Esercizi: Rappresentazione dei dati

In una classe seconda media è stata svolta un'indagine per sapere quale social network preferiscono gli alunni. Sono stati ottenuti i seguenti risultati: Instagram, TikTok, TikTok, YouTube, Instagram, TikTok, YouTube, Instagram, Instagram, TikTok, YouTube, TikTok, Instagram, YouTube, Instagram.

Indica qual è la popolazione di questo studio, qual è l'individuo e di che tipo di variabile statistica si tratta.

Osserva il seguente diagramma a barre che rappresenta lo sport preferito da un gruppo di adolescenti di un club sportivo:

In base al grafico, rispondi:

1. a) Quante persone preferiscono la pallacanestro (basket)?
2. b) Qual è lo sport meno praticato in questo gruppo?
3. c) Quante persone sono state intervistate in totale?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È stato chiesto agli alunni di una classe quanti fratelli hanno, ottenendo i seguenti dati:

$1, 0, 2, 1, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2$

Costruisci una tabella delle frequenze che comprenda la frequenza assoluta ($n_i$) e la frequenza relativa ($f_i$).

Per rappresentare in un diagramma a torta i risultati di un'indagine sul gusto di gelato preferito, dobbiamo calcolare gli angoli di ciascun settore. Se sappiamo che a $10$ persone su un totale di $40$ piace il cioccolato, quale ampiezza in gradi ($^\circ$) avrà il settore circolare corrispondente al cioccolato?

Il seguente pictogramma mostra il numero di alberi piantati dagli alunni di una scuola durante quattro anni. Se ogni simbolo rappresenta $5$ alberi, rispondi alle domande:

1. a) Quanti alberi sono stati piantati nell'anno $2021$?
2. b) In quale anno sono stati piantati esattamente $15$ alberi?
3. c) Qual è il numero totale di alberi piantati nei quattro anni?

È stato registrato il tempo (in minuti) che $25$ alunni impiegano per arrivare a scuola da casa. I dati sono stati raggruppati nella seguente tabella a intervalli:

Rappresenta questi dati con un istogramma. (Ricorda di mettere gli intervalli sull'asse orizzontale e le frequenze su quello verticale).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il seguente diagramma a linee mostra l'andamento della temperatura massima in una città durante la prima settimana di maggio:

Osservando il grafico:

1. a) In quale giorno della settimana è stata registrata la temperatura massima più alta?
2. b) Tra quali due giorni consecutivi c'è stato il maggior calo di temperatura?
3. c) Quale temperatura massima c'era il lunedì?

Un'azienda di videogiochi vuole sapere quante ore a settimana giocano i giovani da $12$ a $14$ anni. Ha intervistato $100$ ragazzi e ragazze scelti a caso da diverse scuole d'Italia.

Indica in questo caso:

1. a) Qual è la popolazione?
2. b) Qual è il campione?
3. c) Qual è l'individuo?
4. d) È una variabile qualitativa o quantitativa?

Errore altrui. Alba svolge un'indagine tra i $40$ alunni della sua classe sulla loro attività extrascolastica preferita e ottiene: Pallacanestro ($10$), Teatro ($8$), Musica ($14$) e Robotica ($8$). Preparando un diagramma a torta sul quaderno, scrive quanto segue:

«Per il settore della Pallacanestro: poiché sono $10$ persone su un totale di $40$, divido $40$ per $10$, che fa $4$, quindi l'angolo che devo disegnare è di $4^\circ$. Inoltre, per presentare i risultati, unirò le parti superiori delle barre con una linea continua perché così si apprezza meglio come cambia la preferenza da un'attività all'altra».

1. a) Trova e spiega i due errori concettuali commessi da Alba: uno nel calcolo dell'angolo e uno nella scelta del grafico a linee per questo tipo di variabile.
2. b) Correggi i suoi calcoli e calcola l'angolo al centro esatto che spetta nel diagramma a torta alla «Pallacanestro» e alla «Musica».
3. c) Spiega quale grafico (barre separate o istogramma con barre contigue) è adatto a mostrare questi dati e perché in questo caso le barre non devono essere attaccate.

