Esercizi: Concetto

Osserva la figura seguente, che rappresenta una tavoletta di cioccolato. Quale frazione della tavoletta rimane se abbiamo mangiato i quadratini colorati in arancione? Indica quali sono il numeratore e il denominatore.

Scrivi con le cifre le seguenti frazioni e classificale in proprie o improprie:

1. a) Tre ottavi.
2. b) Sette mezzi.
3. c) Undici undicesimi.
4. d) Quattro noni.

In una squadra di pallacanestro ci sono $12$ giocatori. Se $5$ di loro sono alti più di $1,80$ metri, scrivi la frazione che rappresenta i giocatori che sono alti meno o esattamente quell'altezza.

Rappresenta graficamente sul quaderno le seguenti frazioni utilizzando rettangoli o cerchi:

1. a) $\dfrac{2}{5}$

1. b) $\dfrac{5}{4}$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Calcola il valore numerico di queste frazioni (come numero intero o decimale):

1. a) $\dfrac{15}{3}$

1. b) $\dfrac{1}{4}$

1. c) $\dfrac{18}{2}$

1. d) $\dfrac{3}{10}$

Collega ogni frazione impropria al corrispondente numero misto:

Quale frazione di un'ora rappresentano i seguenti intervalli di tempo? (Esprimi la frazione nella forma più semplice che conosci).

1. a) $30$ minuti.
2. b) $15$ minuti.
3. c) $20$ minuti.
4. d) $10$ minuti.

Alla mensa scolastica si devono distribuire in parti uguali $3$ torte salate identiche tra $4$ commensali. Mentre organizza la distribuzione, Luca afferma: «A ciascuno di noi spettano $\frac{4}{3}$ di torta salata, perché siamo $4$ persone e abbiamo $3$ torte salate».\na) Individua l'errore concettuale che commette Luca nell'assegnare i numeri al numeratore e al denominatore, e spiega che cosa rappresenta ciascuno di questi termini nella frazione.\nb) Classifica la frazione proposta da Luca ($\frac{4}{3}$) come propria o impropria. In base a questa classificazione, giustifica perché la sua affermazione è impossibile in pratica se dispongono solo di $3$ torte salate.\nc) Scrivi la frazione corretta che spetta a ciascun commensale e calcola il suo valore decimale esatto per verificare quanta torta salata mangia ciascuno.

In una scuola sportiva comunale di atletica si sa che $\frac{3}{5}$ degli iscritti sono ragazze. Il registro della segreteria conferma che ci sono esattamente $27$ ragazze iscritte.\na) Partendo da questi dati, deduci quante persone sono iscritte in totale alla scuola sportiva. Spiega in dettaglio il ragionamento che segui: quale quantità rappresenta $\frac{1}{5}$ del totale e come si ottiene il totale completo ($\frac{5}{5}$).\nb) Quale frazione del totale rappresentano i ragazzi iscritti e quanti sono?\nc) Se una persona affermasse che nella stessa scuola ci sono $20$ ragazze iscritte mantenendo esattamente la frazione $\frac{3}{5}$, spiega perché tale situazione sarebbe numericamente impossibile nella realtà.

Su una piattaforma di giochi digitali, Lucia ha risparmiato $180$ token. Decide di spenderne $\frac{4}{9}$ per una nuova skin per il suo personaggio e $\frac{2}{5}$ di quello che le resta per potenziare il suo equipaggiamento difensivo. Quanti token ha speso in totale e quanti le avanzano alla fine?

Osserva la figura seguente e determina quale frazione dell'area totale del rettangolo rappresenta la zona colorata in arancione. Tieni conto che, per risolvere il problema, dovrai immaginare una suddivisione della figura in parti uguali.

Un gruppo di amici ha comprato alcune bottiglie di bibita per una festa. Ogni bottiglia ha una capacità di $\frac{1}{4}$ di litro. Se hanno consumato un totale di $19$ bottiglie, esprimi questa quantità mediante una frazione impropria e mediante un numero misto. Quanti litri interi hanno bevuto?

Rappresenta sulla stessa retta numerica i seguenti numeri razionali. Per farlo, disegna la retta sul quaderno e utilizza una scala adeguata (per esempio, che ogni unità misuri $4$ cm, in modo che ogni quarto di unità misuri $1$ cm):

1. a) $A = \frac{3}{4}$

1. b) $B = -\frac{1}{2}$

1. c) $C = \frac{9}{4}$

1. d) $D = -1,25$

Tre studenti stanno scaricando lo stesso videogioco sui loro computer contemporaneamente. Dopo un'ora, le loro barre di avanzamento indicano quanto segue:

• Computer A: Ha scaricato $\frac{5}{8}$ del totale.

• Computer B: Ha scaricato $\frac{11}{16}$ del totale.

