi nello studio statistico.

In uno studio sul consumo di dati mobili di un gruppo di adolescenti, si è iniziato a compilare la seguente tabella delle frequenze. Tuttavia, alcuni dati sono andati persi. Sapendo che la dimensione del campione è di $N = 80$ individui e che la frequenza relativa cumulata del terzo intervallo è $F_3 = 0,825$, completa la tabella delle frequenze assoluta ($n_i$), relativa ($f_i$), assoluta cumulata ($N_i$) e relativa cumulata ($F_i$).

Consumo (GB)	$n_i$	$f_i$	$N_i$	$F_i$
$[0, 5)$	$12$
$[5, 10)$		$0,35$
$[10, 15)$
$[15, 20]$

Un comune vuole analizzare l'età dei giovani che utilizzano la nuova pista ciclabile. Si sa che la variabile è quantitativa continua e che i dati sono stati raggruppati in cinque intervalli di ampiezza costante. Completa la tabella sapendo che:

• Il campo di variazione dell'età va da $10$ a $30$ anni.

• La frequenza assoluta del secondo intervallo è il doppio di quella del primo, e quella del terzo è uguale a quella del primo.

• $N_3 = 40$

• $f_4 = 0,25$

• $n_5 = 5$

• Il totale del campione è $N = 60$.

Indica anche i valori centrali delle classi ($x_i$) per ciascun intervallo.

È stato realizzato un sondaggio sull'uso di tre piattaforme di streaming (A, B e C) tra gli alunni di seconda media. Viene presentata questa tabella a doppia entrata incompleta che mette in relazione la piattaforma preferita con il dispositivo principale di utilizzo.

	Tablet	Smartphone	PC	TOTALE
Piattaforma A	$8$		$5$
Piattaforma B		$14$		$22$
Piattaforma C	$6$		$7$	$25$
TOTALE	$18$	$35$

Sapendo che il numero totale di alunni intervistati è $69$, completa la tabella e calcola quale percentuale del totale degli alunni utilizza prevalentemente lo smartphone per guardare la Piattaforma B.

In un club di e-sports sono state registrate le ore settimanali di allenamento dei suoi 40 membri. Sono state organizzate in quattro classi: $[0, 4), [4, 8), [8, 12)$ e $[12, 16]$.

Si conoscono i seguenti dati:

1. Le frequenze relative dei primi due intervalli sono identiche: $f_1 = f_2$.

2. La frequenza relativa cumulata del secondo intervallo è $F_2 = 0,5$.

3. L'ultimo intervallo ha una frequenza assoluta di $n_4 = 4$.

Deduci la tabella completa delle frequenze assolute e relative. Quanti giocatori si allenano almeno $8$ ore alla settimana?

A partire dal poligono delle frequenze cumulate dei voti di un compito di matematica, ricostruisci la tabella delle frequenze assolute. Sapendo che il numero totale di alunni è $30$, determina quanti alunni hanno ottenuto un voto maggiore o uguale a $5$ ma minore di $9$.

Nota: I punti del grafico sono $(1, 3), (3, 7), (5, 15), (7, 24), (9, 28), (10, 30)$, dove la prima coordinata è il voto e la seconda la frequenza assoluta cumulata $N_i$.

È stata realizzata un'indagine sul numero di libri letti nell'ultimo anno da un gruppo di persone. Si sa che la moda è $3$ libri e che la media aritmetica è esattamente $2,5$ libri. Con i dati della tabella incompleta, determina i valori di $x$ e $y$ (frequenze assolute).

Libri letti ($x_i$)	$n_i$
$1$	$5$
$2$	$x$
$3$	$y$
$4$	$3$
TOTALE	$20$

Un insegnante di Educazione fisica registra il tempo (in secondi) che i suoi alunni impiegano a percorrere $100$ metri piani. I risultati sono raggruppati in una tabella di frequenze con classi di ampiezza $2$ secondi.

Sapendo che:

• La prima classe inizia a $12$ secondi.