Scegli il metodo. Un gruppo di lavoro di seconda media deve scegliere il tipo di grafico più adatto per presentare tre studi statistici sul giornalino scolastico:

1. La temperatura esterna registrata nel cortile della scuola ogni due ore nel corso di una giornata di lezione (dalle 08:00 alle 18:00).

2. L'altezza esatta di $80$ studenti raggruppata negli intervalli $[140, 150)$, $[150, 160)$, $[160, 170)$, $[170, 180)$ e $[180, 190]$ (in centimetri).

3. Il numero di fratelli ($0$, $1$, $2$, $3$ o più) di un campione di $50$ famiglie.

1. a) Per ciascuna delle tre situazioni, determina quale delle seguenti opzioni è la più adatta: diagramma a barre separate, istogramma a barre contigue o grafico a linee temporale.
2. b) Giustifica ogni scelta in base al fatto che la variabile sia quantitativa discreta, continua raggruppata in intervalli o descriva un'evoluzione nel tempo.
3. c) Se nella situazione 2 disegnassi barre separate con spazi tra di esse invece di un istogramma, quale falso messaggio trasmetteresti sui valori intermedi dell'altezza?

In uno studio sull'uso dei social network, in una scuola con $480$ studenti adolescenti è stato chiesto a $40$ di loro, scelti a caso, quale sia la loro piattaforma preferita. I risultati ottenuti sono i seguenti:

• TikTok: $18$ persone.

• Instagram: $12$ persone.

• YouTube: $6$ persone.

• BeReal: $4$ persone.

1. a) Individua la popolazione, il campione e il tipo di variabile statistica.

1. b) Costruisci una tabella delle frequenze che comprenda la frequenza assoluta ($n_i$), la frequenza relativa ($f_i$) e la percentuale ($\%$) di ciascun valore.

1. c) Rappresenta i dati con un diagramma a barre.

È stato registrato il numero di libri letti dagli alunni di una classe seconda media durante il primo trimestre. I dati sono:

$1, 2, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 1, 0, 5, 2, 1, 2, 1$.

1. a) Costruisci la tabella delle frequenze assolute e delle frequenze assolute cumulate ($N_i$).
2. b) Quale percentuale di alunni ha letto $2$ libri o meno?
3. c) Rappresenta un poligono di frequenza sul diagramma a barre delle frequenze assolute.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda di videogiochi vuole rappresentare in un diagramma a torta il tipo di console preferito dagli utenti di una fiera del "gaming". I dati sono:

• PlayStation: $45\%$

• Nintendo Switch: $30\%$

• Xbox: $15\%$

• PC: $10\%$

1. a) Calcola i gradi corrispondenti a ciascun settore circolare usando una proporzione o la formula dell'ampiezza: $\alpha = \frac{360^\circ \cdot n_i}{N}$.
2. b) Disegna in modo approssimato il diagramma a torta usando gli angoli calcolati.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È stata misurata l'altezza (in cm) dei $20$ componenti di un club di pallacanestro giovanile. Trattandosi di una variabile continua, i dati sono stati raggruppati nei seguenti intervalli:

$[160, 165), [165, 170), [170, 175), [175, 180), [180, 185]$.

Le frequenze assolute sono: $2, 5, 8, 3, 2$, rispettivamente.

1. a) Indica i valori centrali ($x_i$) di ciascun intervallo.
2. b) Rappresenta i dati in un istogramma. Spiega in che cosa si differenzia questo grafico da un normale diagramma a barre.
3. c) Qual è la classe modale?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il comune di una località vuole sensibilizzare sul riciclaggio. A tal fine ha pubblicato un pictogramma sul numero di contenitori per il riciclaggio installati in quattro quartieri diversi.

Se ogni simbolo ♻️ equivale a $12$ contenitori:

• Quartiere A: ♻️♻️♻️♻️

• Quartiere B: ♻️♻️♻️

• Quartiere C: ♻️♻️♻️♻️♻️

• Quartiere D: ♻️♻️

1. a) Costruisci la tabella delle frequenze assolute per il numero di contenitori in ciascun quartiere.
2. b) Qual è il totale dei contenitori installati nella località?
3. c) Rappresenta gli stessi dati con un diagramma a barre per confrontare i due metodi di visualizzazione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Osserva i seguenti due grafici che mostrano l'andamento della temperatura media di una città durante una mattina di primavera. Entrambi rappresentano gli stessi dati, ma sono stati disegnati con scale diverse sull'asse verticale.

