Esercizi: Radice quadrata

In una radice quadrata, ogni numero ha un nome speciale che indica la sua funzione. Osserva la seguente uguaglianza e individua il nome di ciascuno degli elementi indicati dalle frecce:

$\sqrt{81} = 9$

Calcola mentalmente il valore delle seguenti radici quadrate esatte:

1. a) $\sqrt{16} =$
2. b) $\sqrt{4} =$
3. c) $\sqrt{100} =$
4. d) $\sqrt{49} =$
5. e) $\sqrt{1} =$
6. f) $\sqrt{121} =$

Lucia vuole decorare un biglietto d'auguri quadrato che ha una superficie di $64 \text{ cm}^2$. Per comprare un cordoncino decorativo che circondi tutto il bordo, deve prima sapere quanto misura un lato. Qual è la lunghezza del lato del biglietto?

Non tutte le radici sono esatte. Senza usare la calcolatrice, indica tra quali due numeri interi consecutivi si trovano le seguenti radici quadrate:

1. a) $....... < \sqrt{20} < .......$
2. b) $....... < \sqrt{50} < .......$
3. c) $....... < \sqrt{11} < .......$

Risolvi le seguenti operazioni combinate rispettando la priorità delle operazioni (ricorda di calcolare la radice prima di addizioni e sottrazioni):

1. a) $15 + \sqrt{36} =$
2. b) $2 \cdot \sqrt{25} - 3 =$
3. c) $\sqrt{64} + \sqrt{9} =$
4. d) $20 - \sqrt{81} : 3 =$

Un fotografo vuole organizzare le sue foto su un social network formando un mosaico quadrato. Se ha $144$ foto in tutto, quante foto deve mettere in ogni riga e in ogni colonna perché il mosaico sia un quadrato perfetto?

Copia sul quaderno e usa i segni $>$ (maggiore di), $<$ (minore di) o $=$ (uguale a) per confrontare i seguenti numeri:

1. a) $\sqrt{36} ....... 7$
2. b) $\sqrt{81} ....... 9$
3. c) $5 ....... \sqrt{16}$
4. d) $\sqrt{100} ....... \sqrt{64}$

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false e spiega brevemente perché:

1. a) La radice quadrata di 25 è 5 perché $5 \cdot 2 = 10$.
2. b) Non esiste nessun numero intero che sia la radice quadrata di 30.
3. c) Il numero 0 non ha radice quadrata.
4. d) $\sqrt{144}$ è uguale a 12 perché $12^2 = 144$.

Marco deve calcolare in una verifica la seguente espressione:

Per risolverla, scrive sul foglio:

1. a) Spiega con parole tue quale errore ha commesso Marco e perché la radice quadrata non si può separare in una somma, a differenza di ciò che accade con la moltiplicazione.
2. b) Risolvi correttamente l'espressione rispettando la priorità delle operazioni (operando prima il radicando).
3. c) Confronta i due risultati e spiega se la separazione scorretta fatta da Marco ha dato un risultato maggiore o minore del valore reale.

Vogliamo delimitare la zona di un orto scolastico di forma quadrata la cui superficie è $75\text{ m}^2$. Il lato dell'orto è dato da $\sqrt{75}$.

1. a) Stima: senza eseguire divisioni né usare la calcolatrice, indica tra quali due numeri interi consecutivi deve trovarsi la lunghezza del lato, individuando i due quadrati perfetti più vicini a $75$.
2. b) Calcola la radice intera e il resto di $\sqrt{75}$. Se ogni metro quadrato dell'orto viene diviso in parcelle di $1\text{ m}^2$, che significato concreto hanno la radice intera e il resto?
3. c) Verifica che il tuo risultato sia coerente mediante la relazione $N = r^2 + \text{resto}$ e controlla che il resto ottenuto sia minore del doppio della radice più uno.

Calcola le seguenti radici quadrate esatte giustificando il risultato con una potenza, come nell'esempio:

Esempio: $\sqrt{49} = 7$ perché $7^2 = 49$

1. a) $\sqrt{121}$
2. b) $\sqrt{169}$
3. c) $\sqrt{225}$
4. d) $\sqrt{400}$

Trova la radice quadrata intera e il resto dei seguenti numeri. Indica anche tra quali due numeri naturali consecutivi si trova ciascuna radice.

1. a) $\sqrt{30}$

1. b) $\sqrt{55}$

1. c) $\sqrt{85}$

Applica le proprietà delle radici (radice di un prodotto e radice di un quoziente) per risolvere queste operazioni in modo semplificato:

1. a) $\sqrt{64 \cdot 100}$
2. b) $\sqrt{16 \cdot 25}$
3. c) $\sqrt{\frac{144}{9}}$
4. d) $\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 100}$

Nel cortile della scuola è stato progettato un giardino quadrato con una superficie di $144$ $m^2$. Per proteggere le piante, il bidello vuole mettere una recinzione di legno lungo tutto il bordo. Se ogni metro di recinzione costa $12$ €, quanto costerà recintare l'intero giardino?

