Esercizi: Elementi del piano

Osserva la seguente immagine e individua quale tra gli elementi disegnati corrisponde a una retta, quale a una semiretta e quale a un segmento. Spiega brevemente la differenza tra loro osservando i loro estremi.

Nella mappa del tuo quartiere, due strade possono incrociarsi o essere parallele. Osserva lo schema delle rette $a$, $b$ e $c$. Indica quale coppia di rette è parallela e quale coppia è incidente. Come si chiama il punto arancione in cui si intersecano due di esse?

Classifica i seguenti angoli in base alla loro ampiezza in acuto, retto oppure ottuso. Per aiutarti, ricorda che un angolo retto misura esattamente $90^\circ$.

• Angolo $A = 45^\circ$

• Angolo $B = 120^\circ$

• Angolo $C = 90^\circ$

• Angolo $D = 10^\circ$

Due angoli sono complementari se la loro somma è $90^\circ$ e supplementari se la loro somma è $180^\circ$. Calcola quanto vale l'angolo mancante in ciascun caso:

1. a) Il complementare di un angolo di $35^\circ$.
2. b) Il supplementare di un angolo di $110^\circ$.

Quando due rette si intersecano, gli angoli opposti al vertice sono uguali. Nel disegno seguente, se sappiamo che l'angolo arancione $\hat{\alpha}$ misura $40^\circ$, quanto misureranno gli angoli $\hat{\beta}$, $\hat{\gamma}$ e $\hat{\delta}$?

Le lancette di un orologio formano angoli diversi nel corso della giornata.

1. a) Che tipo di angolo formano le lancette quando sono le 3:00 in punto?
2. b) E quando sono le 6:00 in punto?
3. c) Quale angolo (in gradi) percorre la lancetta dei minuti in 15 minuti?

Disegna un poligono con tre lati (un triangolo) e indica i suoi elementi principali. Devi indicare dove sono i vertici, i lati e gli angoli interni. Quanti ne ha di ciascun tipo un triangolo?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

I seguenti segmenti hanno queste lunghezze:

• Segmento $AB = 40$ $mm$

• Segmento $CD = 2,5$ $cm$

• Segmento $EF = 0,5$ $dm$

Calcola la somma totale delle loro lunghezze in centimetri ($cm$).

Ricorda di convertire tutte le misure nella stessa unità prima di sommare.

Luca deve calcolare l'angolo complementare di $\hat{A} = 42^\circ\ 35'$. Sul suo quaderno ha scritto la seguente risoluzione:

«Poiché due angoli complementari sommano $90^\circ$, sottraggo: $90^\circ - 42^\circ\ 35'$. Converto $90^\circ$ in $89^\circ\ 100'$, quindi faccio $89^\circ\ 100' - 42^\circ\ 35' = 47^\circ\ 65'$. Poiché $65'$ supera un grado, passo $60'$ ai gradi e mi resta come risultato finale $48^\circ\ 5'$».

1. a) Individua l'errore commesso da Luca e spiega in dettaglio perché il suo ragionamento sulle unità non funziona e come influisce sul risultato finale, ricordando la base del sistema sessagesimale.
2. b) Esegui l'operazione in modo corretto e trova la misura esatta dell'angolo complementare di $\hat{A}$.

In un laboratorio di progettazione geometrica ti chiedono di trovare un angolo $\hat{A}$ sconosciuto che soddisfa una proprietà matematica molto precisa: la misura del suo angolo supplementare è esattamente il triplo della misura del suo angolo complementare.

1. a) Ragiona, senza ancora calcolare l'angolo $\hat{A}$, su quanti gradi di differenza ci sono sempre tra l'angolo supplementare e il complementare di qualsiasi angolo del piano.
2. b) Usa tale differenza e la condizione che uno è il triplo dell'altro per dedurre quanto deve misurare necessariamente l'angolo complementare di $\hat{A}$.
3. c) Determina a partire da quanto sopra la misura esatta dell'angolo $\hat{A}$ e verifica che la condizione iniziale sia soddisfatta calcolando il suo complementare e il suo supplementare.