1. a) Spiega perché il Grafico B dà una sensazione di crescita molto più rapida del Grafico A se i dati sono identici.
2. b) Quale dei due grafici ti sembra più oggettivo per informare la popolazione? Motiva la risposta basandoti sulla scala dell'asse delle ordinate.

Un climogramma è un grafico che combina un diagramma a barre (precipitazioni) e un diagramma a linee (temperature). Osserva i dati semplificati di un trimestre in una città del sud Italia:

• Gennaio: $10^\circ C$, $60\text{ mm}$

• Febbraio: $12^\circ C$, $45\text{ mm}$

• Marzo: $15^\circ C$, $30\text{ mm}$

1. a) Disegna il climogramma collocando i mesi sull'asse $X$, le precipitazioni sull'asse $Y$ sinistro (barre) e le temperature sull'asse $Y$ destro (linea).
2. b) Analizzando il grafico, quale tendenza osservi nel passaggio dall'inverno alla primavera?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È stata svolta un'indagine su $120$ persone sulla loro attività fisica settimanale. I risultati sono presentati in questa tabella incompleta:

1. a) Completa tutti gli spazi vuoti della tabella sapendo che il totale degli individui ($N$) è $120$.
2. b) Rappresenta i dati in un diagramma a torta.
3. c) Indica qual è la moda di questo studio.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Stima e verifica. In una scuola di Torino sono stati intervistati $120$ studenti di seconda media sulle ore settimanali dedicate all'attività fisica, ottenendo la seguente distribuzione raggruppata: $[0, 2)$ h: $18$ alunni; $[2, 4)$ h: $42$ alunni; $[4, 6)$ h: $39$ alunni; $[6, 8]$ h: $21$ alunni. Si vuole costruire un diagramma a torta da esporre in bacheca.

1. a) Stima: Senza applicare la formula né usare la calcolatrice, osserva con attenzione la frequenza dell'intervallo $[2, 4)$ ($42$ alunni su $120$). Ragiona se il suo settore occuperà più o meno di un terzo della circonferenza ($120^\circ$) e se l'angolo risultante sarà acuto, retto o ottuso. Scrivi una stima numerica approssimata dell'angolo in gradi giustificando la tua deduzione.
2. b) Calcola: Trova la frequenza relativa ($h_i$) di tale intervallo $[2, 4)$ e calcola con precisione il suo angolo al centro applicando la formula $\text{Angolo} = h_i \cdot 360^\circ$.
3. c) Verifica: Confronta il valore esatto ottenuto con la tua stima iniziale. La tua approssimazione era ragionevole? A che cosa pensi sia dovuta la differenza, se c'è stata?
4. d) Calcola l'angolo al centro corrispondente all'intervallo $[0, 2)$ e verifica se la somma dei quattro angoli dello studio completerebbe esattamente il cerchio di $360^\circ$.

Modellizza. Una cooperativa olearia della Puglia ha pubblicato nel suo bollettino mensile un pictogramma con la produzione di olio imbottigliato durante le quattro settimane di dicembre. La legenda del pictogramma stabilisce che l'icona di una damigiana intera rappresenta $4000\text{ litri}$. Nel grafico compaiono i seguenti simboli:

• Settimana 1: $3$ damigiane intere.

• Settimana 2: $5$ damigiane intere e una damigiana tagliata esattamente a metà.

• Settimana 3: $4$ damigiane intere e una damigiana di cui sono stati disegnati solo tre quarti.

• Settimana 4: $2$ damigiane intere e un quarto di damigiana.

1. a) Traduci l'informazione del pictogramma in litri reali: calcola la quantità di olio imbottigliato prodotta in ciascuna delle quattro settimane e il totale del mese.
2. b) La cooperativa vuole sostituire il pictogramma con un diagramma a barre nella sua relazione tecnica ufficiale per evitare dubbi dovuti ai disegni spezzati. Descrivi in dettaglio come deve essere costruito tale diagramma (quale variabile andrà su ciascun asse, se le barre devono essere unite o separate e quale scala verticale in litri suggerisci perché la lettura sia chiara).
3. c) Se nella Settimana 2 l'illustratore avesse disegnato per distrazione la damigiana spezzata come un terzo invece che mezza damigiana, quanti litri di differenza sarebbero stati comunicati erroneamente al pubblico?