• Computer C: Ha scaricato $\frac{3}{4}$ del totale.

Ordina i tre computer dalla minore alla maggiore quantità di gioco scaricata utilizzando il simbolo $<$ e riducendo prima le frazioni a denominatore comune.

Per preparare una ricetta di biscotti per $6$ persone servono $\frac{3}{4}$ di kg di farina. Se vogliamo adattare la ricetta per invitare $15$ persone:

1. a) Quale frazione di chilo di farina ci servirà?
2. b) Questa frazione è maggiore o minore dell'unità? Giustifica se si tratta di una frazione propria o impropria.

Stabilisci se le seguenti coppie di frazioni sono equivalenti utilizzando il metodo dei prodotti incrociati:

1. a) $\frac{12}{15}$ e $\frac{4}{5}$

1. b) $\frac{7}{3}$ e $\frac{21}{6}$

1. c) $\frac{10}{25}$ e $\frac{6}{15}$

Nel caso in cui non siano equivalenti, indica quale delle due frazioni è maggiore.

Scrivi una frazione che soddisfi contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

1. Il suo denominatore è il numero primo più vicino a $10$.

2. È una frazione impropria.

3. Il numeratore è un multiplo di $4$ compreso tra $13$ e $22$.

Esiste più di una soluzione? Trovale tutte ed esprimile in forma di numero misto.

Una tappa di montagna del Giro d'Italia ha un percorso totale di $176\text{ km}$. La telecronaca informa che i ciclisti in testa hanno già completato $\frac{5}{8}$ dell'itinerario previsto.\na) Senza ancora eseguire la divisione esatta, stima se hanno superato o no la metà della tappa ($88\text{ km}$) confrontando la frazione $\frac{5}{8}$ con $\frac{1}{2}$. Giustifica la tua conclusione.\nb) Stima in modo ragionato tra quali due decine di chilometri consecutive ($100$ e $110\text{ km}$, $110$ e $120\text{ km}$, ecc.) deve trovarsi la distanza percorsa.\nc) Calcola il valore esatto dei chilometri percorsi applicando la frazione come operatore sulla distanza totale.\nd) Verifica se la tua stima precedente era corretta e calcola quanti chilometri mancano per tagliare il traguardo, esprimendo la distanza rimanente come frazione ridotta ai minimi termini del totale.

Per organizzare una gita scolastica, il corpo docente deve calcolare i $\frac{2}{5}$ dei $135$ studenti di prima media iscritti alla scuola, che viaggeranno nel primo turno di autobus.\nDue studenti della classe propongono strategie diverse per calcolare questa cifra:\n- Lucia dice: «Prima divido $135$ per $5$ per calcolare quanto vale un quinto del totale e poi moltiplico quel risultato per $2$».\n- Marco dice: «Prima moltiplico $135$ per $2$ e poi divido il numero ottenuto per $5$».\na) Sviluppa entrambi i metodi passo dopo passo e verifica se portano allo stesso risultato.\nb) Nel metodo di Lucia, quale significato concreto ha il risultato intermedio ottenuto dopo la prima operazione ($135 : 5$)?\nc) Supponi ora di dover calcolare i $\frac{2}{5}$ di un budget avanzato di $19\text{ \euro}$. Se applichi il metodo di Lucia ottieni un numero decimale al primo passo ($19 : 5 = 3,8$), mentre con quello di Marco il primo passo dà un numero intero ($19 \cdot 2 = 38$). Quale dei due metodi sceglieresti in questo secondo caso per fare il calcolo a mente in modo più comodo e perché?

Marina ha deciso di organizzare il suo tempo di studio settimanale così: dedica $\frac{2}{5}$ del tempo totale alla matematica. Del tempo restante, usa $\frac{1}{3}$ per l'italiano. Se le restano ancora $8$ ore settimanali per le altre materie, qual è il tempo totale, in ore, che dedica allo studio ogni settimana? Rappresenta con uno schema a barre quale frazione del totale rappresentano le $8$ ore finali.

Trova una frazione equivalente a $\frac{4}{9}$ tale che la somma del suo numeratore e del suo denominatore sia esattamente $104$. Una volta trovata, stabilisci se tale frazione è propria o impropria e giustifica se il suo valore decimale è maggiore o minore di $0,5$.

Osserva la seguente retta numerica su cui sono stati rappresentati vari punti. Il punto $A$ corrisponde al numero $-1$ e il punto $B$ corrisponde al numero $0$. Se il segmento tra $A$ e $B$ è diviso in $12$ parti uguali, indica quale frazione ridotta ai minimi termini rappresentano i punti contrassegnati con un cerchio arancione. Quale numero misto rappresenterebbe un punto situato $5$ divisioni a sinistra del punto $A$?

