Esercizi: Poligoni

Immagina di progettare le icone per una nuova app per cellulare. Affinché il design sia pulito, il programmatore ti chiede di individuare quali di queste figure sono poligoni e quali no. Giustifica brevemente la tua risposta indicando quale caratteristica manca nelle figure che non lo sono.

Nel seguente poligono, che rappresenta la pianta di un piccolo ripostiglio, individua e conta i seguenti elementi:

• Numero di vertici.

• Numero di lati.

• Numero di angoli interni.

• Traccia una diagonale che unisca il vertice $A$ con il vertice $C$ (copia prima il poligono sul quaderno).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Classifica i seguenti poligoni in base al numero di lati usando i nomi tecnici corrispondenti (triangolo, quadrilatero, pentagono, ecc.):

Un poligono è convesso se tutti i suoi angoli interni sono minori di $180^\circ$ e concavo se ne ha almeno uno maggiore di $180^\circ$. Osserva queste due frecce di segnalazione e indica quale è concava e quale è convessa.

Perché un poligono sia regolare, deve avere tutti i lati della stessa lunghezza e tutti gli angoli uguali. Osserva le seguenti figure di un videogioco e stabilisci quale di esse soddisfa le condizioni per essere un poligono regolare.

Calcola il perimetro della seguente aiuola di un giardino sapendo che i suoi lati misurano le quantità indicate nel disegno. Ricorda che il perimetro è la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati.

Sappiamo che la somma degli angoli di qualsiasi triangolo è sempre $180^\circ$. Nel quadrilatero $ABCD$ della figura è stata tracciata la diagonale $AC$ (linea tratteggiata), che lo divide in due triangoli: $ABC$ (in arancione) e $ACD$ (in blu). Sulla base di questo, quanto pensi che sommino gli angoli interni di un qualsiasi quadrilatero? Giustifica la tua risposta.

Una diagonale è un segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono. Osserva il pentagono (5 lati) del disegno e traccia tutte le diagonali possibili che escono dal vertice segnato in arancione. Quante diagonali in totale pensi che abbia un pentagono se le tracci tutte?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Lucia vuole calcolare quanto misura ogni angolo interno di un pentagono regolare per un lavoretto scolastico e annota sul quaderno:

«Poiché è un pentagono, ha $5$ lati. La somma dei suoi angoli interni è $180^\circ \cdot 5 = 900^\circ$. Essendo regolare, divido $900^\circ$ per $5$ e ottengo che ogni angolo interno misura $180^\circ$».

1. a) Trova i due errori di ragionamento geometrico commessi da Lucia. Spiega perché è impossibile che un angolo interno di un poligono chiuso misuri $180^\circ$.
2. b) Correggi il procedimento e calcola il valore corretto della somma degli angoli interni e la misura di ogni angolo interno del pentagono regolare.

Stai per costruire un plastico di un segnale stradale di «STOP», che ha la forma di un ottagono regolare.

1. a) Stima senza usare formule: Pensa a come si confronta un angolo retto ($90^\circ$) con una linea retta o angolo piatto ($180^\circ$). In un ottagono regolare, credi che gli angoli interni saranno acuti, retti od ottusi? Saranno più vicini a $90^\circ$ o a $180^\circ$? Giustifica la tua stima qualitativa.
2. b) Verifica: Applica la formula dell'angolo interno di un poligono regolare per calcolare il valore esatto di ciascuno dei suoi angoli: $\dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$.
3. c) Confronta la tua stima con il risultato ottenuto e spiega se il valore numerico concorda con l'aspetto visivo di un segnale di STOP.