Su una mappa escursionistica, un percorso rettilineo unisce il punto $A$ (un rifugio) con il punto $B$ (una cascata). Se prolunghiamo il percorso oltre la cascata verso la cima della montagna (punto $C$), identifica quale elemento geometrico rappresentano i seguenti tratti:

1. Il sentiero che inizia al rifugio e termina alla cascata.

2. Il sentiero che inizia al rifugio e prosegue indefinitamente passando per la cascata e la cima.

3. La linea teorica che contiene il rifugio, la cascata e la cima, estendendosi senza fine in entrambe le direzioni.

Un architetto sta progettando una nuova zona residenziale. Ha tracciato tre strade rappresentate dalle rette $r$, $s$ e $t$. Osserva la mappa e rispondi in modo argomentato:

• Se la strada $r$ è perpendicolare alla strada $s$, e la strada $t$ è parallela alla strada $r$, come sono tra loro le strade $s$ e $t$?

• Se un'auto percorre la strada $s$ e vuole svoltare per entrare nella strada $t$, di quale angolo (in gradi) dovrà girare?

Un autovelox ruota sul proprio asse spazzando un angolo totale di $145^\circ$ $30'$. Se l'autovelox ha già ruotato di $82^\circ$ $45' $ $20''$, quanto gli manca da ruotare per completare la sua scansione totale? Esprimi il risultato in gradi, primi e secondi.

Nel progetto di una rampa per skater, sono stati calcolati tre angoli interni che devono sommare un angolo piatto affinché la struttura sia stabile. Se i primi due angoli misurano $\hat{A} = 48^\circ$ $25'$ e $\hat{B} = 72^\circ$ $50'$, calcola la misura del terzo angolo $\hat{C}$. Di che tipo di angolo si tratta in base alla sua ampiezza (acuto, retto o ottuso)?

Due angoli sono supplementari. Se uno di essi misura il triplo dell'altro, qual è la misura di ciascuno degli angoli? Aiutati con uno schema grafico per visualizzare la situazione.

Due amici, Anna e Bruno, vogliono installare un ripetitore Wi-Fi nel cortile della scuola che si trovi esattamente alla stessa distanza da entrambi. Se Anna si trova nel punto $A$ e Bruno nel punto $B$:

1. Come si chiama la linea immaginaria dove potrebbero collocare l'antenna?

2. Se la distanza tra Anna e Bruno è di $12$ metri, a quale distanza minima da ciascuno si troverà l'antenna?

3. Disegna uno schema che rappresenti i punti $A$ e $B$, il segmento che li unisce e la linea dove devono collocare l'antenna.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un giardiniere vuole dividere un'aiuola di fiori a forma di settore circolare in due settori uguali. Per farlo, deve tracciare la bisettrice dell'angolo al centro che forma l'aiuola originale, il quale misura $135^\circ$.

• Calcola quanto misurerà ciascuno dei nuovi angoli dopo aver tracciato la bisettrice.

• Se il giardiniere commette un errore e traccia una linea che lascia un angolo di $60^\circ$ $40'$, quanti gradi, primi e secondi di differenza ci sono rispetto alla bisettrice corretta?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Osserva le lancette di un orologio analogico quando segna esattamente le $15:00$ (le tre in punto). La figura mostra quell'orologio: la lancetta corta è quella delle ore e quella lunga è la lancetta dei minuti.

Rispondi:

1. a) Che tipo di angolo formano le due lancette alle $15:00$?

1. b) Se l'orologio avanza fino alle $15:10$, la lancetta dei minuti ha ruotato di un certo angolo. Sapendo che ogni minuto corrisponde a una rotazione di $6^\circ$ della lancetta dei minuti, quale angolo ha percorso la lancetta dei minuti?

1. c) Alle $15:10$, l'angolo formato dalle due lancette è maggiore o minore di quello che formavano alle $15:00$? Tieni presente che anche la lancetta delle ore si sposta un po': ruota di $0,5^\circ$ ogni minuto.

