Esercizi: Concetto

In un laboratorio di biologia, un alunno sta misurando lo spessore di diverse foglie di piante. Scrivi in cifre i seguenti numeri decimali ottenuti nelle sue misurazioni:

1. a) Dodici unità e otto decimi.
2. b) Sette unità e venticinque centesimi.
3. c) Zero unità e centoquattro millesimi.
4. d) Cinque unità e nove decimillesimi.

Classifica i seguenti numeri decimali indicando se sono finiti, periodici semplici o periodici misti:

1. a) $4,25$
2. b) $7,\widehat{3}$
3. c) $1,02\widehat{5}$
4. d) $12,444...$
5. e) $0,123$
6. f) $5,6\widehat{12}$

Alle Olimpiadi i tempi del nuoto sono misurati con grande precisione. Un nuotatore ha impiegato $48,052$ secondi per completare una gara. Indica quale posto occupa ogni cifra in questo numero:

• Il $4$ occupa il posto delle:

• Il $8$ occupa il posto delle:

• Il $0$ occupa il posto delle:

• Il $5$ occupa il posto delle:

• Il $2$ occupa il posto delle:

Osserva la seguente griglia che rappresenta l'unità divisa in cento parti uguali. Indica quale numero decimale rappresenta la parte colorata in arancione e come si legge tale numero.

Individua quali numeri decimali sono rappresentati dalle lettere $A$, $B$ e $C$ nella seguente retta numerica:

Tre fratelli misurano la loro altezza. Lucia è alta $1,54$ metri e Marco è alto $1,55$ metri. Trova un numero decimale compreso tra l'altezza di Lucia e quella di Marco.

Ordina i seguenti numeri decimali dal minore al maggiore:

Marco sta ordinando dei numeri per una verifica e afferma quanto segue: «Il numero $0,19$ è maggiore di $0,8$ perché $19$ è un numero molto più grande di $8$. Inoltre, $0,8$ e $0,80$ rappresentano quantità diverse perché il secondo ha più cifre decimali». a) Trova i due errori di ragionamento commessi da Marco e spiega, usando il valore posizionale delle cifre (decimi e centesimi), perché le sue affermazioni sono errate. b) Scrivi il confronto corretto tra $0,19$ e $0,8$ usando il simbolo adeguato ($>$ o $<$) dopo aver uguagliato il numero delle cifre decimali.

Ti viene chiesto di costruire quattro numeri decimali diversi compresi strettamente tra $3,4$ e $3,5$ (cioè maggiori di $3,4$ e minori di $3,5$). Ciascuno deve soddisfare una delle seguenti condizioni: a) Un numero decimale finito con esattamente tre cifre decimali. b) Un numero decimale periodico semplice (ricorda che il periodo deve iniziare subito dopo la virgola). c) Un numero decimale periodico misto (con antiperiodo e periodo). d) Un numero irrazionale. Per quest'ultimo, scrivi le sue prime sette cifre decimali e spiega quale regola o schema hai seguito affinché non si ripeta mai nessun blocco di cifre.

Classifica i seguenti numeri decimali nella tabella allegata (Finito, Periodico semplice, Periodico misto o Irrazionale):

• $3,141592...$ (Numero $\pi$)

• $2,15$

• $7,444...$

• $0,1232323...$

• $\sqrt{2}$

• $5,0616161...$

In un campionato di Formula 1, i tempi di qualifica di quattro piloti per un giro del circuito sono stati i seguenti:

• Pilota A: $1:24,058\text{ s}$

• Pilota B: $1:24,5\text{ s}$

• Pilota C: $1:24,06\text{ s}$

• Pilota D: $1:24,0578\text{ s}$

Ordina i piloti dal più veloce al più lento usando i segni $>$ o $<$ a seconda dei casi.

Disegna una retta numerica sul quaderno e rappresenta i seguenti numeri decimali. Per i numeri negativi usa un colore diverso da quello dei positivi.

$A = 0,4$

$B = -0,25$

$C = 0,85$

$D = -0,7$

Ti può aiutare prendere la retta da $-1$ a $1$, con lo $0$ al centro, e dividere ogni unità in 20 parti uguali, in modo che ogni tacca valga $0,05$. Per esempio, se ogni unità occupa 10 cm di quaderno, ogni tacca sarà distante 0,5 cm. Scrivi accanto a ogni punto la sua lettera e il suo valore.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Senza eseguire la divisione dei termini, indica che tipo di numero decimale genererà ciascuna delle seguenti frazioni (finito o periodico). Giustifica la risposta analizzando i fattori primi del denominatore:

1. a) $\dfrac{7}{40}$
2. b) $\dfrac{5}{12}$
3. c) $\dfrac{11}{21}$
4. d) $\dfrac{3}{250}$

Osserva la figura seguente, in cui un quadrato di area $1\text{ u}^2$ è stato diviso in sezioni.

1. a) Esprimi in forma decimale la parte colorata in arancione.
2. b) Esprimi in forma decimale la parte che resta bianca.
3. c) Che tipo di numeri decimali hai ottenuto (finiti o periodici)?

L'Agenzia Meteorologica ha registrato le precipitazioni cumulate in litri per metro quadrato ($\text{l/m}^2$) durante una giornata di temporali in quattro stazioni della Sardegna: Stazione A: $24,\widehat{7}\text{ l/m}^2$; Stazione B: $24,75\text{ l/m}^2$; Stazione C: $24,7\widehat{5}\text{ l/m}^2$; Stazione D: $24,\widehat{75}\text{ l/m}^2$. a) Scrivi lo sviluppo di ciascuna delle quattro misure con almeno quattro cifre decimali e ordinale dalla maggiore alla minore precipitazione usando il simbolo $>$. b) Per verificare i sensori, il team tecnico deve inserire un valore di prova che sia un numero decimale finito e che si trovi strettamente tra le due misure più piovose dell'elenco. Proponi un numero che soddisfi questo requisito e giustifica perché appartiene a tale intervallo.