Un gruppo di ingegneri sta progettando una nuova antenna per le comunicazioni a forma di ettagono convesso. Per rendere solida la struttura, devono collocare dei cavi di rinforzo che colleghino tutti i vertici tra loro, ma che non siano i lati stessi dell'antenna. Quanti cavi di rinforzo (diagonali) dovranno installare in totale? Disegna il poligono e traccia tutte le diagonali che escono da un solo vertice per aiutarti a ragionare.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un videogioco di costruzione, un giocatore ha progettato un terreno a forma di quadrilatero irregolare per collocarvi un orto. Misurando gli angoli interni con uno strumento del gioco, ottiene i seguenti valori: $115^\circ$, $82^\circ$ e $96^\circ$. Il quarto angolo è nascosto da un errore dell'interfaccia. Calcola il valore di tale angolo sapendo che la somma degli angoli interni di qualsiasi quadrilatero è sempre la stessa.

Una pista da skate ha il profilo laterale mostrato nel disegno seguente. Osserva la figura e rispondi in modo motivato alle seguenti domande:

• Si tratta di un poligono concavo o convesso? Perché?

• Indica il numero di lati, vertici e diagonali totali di questo poligono.

Il diaframma di una macchina fotografica professionale è formato da lamelle che, chiudendosi, lasciano un'apertura a forma di ottagono regolare.

• Calcola quanto misura l'angolo al centro di questo ottagono.

• Calcola quanto misura ciascuno dei suoi angoli interni.

• Se la macchina avesse un diaframma a 10 lati (decagono regolare), l'angolo al centro sarebbe maggiore o minore? Giustifica la tua risposta.

Un decoratore sta progettando un mosaico moderno usando pezzi a forma di pentagono regolare. Cercando di unire tre pezzi in uno stesso punto (vertice comune), si accorge che resta un piccolo vuoto.

• Calcola la misura dell'angolo interno di un pentagono regolare.

• Sapendo che un giro completo attorno a un punto è di $360^\circ$, quanti gradi misura il vuoto che resta unendo tre pentagoni?

Per un progetto di robotica, una piastra metallica deve avere la forma di un esagono. Il produttore dice che la piastra è "equiangola" (tutti i suoi angoli interni sono uguali), ma non è "equilatera" (i suoi lati non hanno la stessa lunghezza).

• Questo esagono è un poligono regolare? Motiva la risposta basandoti sulla definizione.

• Se la piastra ha 6 lati, quanto deve fare la somma di tutti i suoi angoli interni?

• Qual è il valore di ciascuno dei suoi angoli interni?

Otto amici si siedono attorno a un tavolo rotondo per giocare a un gioco di ruolo. Ogni giocatore deve avere un "legame magico" (una corda colorata) con tutti gli altri giocatori del tavolo, tranne quelli seduti subito alla sua sinistra e alla sua destra. Se consideriamo i giocatori come i vertici di un ottagono:

1. a) Quale elemento del poligono rappresentano le corde dei "legami magici"?

1. b) Calcola il numero totale di corde che ci saranno sul tavolo.

Nella figura sono stati disegnati, per il giocatore P₁, i suoi due vicini (punti rossi, con cui non ha legame) e i suoi legami magici (linee arancioni).

Calcola il perimetro di un pentagono irregolare sapendo che ha due lati di $8\text{ cm}$ ciascuno, altri due lati che misurano il doppio dei precedenti e un ultimo lato che misura la metà della somma degli altri quattro. Sarebbe possibile che questo pentagono fosse regolare? Spiega perché.

Un gruppo di grafica crea una nuova piastrella a forma di quadrilatero concavo (a punta di freccia) per decorare la parete di una palestra.

1. a) Quanto devono sommare esattamente i quattro angoli interni di un qualsiasi quadrilatero? Giustificalo a partire dal numero di triangoli in cui si divide da uno dei suoi vertici.
2. b) Il progettista ha deciso che l'angolo interno concavo («quello rientrante») misuri $210^\circ$ e che gli altri tre angoli interni abbiano esattamente la stessa misura tra loro. Imposta il problema e calcola la misura di ciascuno di questi tre angoli.
3. c) Ragiona se sarebbe possibile costruire un quadrilatero che abbia due angoli interni concavi (cioè maggiori di $180^\circ$ ciascuno). Appoggiati alla somma totale degli angoli per giustificare la tua risposta.

