Esercizi: Triangoli

Per decorare la sua camera, Lucia ha ritagliato un gagliardetto di stoffa a forma di triangolo. Misurando i lati, ha visto che misurano $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ e $20\text{ cm}$. Come si classifica questo triangolo in base alla lunghezza dei lati?

In un triangolo conosciamo la misura di due dei suoi angoli interni: $\hat{A} = 45^\circ$ e $\hat{B} = 75^\circ$. Calcola quanto misura il terzo angolo $\hat{C}$ sapendo che la somma degli angoli di qualsiasi triangolo è sempre $180^\circ$.

Marco ha tre aste di legno per costruire una struttura triangolare. Le lunghezze delle aste sono $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ e $4\text{ cm}$. La figura mostra le tre aste disegnate nella stessa scala.

Spiega con un ragionamento se Marco potrà formare un triangolo con esse o se gli sarà impossibile.

Classifica i seguenti triangoli in base alla misura dei loro angoli (acutangolo, rettangolo od ottusangolo):

• Triangolo 1: i suoi angoli misurano $90^\circ$, $40^\circ$ e $50^\circ$.

• Triangolo 2: i suoi angoli misurano $110^\circ$, $30^\circ$ e $40^\circ$.

• Triangolo 3: i suoi angoli misurano $60^\circ$, $60^\circ$ e $60^\circ$.

Un giardino ha la forma di un triangolo equilatero. Se uno dei suoi lati misura $8\text{ metri}$, quanti metri di recinzione ci serviranno per circondarlo completamente? Calcola il suo perimetro.

Un triangolo isoscele ha un angolo diverso che misura $40^\circ$. Se gli altri due angoli sono uguali tra loro, quanto misura ciascuno di questi angoli uguali?

Osserva il segnale stradale di «Dare precedenza». Ha la forma di un triangolo equilatero. Indica quanto deve misurare ciascuno dei suoi angoli interni senza usare il goniometro. Giustifica la risposta basandoti sulle proprietà di questo tipo di poligoni.

In un triangolo rettangolo, i due lati che formano l'angolo di $90^\circ$ misurano $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$. Come si chiamano questi due lati nella terminologia matematica dei triangoli rettangoli? E come si chiama il lato più lungo che sta di fronte all'angolo retto?

Marco vuole costruire la cornice di uno specchio triangolare per la sua camera e ha tagliato tre listelli di legno che misurano $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$. Quando li mostra a sua sorella, afferma: «Siccome i tre listelli hanno lunghezze diverse, potrò formare un triangolo scaleno senza nessun problema».\na) Trova l'errore nell'affermazione di Marco e spiega perché è fisicamente impossibile costruire la cornice con queste misure, applicando la disuguaglianza triangolare.\nb) Se Marco decide di sostituire solo il listello di $10\text{ cm}$ con uno nuovo, qual è la lunghezza intera massima (in centimetri) che può avere il nuovo listello per poter chiudere il triangolo insieme a quelli di $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$?\nc) Se volesse formare un triangolo isoscele riutilizzando i listelli di $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$, indica quali due misure intere diverse potrebbe avere il listello di sostituzione.

Nell'ora di Arte e immagine, Lucia sta progettando una vetrata con pezzi di vetro triangolari. In uno dei pezzi ha misurato con il goniometro due dei suoi angoli interni, che risultano $27^\circ$ e $38^\circ$.\na) Prima di calcolare il valore esatto del terzo angolo, stima con un ragionamento se tale angolo sarà acuto, retto od ottuso (osserva se la somma dei due noti supera o no $90^\circ$). In base alla tua stima, indica che tipo di triangolo ti aspetti di ottenere in base agli angoli.\nb) Calcola il valore esatto del terzo angolo usando la proprietà della somma degli angoli interni di un triangolo e verifica se la tua stima era corretta.\nc) Sapendo che i tre lati di questo pezzo hanno lunghezze diverse, classifica il triangolo in base ai lati.

In un laboratorio di grafica stanno creando un nuovo logo a forma di triangolo. Sappiamo che due dei suoi angoli interni misurano $42^\circ$ e $68^\circ$.