• $f_1 = 15\%$

• $f_2 = 35\%$

• $N_3 = 28$ alunni.

• $F_3 = 0,7$ (frequenza relativa cumulata).

• Gli altri alunni si ripartiscono equamente nelle ultime due classi fino a un tempo massimo di $22$ secondi.

Calcola il numero totale di alunni ($N$) e completa la tabella delle frequenze assolute.

Analizza la seguente tabella di frequenze relativa al numero di assenze di una classe di $25$ alunni durante un mese. Trova i due errori di coerenza logica presenti nelle colonne delle frequenze cumulate ($N_i$ e $F_i$) e giustifica perché sono errori basandoti sulle proprietà delle tabelle di frequenza.

Assenze ($x_i$)	$n_i$	$f_i$	$N_i$	$F_i$
$0$	$10$	$0,40$	$10$	$0,40$
$1$	$6$	$0,24$	$16$	$0,64$
$2$	$5$	$0,20$	$14$	$0,84$
$3$	$4$	$0,16$	$25$	$1,05$

A partire da uno studio ispirato ai dati dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) sugli stili di vita in adolescenza, sono state raccolte informazioni su un campione di 120 studenti di scuola secondaria. Si incrociano due variabili in una tabella a doppia entrata: «Pratica sportiva settimanale» (Sì / No) e «Tempo giornaliero dedicato al tempo libero davanti a schermi» (Basso: meno di 2 ore; Medio: da 2 a 4 ore; Alto: più di 4 ore). Si conoscono i seguenti dati:

• Il $60\,\%$ degli intervistati afferma di praticare sport settimanalmente.

• Tra gli studenti che praticano sport, 24 hanno un consumo basso di schermi e 36 un consumo medio.

• Tra quelli che non praticano sport, esattamente 12 hanno un consumo basso di schermi e il numero di quelli con consumo alto è il triplo di quelli con consumo medio.

1. a) Rappresenta questi dati costruendo una tabella a doppia entrata completa con le frequenze assolute, indicando con chiarezza le celle interne, i totali di riga e i totali di colonna.
2. b) Calcola quale percentuale degli sportivi ha un consumo alto di schermi e quale percentuale dei non sportivi ha un consumo alto di schermi.
3. c) Alla luce delle due percentuali calcolate, si può dedurre che in questo campione esista una relazione tra il non fare sport e l'uso intensivo di schermi? Giustifica la tua conclusione confrontando le due proporzioni.

In uno studio sull'abitudine alla lettura in un comune, è stato registrato il tempo settimanale (in ore) che gli utenti della biblioteca pubblica dedicano alla lettura. I dati sono stati raggruppati in quattro classi di uguale ampiezza: $[0; 2)$, $[2; 4)$, $[4; 6)$ e $[6; 8)$. A causa di un guasto informatico, il numero totale di intervistati ($N$) è stato cancellato dal rapporto, ma si conservano le seguenti informazioni:

• La frequenza assoluta cumulata della terza classe è $N_3 = 54$.

• Nell'ultima classe ($[6; 8)$) sono registrate esattamente 6 persone.

• La frequenza relativa della seconda classe è $h_2 = 0,35$.

• Nella prima classe ci sono il doppio delle persone che nella terza ($n_1 = 2 \cdot n_3$).

1. a) Deduci con ragionamento la dimensione totale del campione ($N$) e calcola la frequenza assoluta ($n_i$) di ciascuna delle quattro classi.
2. b) Un consigliere comunale legge i risultati del rapporto e afferma: «Poiché il valore centrale della classe $[2; 4)$ è $3$ ore e in essa ci sono $n_2$ persone, sommando i tempi reali di lettura di tutte le persone di quel gruppo otterremo esattamente $3 \cdot n_2$ ore». Spiega nel dettaglio l'errore concettuale commesso dal consigliere e costruisci un esempio numerico concreto che dimostri che la sua affermazione non deve necessariamente verificarsi.