Il servizio Parchi e Giardini di un comune italiano sta progettando una zona di prato a forma di poligono convesso. Per pianificare l'installazione degli irrigatori, un tecnico osserva che, da uno degli angoli (un solo vertice), si possono tracciare esattamente $4$ linee rette verso altri vertici senza che siano i lati del recinto (cioè esattamente $4$ diagonali).

1. a) Modellizza la situazione e deduci quanti lati ha in totale il terreno. Spiega in dettaglio come si collega il numero di diagonali che partono da un vertice con il numero totale di lati $n$.
2. b) Il perimetro totale del terreno è $49\text{ m}$ e gli operai hanno misurato che tutti i suoi lati hanno la stessa lunghezza. Si può affermare con assoluta certezza matematica che la zona di prato è un poligono regolare? Motiva la tua risposta e fornisci un esempio di quadrilatero in cui tutti i lati siano uguali ma la figura non sia regolare.
3. c) Se il terreno fosse effettivamente un poligono regolare, quanto misurerebbe ciascun lato e quanto sommerebbero in totale i suoi angoli interni?

Un architetto sta progettando un lucernario a forma di poligono regolare. Si sa che la somma di tutti i suoi angoli interni è esattamente $1080^\circ$. Tuttavia, per un errore di fabbricazione, uno degli angoli interni è risultato $5^\circ$ maggiore di quanto dovrebbe.

1. Quanti lati ha il lucernario originale?

2. Se gli altri angoli restano uguali, quanto misura l'angolo venuto difettoso?

3. È ancora un poligono regolare? Motiva la tua risposta basandoti sulla definizione di poligono regolare.

In un laboratorio di gioielleria si sta progettando un ciondolo unendo due tipi di pezzi: un esagono regolare e sei triangoli equilateri. Se il perimetro dell'esagono centrale è $24 \text{ cm}$:

1. Qual è il perimetro totale della figura a stella risultante?

2. Calcola il valore dell'angolo interno delle punte della stella (gli angoli che non toccano l'esagono).

3. Se raddoppiamo il lato dell'esagono, che cosa accade al perimetro totale della stella? Si raddoppia, si triplica o aumenta in un'altra proporzione?

Hai a disposizione tre asticelle rigide per costruire un triangolo. La prima misura $15 \text{ cm}$ e la seconda $8 \text{ cm}$. La lunghezza della terza è $x$.

1. a) Qual è la misura minima (in numeri interi di centimetri) che deve avere la terza asticella per poter formare il triangolo?

1. b) Qual è la misura massima (in numeri interi di centimetri) che potrebbe avere?

1. c) Se la terza asticella misurasse esattamente $17 \text{ cm}$, che tipo di triangolo otterresti in base ai suoi angoli? (Suggerimento: verifica se vale la relazione $a^2 = b^2 + c^2$).

Osserva la seguente figura, che rappresenta un logo formato da un quadrato di lato $10 \text{ cm}$ a cui sono stati "ritagliati" due triangoli negli angoli superiori.

1. Classifica il poligono risultante (l'area ombreggiata) in base al numero di lati e al tipo (concavo o convesso).

2. Se i tagli sono stati fatti proprio nei punti medi dei lati del quadrato, calcola il perimetro del nuovo poligono.

3. Qual è la somma degli angoli interni di questo nuovo poligono?

Un parco giochi ha la forma di un pentagono irregolare. I suoi angoli interni sono $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ e $90^\circ$.

1. Calcola la misura del quinto angolo.

2. È possibile che questo parco sia un pentagono convesso? Giustifica la tua risposta.

3. Se l'angolo di $90^\circ$ si trova tra due lati di $12 \text{ m}$ e $16 \text{ m}$, quanto misurerebbe il segmento che unisce gli estremi di quei due lati? (Usa il teorema di Pitagora).

In un quadrilatero qualsiasi, sappiamo che le diagonali sono perpendicolari e hanno la stessa lunghezza, ma non si intersecano nel loro punto medio.