Un'associazione benefica ripartisce i $48.000$ € raccolti in una corsa solidale tra tre progetti. Al primo spetta $\frac{3}{8}$ del totale. Al secondo, $\frac{5}{12}$ del totale. Quale frazione del totale spetta al terzo progetto? Quanto denaro riceve ciascuno? Esprimi le tre quantità come frazioni con denominatore comune $24$ per confrontare visivamente quale progetto ha ricevuto di più.

In una gara di robotica, i prototipi devono percorrere un circuito di $60$ metri. Il robot A ha percorso $\frac{7}{10}$ del circuito, il robot B ha percorso $45$ metri e il robot C ha percorso $\frac{3}{4}$ della distanza che mancava al robot A per terminare. Ordina i robot dalla maggiore alla minore distanza percorsa ed esprimi la posizione del robot C come frazione del circuito totale.

Un agricoltore ha un appezzamento quadrato di $10.000$ $m^2$. Decide di dedicare $\frac{1}{4}$ dell'area alla coltivazione di ortaggi. Del resto dell'appezzamento, divide il terreno in $5$ parti uguali per piantare diversi alberi da frutto. Quale frazione del terreno totale rappresenta ciascuna delle parti dedicate agli alberi da frutto? Se ogni albero da frutto richiede $20$ $m^2$ di spazio, quanti alberi potrà piantare in una di quelle cinque parti?

Considera le frazioni $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{4}$.

1. a) Calcola i loro valori decimali.
2. b) Trova una frazione con denominatore $24$ che si trovi esattamente a metà tra le due.
3. c) Questa frazione è maggiore o minore di $\frac{5}{7}$? Giustifica la risposta confrontando i prodotti incrociati.

Immagina un orologio da parete.

1. a) Quale frazione di un giro completo rappresentano i minuti trascorsi tra le 12:15 e le 12:50? Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Se la lancetta dei minuti ha percorso $\frac{5}{6}$ di ora, di quanti gradi è ruotata? (Ricorda che un giro completo è $360^\circ$).
3. c) Se un compito scolastico ti richiede $\frac{3}{10}$ di ora e un altro ti richiede $\frac{1}{4}$ di ora, quale frazione di ora ti resta se hai a disposizione un'ora intera per studiare?

Secondo i dati idrologici ufficiali, un invaso ha una capacità massima di stoccaggio di $240\text{ hm}^3$. Dopo un periodo di siccità, l'invaso contiene soltanto $\frac{3}{10}$ della sua capacità totale. Nel corso di una settimana con abbondanti perturbazioni, i fiumi apportano all'invaso un volume d'acqua pari a $\frac{1}{4}$ della sua capacità massima. Durante la stessa settimana, per soddisfare le esigenze di consumo urbano e di irrigazione, vengono rilasciati $18\text{ hm}^3$.\na) Modella la situazione impostando un'unica espressione aritmetica che combini le frazioni e i dati forniti per determinare il volume finale di acqua immagazzinata.\nb) Calcola quanti $\text{hm}^3$ di acqua contiene l'invaso al termine di quella settimana.\nc) Esprimi il volume finale di acqua come frazione propria ridotta ai minimi termini della capacità totale dell'invaso.\nd) Il protocollo di siccità del bacino stabilisce che un territorio passa a «situazione di normalità» solo se l'invaso supera la metà della sua capacità totale. Giustifica matematicamente se l'invaso ha già raggiunto la situazione di normalità o se rimane al di sotto.

In un'azienda di confezionamento alimentare si devono commercializzare barattoli di legumi cotti a partire da un grande serbatoio. Si considerano due formati di confezione:\n- Il formato standard ha una capacità di $\frac{3}{4}\text{ kg}$.\n- Il formato famiglia ha una capacità di $1 + \frac{1}{8}\text{ kg}$.\nIl responsabile della produzione osserva che, usando il formato famiglia, servono esattamente $6$ barattoli in meno rispetto al formato standard per confezionare tutto il contenuto del serbatoio.\na) Esprimi la capacità del formato famiglia come frazione impropria e trasforma la capacità del formato standard in una frazione equivalente con denominatore $8$. Quanti ottavi di chilogrammo contiene ciascun formato?\nb) Partendo dalle frazioni ottenute in ottavi, ragiona su quanti barattoli standard servono per confezionare esattamente la stessa quantità di legumi contenuta in $2$ barattoli famiglia.\nc) Deduci quanti barattoli di ciascun tipo servirebbero perché la differenza tra i due formati sia di $6$ barattoli in totale. Spiega chiaramente il tuo ragionamento.\nd) Quanti chilogrammi di legumi c'erano nel serbatoio? Esprimi la quantità come numero misto e come numero decimale esatto.