Un club di e-sports ha realizzato uno studio sulle ore settimanali che i suoi $120$ soci dedicano all'allenamento. Disponiamo dei seguenti dati parziali della tabella di frequenze, in cui i dati sono stati raggruppati in classi della stessa ampiezza:

Completa la tabella di frequenze e rappresenta i dati utilizzando un istogramma e un poligono di frequenze sovrapposto. Indica quale percentuale di soci si allena $10$ ore o più a settimana.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda di telefonia analizza la durata delle batterie di due modelli di smartphone, A e B, dopo un anno di utilizzo. I risultati sono presentati nel seguente diagramma a scatola e baffi (box-plot). Osserva il grafico e rispondi:

1. a) Qual è la mediana della durata per ciascun modello?
2. b) Se un utente ha bisogno che la batteria duri almeno $18$ ore, quale modello ha una maggiore proporzione di dispositivi che soddisfano questo requisito? Giustifica la risposta usando i quartili.
3. c) Quale dei due modelli presenta una distribuzione più dispersa nel $50\%$ centrale dei dati?

Un influencer vuole mostrare la crescita dei suoi follower su due social network diversi nell'ultimo semestre. A tal fine presenta i seguenti grafici.

1. a) Spiega perché il grafico del Social Y può risultare ingannevole per i suoi sponsor se non si presta attenzione all'asse delle ordinate.
2. b) Sapendo che sul Social X è partito da $10.000$ follower ed è arrivato a $12.000$, e sul Social Y è partito da $50.000$ ed è arrivato a $51.000$, disegna un unico diagramma a linee comparativo utilizzando una scala adeguata che permetta di confrontare la crescita reale dei due account.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il comune di una località ha raccolto dati sul riciclo dei rifiuti organici domestici di $200$ famiglie. Il seguente diagramma a torta mostra la distribuzione, ma sono stati cancellati i dati delle famiglie che riciclano "Molto".

• Niente ($0$ kg/mese): $15\%$

• Poco ($1-5$ kg/mese): $72^\circ$ (ampiezza del settore)

• Mediamente ($6-10$ kg/mese): $90$ famiglie

• Molto ($>10$ kg/mese): $?$

1. a) Calcola il numero di famiglie che appartengono a ciascuna categoria.
2. b) Calcola l'ampiezza in gradi del settore corrispondente alle famiglie che riciclano "Molto".
3. c) Elabora una tabella di frequenze assolute e relative con tutti i dati.

In uno studio sull'uso della biblioteca scolastica, è stato registrato il numero di libri presi in prestito da un campione di alunni di seconda media durante un trimestre. I risultati sono mostrati nel seguente diagramma a barre delle frequenze cumulate ($N_i$):

1. a) Quanti alunni formano il campione?
2. b) Costruisci la tabella delle frequenze assolute ($n_i$) a partire da quelle cumulate.
3. c) Qual è la moda e la mediana del numero di libri presi in prestito?
4. d) Rappresenta i dati con un diagramma a torta.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

È stata svolta un'indagine su $400$ adolescenti riguardo alla loro attività preferita per il fine settimana, distinguendo tra ragazzi e ragazze. I dati sono riportati nella seguente tabella a doppia entrata, ma mancano alcuni valori:

1. a) Completa tutti i valori mancanti nella tabella.
2. b) Rappresenta i dati con un istogramma a barre raggruppate (una barra per i ragazzi e una per le ragazze per ogni attività).
3. c) Quale percentuale delle ragazze preferisce lo sport? È maggiore o minore della percentuale dei ragazzi che preferisce lo sport?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il tempo di reazione (in secondi) di un gruppo di atleti al segnale di partenza è stato rappresentato nel seguente istogramma. Gli intervalli sono della forma $[a, b)$.