Calcola il valore delle seguenti espressioni rispettando la priorità delle operazioni:

1. a) $3^2 + \sqrt{64} - 2 \cdot 3$
2. b) $(\sqrt{100} - 4) : 2 + 5^2$
3. c) $2 \cdot \sqrt{81} - (3^2 - \sqrt{25})$
4. d) $\sqrt{49} \cdot 2 + 10^2 : 4$

Il club di fotografia della scuola vuole esporre $200$ foto su un pannello formando il quadrato più grande possibile.

1. a) Quante foto avrà ogni lato del quadrato?
2. b) Quante foto avanzeranno?
3. c) Quante foto in più servirebbero per completare un quadrato che abbia una foto in più su ogni lato?

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta con un controesempio quando necessario:

1. a) La radice quadrata della somma di due numeri è uguale alla somma delle radici di quei numeri: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
2. b) Non esiste la radice quadrata di un numero negativo.
3. c) Se un numero termina con $2$, non può essere un quadrato perfetto.
4. d) La radice quadrata di un numero è sempre minore del numero stesso.

Marta ha una scacchiera quadrata con $100$ caselle. Suo fratello minore le ha regalato un'altra scacchiera la cui area è un quarto della prima.

1. a) Quante caselle ha la scacchiera piccola?
2. b) Quante caselle ha di lato la scacchiera grande?
3. c) Quante caselle ha di lato la scacchiera piccola? Che relazione c'è tra il lato della grande e quello della piccola?

Una cooperativa di olio d'oliva di Spoleto (Perugia) dispone di $260$ giovani piantine per piantare un appezzamento quadrato con lo stesso numero di ulivi per fila e per colonna.

1. a) Modella la situazione con una radice quadrata: calcola quanti ulivi avrà ogni fila nel quadrato più grande che si può formare e quante piantine avanzeranno.
2. b) Se la cooperativa vuole approfittare dell'ordine e formare un quadrato con una fila e una colonna in più senza che avanzi nessuna piantina, quanti alberi in più dovrebbe comprare?
3. c) Se la distanza regolamentare tra due ulivi consecutivi della stessa fila è $6\text{ metri}$, quanto misurerà la distanza dal primo all'ultimo ulivo di una fila nel quadrato piantato?

Calcolando la radice intera di un numero naturale incognito $N$, si ottiene come radice $r = 11$.

1. a) Scrivi qual è il più piccolo valore possibile del radicando $N$ affinché la sua radice intera resti $11$.
2. b) Immagina di formare un quadrato con gettoni di $11 \times 11$. Ragiona geometricamente su quanti gettoni devi aggiungere come minimo per costruire il quadrato successivo di $12 \times 12$, e verifica che tale quantità equivale a $2 \cdot 11 + 1$.
3. c) Dalla deduzione precedente, determina qual è il massimo resto possibile di una radice intera di valore $11$ e deduci qual è il massimo valore possibile del radicando $N$.

Utilizza le proprietà delle potenze per esprimere il risultato come un'unica potenza di base 2:

Calcola il valore della seguente espressione, rispettando rigorosamente la priorità delle operazioni:

Stiamo progettando un livello per un videogioco su una griglia. Vogliamo costruire una stanza quadrata usando piastrelle speciali. Se utilizziamo tutte le piastrelle che abbiamo, ce ne avanzano $15$, ma se proviamo ad aggiungere una riga e una colonna in più per ingrandire il quadrato, ce ne mancherebbero $16$.

Quante piastrelle abbiamo in totale?

Trova il numero naturale $n$ che soddisfa la seguente uguaglianza:

Motiva la tua risposta utilizzando il concetto di somma di addendi uguali e le proprietà delle potenze.

Un collezionista di carte vuole organizzare il suo album. Sa che se dispone le sue carte formando un quadrato, ne avanzano $8$. Se invece prova a formare un quadrato con un posto in più per lato (un'unità in più di lato), ne mancherebbero $13$.

Calcola il numero di carte che ha il collezionista e il valore della radice quadrata intera di tale numero.

Un virus informatico si diffonde nel modo seguente: ogni minuto, ogni computer che è stato infettato nel minuto precedente contagia altri $3$ computer. Se alle 10:00 del mattino c'è un solo computer infetto (ecco i primi minuti del contagio: al minuto 0 c'è $1$ computer nuovo e $1$ in totale; al minuto 1, $3$ nuovi e $4$ in totale; al minuto 2, $9$ nuovi e $13$ in totale):

1. a) Esprimi come potenza di base 3 quanti computer si infettano di nuovo alle 10:05.