1. Di quale figura si tratta? Disegna un esempio approssimativo.

2. Se le diagonali misurano $14 \text{ cm}$, possiamo calcolare l'area del quadrilatero anche se non è un rombo né un quadrato? In tal caso, calcolala.

3. Fai una ricerca: come si chiama il quadrilatero che ha due coppie di lati consecutivi uguali (a forma di aquilone)?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un gruppo di grafica vuole creare una piastrella a forma di esagono regolare di lato $L$. All'interno dell'esagono, vengono tracciate tutte le diagonali che escono da uno stesso vertice.

1. In quanti triangoli viene diviso l'esagono?

2. Questi triangoli sono uguali tra loro? Classificali in base ai lati.

3. Se l'angolo interno dell'esagono è $120^\circ$, quanto misurano gli angoli di ciascuno dei triangoli formati?

Immagina un poligono regolare in cui il valore del suo angolo al centro è la quarta parte del valore del suo angolo interno.

1. Imposta un'equazione che metta in relazione l'angolo al centro ($360/n$) e l'angolo interno ($180 \cdot (n-2) / n$) per trovare il numero di lati $n$.

2. Come si chiama questo poligono?

3. Qual è la somma dei suoi angoli esterni? (Ricorda che questa proprietà è comune a tutti i poligoni convessi).

Per dedurre la somma degli angoli interni di un ettagono convesso ($7$ lati) senza ricorrere alla formula memorizzata, due studenti di prima media propongono due strategie diverse:

• Metodo di Sergio: sceglie un solo vertice dell'ettagono e traccia tutte le diagonali possibili da esso, dividendo il poligono in più triangoli.

• Metodo di Alba: colloca un punto ausiliario all'interno dell'ettagono e lo unisce con i $7$ vertici, formando $7$ triangoli che condividono quel punto centrale.

1. a) Applica il metodo di Sergio: indica quanti triangoli si ottengono, calcola la somma totale dei loro angoli e giustifica perché tale somma coincide esattamente con la somma degli angoli interni dell'ettagono.
2. b) Applica il metodo di Alba: calcola la somma degli angoli dei $7$ triangoli formati e spiega quale operazione aggiuntiva bisogna fare con gli angoli che circondano il punto interno per ottenere la somma degli angoli dell'ettagono.
3. c) Scegli il metodo: se dovessi spiegare a un compagno come trovare la somma degli angoli interni di un poligono di $100$ lati, quale dei due metodi sceglieresti? Confronta la semplicità dei due ragionamenti e giustifica la tua scelta analizzando le possibili distrazioni di ciascun percorso.

Nella progettazione di marciapiedi e passeggiate pedonali di diverse città italiane si usano piastrelle a forma di poligoni regolari. Affinché una pavimentazione ricopra completamente il suolo senza lasciare buchi né sovrapporsi nell'unirsi in uno stesso vertice, la somma degli angoli interni che coincidono in quel vertice deve essere esattamente uguale a $360^\circ$.

Uno studio di urbanistica vuole pavimentare una piazza e analizza tre proposte di piastrelle regolari:

1. a) Proposta A (pentagoni regolari): calcola la misura dell'angolo interno di un pentagono regolare e dimostra numericamente perché è impossibile pavimentare la piazza usando esclusivamente questo tipo di piastrella.
2. b) Proposta B (esagoni regolari): calcola la misura dell'angolo interno di un esagono regolare e determina se permette di piastrellare la piazza senza buchi. In caso affermativo, quante piastrelle coincideranno esattamente in ciascun vertice comune?
3. c) Proposta C (ottagoni regolari): un produttore assicura che si può pavimentare la piazza combinando ottagoni regolari con un'altra figura regolare più piccola per riempire i vuoti che restano. Calcola l'angolo interno di un ottagono regolare, dimostra che due ottagoni insieme non completano l'angolo giro e che tre non entrano in un vertice, e deduci quale tipo di poligono regolare noto si incastra esattamente nel vuoto per sommare $360^\circ$.