1. a) Calcola quanto misura il terzo angolo del logo.
2. b) Classifica il triangolo in base agli angoli (acutangolo, rettangolo od ottusangolo).
3. c) Classifica il triangolo in base ai lati (equilatero, isoscele o scaleno).

Un falegname ha tre listelli di legno per costruire una cornice triangolare per uno specchio. I listelli misurano $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ e $24\text{ cm}$.

1. a) Spiega, usando la proprietà della somma dei lati di un triangolo, se è possibile costruire la cornice con queste misure.
2. b) Se decide di sostituire il listello di $24\text{ cm}$ con uno di $20\text{ cm}$, potrebbe costruirla ora? Motiva la risposta.

Una tenda da campeggio ha il frontale a forma di triangolo isoscele. La base della tenda misura $2,4\text{ metri}$ e i due lati uguali misurano $2\text{ metri}$ ciascuno.

1. a) Usa il teorema di Pitagora per calcolare l'altezza della tenda.
2. b) Calcola l'area del telo necessario per coprire soltanto il frontale della tenda.

Tre paesi, Altea ($A$), Belmonte ($B$) e Calar ($C$), sono disposti in modo da formare un triangolo scaleno, come mostra la figura. Si vuole installare una torre di telecomunicazioni che si trovi esattamente alla stessa distanza dai tre paesi.

1. a) Quale punto notevole del triangolo rappresenta la posizione della torre?

1. b) Quali rette notevoli hai dovuto tracciare per trovare tale punto? Disegna uno schema approssimativo della situazione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un parco giochi ha una sabbiera a forma di triangolo rettangolo. Sappiamo che il lato più lungo (l'ipotenusa) misura $13\text{ metri}$ e uno dei lati che formano l'angolo retto misura $5\text{ metri}$.

1. a) Calcola la lunghezza dell'altro lato della sabbiera.
2. b) Trova il perimetro totale della sabbiera.
3. c) Calcola la superficie occupata dalla sabbia.

È stato progettato un segnale stradale triangolare che è un triangolo equilatero di lato $60\text{ cm}$.

1. a) Se vogliamo mettere un bordo riflettente intorno al segnale, quanti metri di materiale riflettente ci serviranno?
2. b) Se tracciamo le tre bisettrici del triangolo, come si chiama il punto in cui si incontrano? Quale proprietà speciale ha questo punto rispetto ai lati del segnale?

Osserva la seguente figura composta da due triangoli. Il triangolo $ABC$ è rettangolo in $B$ e il triangolo $ACD$ è isoscele con $\overline{AC} = \overline{AD}$.

Se $\overline{AB} = 8\text{ cm}$ e $\overline{BC} = 6\text{ cm}$, calcola:

1. a) La lunghezza del lato $\overline{AC}$.
2. b) Il perimetro totale della figura colorata $ABCD$ sapendo che $\overline{CD} = 7\text{ cm}$.

In un giardino si vuole mettere una recinzione che delimiti un'aiuola a forma di triangolo isoscele. L'angolo diverso misura $100^\circ$.

1. a) Quanto misura ciascuno degli altri due angoli dell'aiuola?
2. b) Se tracciamo la mediana dal vertice dell'angolo di $100^\circ$ verso il lato opposto, in quali due tipi di triangoli resta divisa l'aiuola? Classificali in base agli angoli.

Un gruppo di grafici deve creare un logo che contenga una figura triangolare rispettando rigorosamente tre condizioni geometriche:\n1. Il triangolo deve essere isoscele e inoltre ottusangolo.\n2. L'angolo ottuso è l'angolo diverso e il suo valore in gradi deve essere un multiplo di $10^\circ$.\n3. Ciascuno dei due angoli uguali deve misurare strettamente più di $25^\circ$.\na) Imposta la relazione matematica tra i tre angoli interni e deduci passo passo tutte le possibili combinazioni di angoli (terne) che soddisfano queste tre condizioni.\nb) Potrebbe esistere una soluzione valida se aggiungessimo la condizione che gli angoli uguali misurino più di $45^\circ$? Giustifica la risposta a partire dalla definizione di triangolo ottusangolo.