1. b) Quanti computer saranno infetti in totale in quel momento (10:05)? (Ricorda di sommare l'infetto iniziale e quelli dei minuti precedenti).

Trova il numero naturale $A$ sapendo che la sua radice quadrata intera è $25$ e che, se gli sommiamo $20$ unità, diventa un quadrato perfetto esatto.

Un'azienda di spedizioni usa scatole cubiche per i suoi invii. Hanno un contenitore grande, anch'esso cubico, in cui entrano esattamente $216$ scatole piccole.

1. a) Quante scatole piccole ci sono sulla base del contenitore?
2. b) Se decidono di costruire un nuovo contenitore il cui lato misuri il triplo del precedente, quante scatole piccole entreranno in totale nel nuovo contenitore? Esprimi il risultato come potenza.

Per calcolare radici quadrate in cui il radicando è un prodotto, si possono seguire due strade:

• Metodo 1 (Moltiplicare prima): eseguire la moltiplicazione del radicando e poi estrarre la radice quadrata del numero ottenuto.

• Metodo 2 (Separare i fattori): applicare la proprietà $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, calcolando prima ogni radice separatamente e moltiplicando i risultati alla fine.

Analizza le due operazioni seguenti:

Operazione A: $\sqrt{50 \cdot 2}$

Operazione B: $\sqrt{144 \cdot 81}$

1. a) Prova a risolvere l'Operazione A con entrambi i metodi. Spiega perché nel primo anno di scuola media il Metodo 2 risulta problematico per questo caso specifico e perché il Metodo 1 è la scelta migliore.
2. b) Risolvi l'Operazione B con i due metodi indicando i passaggi intermedi. Confronta la difficoltà dei calcoli che hai dovuto fare a mano e giustifica quale dei due metodi è più vantaggioso in questo secondo caso.
3. c) Scrivi una conclusione chiara: in quali condizioni conviene moltiplicare prima e in quali conviene separare le radici?

Un artigiano di Faenza (Ravenna) ha una scatola con piastrelle quadrate identiche per realizzare un mosaico decorativo quadrato.

• Se costruisce il mosaico quadrato più grande possibile con le piastrelle a disposizione, gli avanzano $18$ piastrelle.

• Se volesse ampliare quel mosaico in modo che avesse una fila e una colonna di piastrelle in più, verifica che gliene mancherebbero $15$ per riuscirci.

1. a) Ragiona geometricamente su quante piastrelle in totale bisogna aggiungere a un quadrato di lato $r$ per trasformarlo in uno di lato $r + 1$.
2. b) Partendo dal numero di piastrelle che avanzano e da quelle che mancano, calcola quante piastrelle servono esattamente per passare dal primo mosaico al secondo e deduci il valore della radice intera $r$ (il lato del mosaico originale).
3. c) Determina quante piastrelle ha esattamente l'artigiano nella scatola e verifica la soluzione controllando la radice intera e il resto di quella quantità.

Sfida del tema. Progetta la disposizione di una zona quadrata di studio o di una terrazza sostenibile per la tua casa.

1. Raccolta di dati reali: Misura con un metro a nastro il pavimento di una stanza di casa tua (oppure consulta sull'ISTAT la superficie media di un'abitazione nella tua regione, intorno a $90\text{ m}^2$) e scegli un'area libera $A$ compresa tra $4\text{ m}^2$ e $16\text{ m}^2$.

2. Radice quadrata: Determina la lunghezza del lato dello spazio quadrato equivalente calcolando $\sqrt{A}$. Se non risulta un quadrato perfetto, trova la radice intera con il suo resto e approssima con una cifra decimale.

3. Proprietà delle potenze: Coprirai quel pavimento con piastrelle quadrate. Se ogni blocco decorativo misura $2^2\text{ dm}$ di lato e il fabbricante fornisce confezioni da $2^3$ piastrelle raggruppate in scatole da $2^2$ confezioni, calcola il materiale necessario applicando le proprietà delle potenze (prodotto, quoziente e potenza di una potenza). Organizza e verifica i calcoli in un foglio di calcolo.

4. Prodotto finale: Prepara una breve relazione con la piantina quotata, la giustificazione matematica e l'ordine finale di scatole.

Sarà valutato:

• Rilevazione rigorosa delle misure e calcolo corretto della radice quadrata.

• Applicazione adeguata delle proprietà delle potenze per semplificare le operazioni.

• Presentazione chiara della relazione e uso corretto del foglio di calcolo.