Vogliamo collocare sulla retta numerica il numero irrazionale $\sqrt{7}$, il cui valore esatto ha infinite cifre decimali non periodiche. a) Senza usare la calcolatrice, stima tra quali due numeri interi consecutivi si trova $\sqrt{7}$ a partire dai quadrati perfetti più vicini. Poi stima, motivando, tra quali due decimi consecutivi ($2,5$ e $2,6$, oppure $2,6$ e $2,7$, ecc.) deve trovarsi, verificando a mano il quadrato di tali decimi. b) Sapendo che il valore approssimato di questo numero è $\sqrt{7} = 2,645751...$, verifica se la tua stima per decimi era corretta. c) Basandoti sulla proprietà di densità dei decimali, proponi un numero decimale finito e un numero decimale periodico misto compresi tra $2,64$ e $\sqrt{7}$.

Ordina dal minore al maggiore i seguenti numeri decimali, giustificando la tua risposta mediante lo sviluppo di almeno quattro delle loro cifre decimali:

• $A = 2,3\hat{5}$

• $B = 2,\widehat{35}$

• $C = 2,35$

• $D = 2,35\hat{3}$

• $E = 2,355$

• $F = 2,353$

Una volta ordinati, trova un numero decimale finito e un numero decimale periodico semplice che siano compresi tra i due valori centrali della tua lista.

In un laboratorio di biologia, è stata misurata la dimensione di un microrganismo ottenendo un valore di $0,04586$ mm. Per un errore del software, il microscopio mostra questo valore approssimato in due modi diversi:

• Approssimazione X: troncato ai millesimi.

• Approssimazione Y: arrotondato ai millesimi.

Calcola l'errore relativo commesso in ciascuna delle due approssimazioni. Quale delle due stime è più precisa per lo studio scientifico? Giustifica la tua risposta confrontando gli errori ottenuti.

Inserisci tre numeri razionali (sotto forma di frazione) tra i numeri decimali $0,\hat{7}$ e $0,7\hat{8}$.

Per risolverlo, segui questi passi:

1. Ottieni le frazioni generatrici di entrambi i numeri.

2. Riduci tali frazioni a denominatore comune.

3. Trova tre frazioni comprese tra di esse e verifica che le loro espressioni decimali soddisfino la condizione richiesta.

Rappresenta approssimativamente sulla retta numerica i seguenti numeri e determina esattamente quale di essi è il maggiore:

• $X = 1,4\hat{6}$

• $Y = \sqrt{2}$ (usa l'approssimazione $1,4142...$)

• $Z = \frac{11}{7}$

Poiché $\sqrt{2}$ è un numero irrazionale, non ha frazione generatrice. Perciò:

• Per $X$, calcola la sua frazione generatrice e confrontala con $Z$ (ad esempio, riducendole a denominatore comune).

• Per $Y$, usa la sua approssimazione decimale e confrontala con gli altri due.

Giustifica la posizione di ciascun numero sulla retta eseguendo le divisioni necessarie con almeno tre cifre decimali. Usa la retta della figura, dove ogni piccola tacca vale $0,01$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Quattro velociste hanno registrato tempi in secondi con sviluppi decimali molto simili: $A = 12,\widehat{34}\text{ s}$, $B = 12,3\widehat{4}\text{ s}$, $C = 12,3434\text{ s}$ e $D = 12,\widehat{343}\text{ s}$. Per ordinarli dal tempo minore al maggiore, due giudici del campionato propongono strade diverse: il Giudice 1 propone: «Arrotondiamo tutti i tempi ai centesimi; così sarà più rapido e semplice ordinarli». Il Giudice 2 propone: «Sviluppiamo ogni numero fino alla quinta cifra decimale e confrontiamo colonna per colonna da sinistra a destra». a) Applica la proposta del Giudice 1. È possibile risolvere i pareggi e classificare le quattro atlete con il suo metodo? Spiega dettagliatamente cosa succede e perché questo procedimento fallisce in questo caso. b) Applica la proposta del Giudice 2, scrivi lo sviluppo con cinque cifre decimali di ogni tempo e ordina le atlete dal minore al maggiore utilizzando il simbolo $<$. Giustifica perché cinque cifre bastano in questo caso e perché, in generale, confrontare cifra per cifra fino alla prima cifra diversa non fallisce mai. c) Se una quinta atleta registra un tempo irrazionale le cui prime cifre sono $12,343443444...\text{ s}$, tra quali due atlete della lista precedente si classificherebbe? Giustificalo confrontando la cifra decimale esatta in cui si distingue dalle sue vicine.

Durante un dibattito in classe sulla proprietà di densità dei numeri decimali, Alberto afferma: «Tra $0,\widehat{2}$ e $0,23$ non c'è nessun altro numero decimale perché, scrivendo $0,\widehat{2} = 0,222...$, dopo il $2$ nei centesimi può venire solo il $3$, quindi non resta nessuno spazio in mezzo». a) Dimostra che il ragionamento di Alberto è falso: spiega come il sistema di numerazione decimale garantisce l'esistenza di infiniti valori intermedi e trova tre numeri di tipo diverso (uno decimale finito, uno periodico semplice e uno periodico misto) che siano strettamente compresi tra $0,\widehat{2}$ e $0,23$. b) Costruisci un numero irrazionale compreso nello stesso intervallo, mostrando le sue prime otto cifre decimali. Spiega con precisione la regola di formazione che hai usato per assicurare che le sue cifre non formino mai un periodo che si ripete e che non possa essere espresso come frazione.