1. a) Calcola il numero totale di atleti che hanno partecipato alla prova sapendo che nell'intervallo $[0,15, 0,20)$ c'erano $12$ atleti.
2. b) Calcola il valore centrale di ciascun intervallo.
3. c) Stima la media aritmetica dei tempi di reazione a partire dai dati dell'istogramma.
4. d) Quale percentuale di atleti ha un tempo di reazione inferiore a $0,20$ secondi?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una ONG ha svolto un'indagine sul numero di figli in $50$ famiglie di un quartiere. I risultati sono andati persi, ma abbiamo conservato l'pictogramma, in cui ogni simbolo di casa rappresenta $4$ famiglie. Nel quartiere nessuna famiglia ha più di $3$ figli.

• $0$ figli: 🏠 🏠 🏠

• $1$ figlio: 🏠 🏠 🏠 🏠 🏠

• $2$ figli: 🏠 🏠 🏠 🏠

• $3$ figli: $?$

1. a) Sapendo che il totale delle famiglie è $50$, quante famiglie hanno $3$ figli? Come rappresenteresti questa quantità nel pictogramma?

1. b) Calcola la media, la mediana e la moda della distribuzione.

1. c) Se si sceglie una famiglia a caso, qual è la probabilità che abbia meno di $2$ figli? Rappresenta questa situazione con un diagramma a torta.

Modellizza e analizza le scale. Una compagnia elettrica ha inviato ai suoi utenti di Bologna un opuscolo in cui mostra il consumo medio mensile (in $\text{kWh}$) di una famiglia durante l'ultimo quadrimestre dell'anno: Settembre: $320\text{ kWh}$; Ottobre: $310\text{ kWh}$; Novembre: $295\text{ kWh}$; Dicembre: $280\text{ kWh}$.

Per illustrare il calo dei consumi, l'azienda realizza due grafici a barre con le stesse dimensioni esterne ma con assi verticali diversi:

• Grafico A: L'asse verticale è troncato; parte da $270\text{ kWh}$ e termina a $330\text{ kWh}$.

• Grafico B: L'asse verticale è completo; parte rigorosamente da $0\text{ kWh}$ e termina a $350\text{ kWh}$.

1. a) Calcola l'altezza visiva (misurata dalla linea di base dell'asse orizzontale) della barra di Settembre e di quella di Dicembre nel Grafico A (dove la base indica $270$) e nel Grafico B (dove la base indica $0$).
2. b) Nel Grafico A, quante volte sembra più alta la barra di Settembre rispetto a quella di Dicembre? Calcola poi il rapporto matematico reale tra i due consumi ($\frac{320}{280}$) e confrontalo con l'impatto visivo del grafico troncato.
3. c) Modellizza la riduzione percentuale reale avvenuta tra Settembre e Dicembre. Quindi redigi una breve relazione critica spiegando perché il Grafico A manipola la percezione dell'utente e quali conclusioni errate favorisce in chi non legge i numeri dell'asse verticale.

Problema inverso. Nel pronto soccorso di un ospedale del Piemonte è stato registrato il tempo di attesa (in minuti) di $120$ pazienti assistiti durante una giornata. I dati sono stati raggruppati in quattro intervalli della stessa ampiezza: $[0, 15)$, $[15, 30)$, $[30, 45)$ e $[45, 60]$. I dati originali della tabella sono andati smarriti, ma disponiamo dei seguenti indizi ricavati dai grafici che erano stati realizzati:

1. Nel diagramma a torta, l'angolo al centro corrispondente all'intervallo $[0, 15)$ misura esattamente $54^\circ$.

2. Nell'istogramma, l'altezza della barra dell'intervallo $[15, 30)$ è esattamente il triplo dell'altezza della barra dell'intervallo $[45, 60]$.

3. Il $70\,\%$ dei pazienti ha atteso meno di $30$ minuti in totale.

1. a) Deduci passo dopo passo la frequenza assoluta ($n_i$) di ciascuno dei quattro intervalli di tempo di attesa.
2. b) Determina l'angolo al centro in gradi che corrisponderà a ciascun intervallo nel diagramma a torta per poterlo ricostruire con esattezza.
3. c) Giustifica perché nella rappresentazione grafica di questi dati continui le barre devono essere disegnate contigue (a contatto una con l'altra) e che cosa rappresenta la base di ciascun rettangolo sull'asse orizzontale.