Su una carta stradale della Toscana, tre capoluoghi di provincia formano un triangolo: Pisa, Firenze e Siena. Le distanze misurate in linea retta sono approssimativamente:\n- Tra Pisa e Firenze: $48\text{ km}$.\n- Tra Firenze e Siena: $96\text{ km}$.\na) La Regione studia la fattibilità di aprire una strada diretta tra Pisa e Siena. Applicando la disuguaglianza triangolare, calcola tra quali valori minimo e massimo (estremi esclusi) deve trovarsi la distanza in linea retta tra Pisa e Siena affinché il percorso non si riduca a un unico segmento.\nb) Se la distanza reale in linea retta tra Pisa e Siena risultasse di $110\text{ km}$, verifica con il teorema di Pitagora se queste tre città potrebbero formare un triangolo rettangolo con angolo retto a Firenze (dove il tratto Pisa-Siena sarebbe l'ipotenusa).\nc) Se un opuscolo turistico indicasse per errore che la distanza diretta tra Pisa e Siena è di soli $40\text{ km}$, spiega perché questo dato è geometricamente impossibile senza bisogno di misurare sul terreno.

In un laboratorio di progettazione di videogiochi, un programmatore deve creare un personaggio a forma di triangolo isoscele. L'angolo al vertice, diverso dagli altri due, misura il triplo di uno degli angoli alla base, meno $20^\circ$. Calcola la misura dei tre angoli del personaggio affinché il disegno sia geometricamente corretto.

Tre paesi di montagna, Alpedrete, Becerril e Cercedilla, vogliono costruire una torre di telefonia che si trovi esattamente alla stessa distanza da tutti e tre, in modo che abbiano tutti la stessa copertura.

1. a) Come si chiama il punto notevole del triangolo in cui devono collocare la torre?

1. b) Se il triangolo formato dai paesi è ottusangolo, spiega con un ragionamento se la torre si troverà dentro o fuori dall'area delimitata dai tre paesi.

1. c) Disegna uno schema approssimativo della situazione: il triangolo ottusangolo con i tre paesi, le linee che usi per trovare il punto e la posizione della torre.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un architetto sta progettando una rampa per uno skatepark. Ha calcolato che il sostegno principale deve formare un triangolo di lati $x + 2$ metri, $2x - 1$ metri e $10$ metri.

1. Se il triangolo deve essere isoscele, con i lati $x + 2$ e $2x - 1$ uguali, quanto deve valere $x$?

2. Se $x = 3$, è possibile costruire quel triangolo? Giustifica la tua risposta utilizzando la proprietà della somma dei lati di un triangolo.

Nel logo di un nuovo marchio di abbigliamento sportivo compaiono due rettangoli che si incrociano formando vari triangoli. Nel triangolo centrale $ABC$, sappiamo che l'angolo in $A$ misura $45^\circ$ e che l'angolo esterno al vertice $B$ misura $115^\circ$.

1. Calcola i tre angoli interni del triangolo $ABC$.

2. Classifica il triangolo in base ai lati e in base agli angoli.

Un giardino ha la forma di un rettangolo di $12 \times 8$ metri. Per installare un impianto di irrigazione, il giardino è stato diviso tracciando una diagonale. In uno dei due triangoli risultanti si vuole collocare un irrigatore circolare nell'incentro.

1. Spiega cosa sono le bisettrici e perché l'irrigatore nell'incentro è la scelta migliore affinché si trovi alla stessa distanza dai tre lati del triangolo (i due bordi del giardino e la diagonale).

2. Disegna in modo schematico il rettangolo, la diagonale e l'incentro di uno dei triangoli.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Osserva la figura allegata, che rappresenta un pezzo metallico. È formato da un triangolo rettangolo grande e da uno più piccolo al suo interno. Sappiamo che il cateto orizzontale di quello grande misura $15 \text{ cm}$ e la sua area è $60 \text{ cm}^2$. Il triangolo piccolo è simile e ha una base di $5 \text{ cm}$.

1. Calcola l'altezza del triangolo grande.

2. Utilizzando la logica delle proporzioni, calcola l'area del triangolo piccolo. (Suggerimento: se la base è la terza parte, cosa succederà all'altezza?).

Un esploratore ha steso una corda di $24$ metri intorno a un terreno triangolare per montare il suo campo.

1. Se il terreno è un triangolo isoscele e uno dei lati uguali misura $9 \text{ metri}$, quanto misura il lato rimanente?

2. Se l'esploratore volesse che il triangolo fosse rettangolo con lati di $6 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ e $10 \text{ m}$, gli servirebbe la stessa corda? Verifica anche se in quest'ultimo caso vale il teorema di Pitagora.

In una verifica di geometria avanzata viene presentato un triangolo in cui le tre mediane si incontrano in un punto $G$ (baricentro). Se la mediana che parte dal vertice $A$ misura in totale $12 \text{ cm}$, calcola la misura dei due segmenti in cui il punto $G$ divide tale mediana. (Ricorda la proprietà: il baricentro divide la mediana in due parti, una il doppio dell'altra).

Per scoprire se tre aste rigide di lunghezze $a = 8\text{ cm}$, $b = 15\text{ cm}$ e $c = 25\text{ cm}$ possono essere unite per gli estremi a formare una struttura triangolare, in classe si propongono due strade:\n- Metodo 1 (verifica completa): scrivere e verificare una per una le tre disuguaglianze triangolari: $a < b + c$, $b < a + c$ e $c < a + b$.\n- Metodo 2 (verifica ridotta): individuare l'asta più lunga ($c$) e verificare soltanto che tale asta sia minore della somma delle altre due ($c < a + b$).\na) Applica entrambi i metodi al caso delle aste di $8\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ e $25\text{ cm}$ e scrivi la conclusione a cui si arriva in ciascuno.\nb) Giustifica matematicamente perché il Metodo 2 è sempre sufficiente: perché, se il lato maggiore è minore della somma degli altri due, possiamo assicurare con assoluta certezza che le altre due disuguaglianze saranno sempre soddisfatte senza doverle calcolare?\nc) Se decidiamo di togliere l'asta di $25\text{ cm}$ e sostituirla con una nuova asta di lunghezza intera $x$ per formare un triangolo insieme a quelle di $8\text{ cm}$ e $15\text{ cm}$:\n1) Calcola quale lunghezza intera esatta deve avere $x$ affinché il triangolo sia rettangolo e quell'asta sia l'ipotenusa, verificandolo con il teorema di Pitagora.\n2) Indica quali valori interi potrebbe assumere $x$ affinché il triangolo risultante sia isoscele e geometricamente possibile.

Durante una traversata in alta montagna nel Parco Nazionale dei Picos de Europa, tre rifugi ($A$, $B$ e $C$) sono collegati da sentieri rettilinei che formano un triangolo. La guida alpina controlla le schede tecniche:

• L'angolo al rifugio $A$ misura il triplo dell'angolo al rifugio $B$.

• L'angolo al rifugio $C$ misura esattamente $20^\circ$.

• La distanza in linea retta tra il rifugio $A$ e il rifugio $B$ è di $7\text{ km}$.

• La distanza in linea retta tra il rifugio $B$ e il rifugio $C$ è di $18\text{ km}$.

1. a) Modellizza la situazione scrivendo un'equazione con gli angoli interni del triangolo e trova la misura esatta degli angoli al rifugio $A$ e al rifugio $B$.
2. b) Classifica il triangolo formato dai tre rifugi sia in base agli angoli (acutangolo, rettangolo od ottusangolo) sia in base ai lati (equilatero, isoscele o scaleno).
3. c) Un escursionista afferma: «Per andare direttamente dal rifugio $C$ al rifugio $A$ in linea retta dovremo camminare più di $25\text{ km}$». Dimostra matematicamente, mediante la disuguaglianza triangolare, perché l'affermazione dell'escursionista è impossibile.
4. d) Il servizio di emergenza deve installare un'antenna che si trovi alla stessa distanza esatta dai tre rifugi. Indica il punto notevole del triangolo che i tecnici devono individuare e spiega quali rette devono tracciare sulla mappa per trovarlo.