Il braccio girevole di una macchina smistatrice in un centro logistico di Bologna parte da una posizione di riferimento e ruota di un angolo di $58^\circ\ 48'$. Per completare una calibrazione che richiede di raggiungere esattamente un angolo retto ($90^\circ$), l'operatore deve programmare una seconda rotazione complementare a seguito della prima.

1. a) Prima di operare con carta e matita, stima in modo motivato tra quali due decine intere di gradi (per esempio, tra $20^\circ$ e $30^\circ$, oppure tra $30^\circ$ e $40^\circ$) si troverà il valore della rotazione rimanente. Spiega su che cosa ti basi per fare la stima senza calcolare il valore esatto.
2. b) Calcola con precisione sessagesimale (in gradi e primi) la misura della rotazione che manca alla macchina per raggiungere i $90^\circ$.
3. c) Confronta il valore esatto ottenuto con la tua stima precedente e valuta in modo motivato se ha senso dal punto di vista geometrico.

Nella riqualificazione urbanistica di una zona di Bologna, si incrociano due viali rettilinei, il Viale del Nord e il Viale Centrale, che si intersecano in un punto $P$. Uno dei quattro angoli generati da questo incrocio misura $68^\circ\ 40'$.

1. a) Modellizza la situazione classificando la posizione reciproca dei due viali nel piano e determina in modo motivato la misura degli altri tre angoli formati all'incrocio $P$, giustificando quali sono opposti al vertice e quali sono supplementari.
2. b) Per facilitare la svolta degli autobus urbani, si progetta una piattaforma il cui asse centrale coincide esattamente con la bisettrice dell'angolo di $68^\circ\ 40'$. Calcola la misura esatta dell'angolo (in gradi e primi) che tale piattaforma forma con il Viale Centrale.
3. c) Se in seguito si apre una nuova strada perfettamente parallela al Viale del Nord che interseca il Viale Centrale in un altro punto distinto, giustifica quali angoli formerà questa nuova strada con il Viale Centrale senza doverli misurare sul terreno.

Tre paesi, Alcedo ($A$), Berzosa ($B$) e Cañotal ($C$), sono situati in modo che l'angolo di vertice $A$ formato dalle strade che vanno a $B$ e $C$ misuri $74^\circ \ 12'$. Si vuole costruire una torre di telefonia che si trovi esattamente alla stessa distanza dalla strada $AB$ e dalla strada $AC$. Inoltre, la torre deve essere situata alla stessa distanza dai paesi $B$ e $C$. Descrivi in modo argomentato quali elementi geometrici del piano (rette notevoli) devi tracciare per trovare l'ubicazione esatta della torre e quale nome prende il punto di intersezione.

Nel progetto di un pezzo metallico, due angoli sono supplementari. Se uno di essi è il triplo dell'altro diminuito di $20^\circ$, quanto misura ciascuno degli angoli? Imposta una strategia logica o matematica per trovare le loro misure in gradi, primi e secondi.

Calcola in modo esatto l'angolo minore formato dalle lancette di un orologio analogico quando segna le $10:20$ del mattino. Tieni presente che la lancetta delle ore si sposta proporzionalmente al movimento della lancetta dei minuti. (Suggerimento: ogni minuto la lancetta delle ore avanza di $0,5^\circ$).

Due rette parallele, $r$ e $s$, sono tagliate da una trasversale $t$. Si sa che due angoli alterni interni sono espressi dalle misure $2x + 15^\circ$ e $3x - 10^\circ$.

1. a) Trova il valore di $x$.
2. b) Calcola la misura degli otto angoli che si formano nell'intersezione.

Disegna un angolo ottuso $\widehat{AOB} = 150^\circ$. Traccia la sua bisettrice $OC$. Poi traccia la bisettrice $OD$ dell'angolo $\widehat{AOC}$. Senza usare il goniometro per la misura finale, calcola aritmeticamente quanto misura l'angolo supplementare dell'angolo $\widehat{DOB}$. Mostra tutti i passaggi dell'operazione nel sistema sessagesimale.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una pizzeria vuole dividere una pizza circolare di $30 \text{ cm}$ di diametro in 7 porzioni uguali.

1. a) Qual è la misura esatta dell'angolo al centro di ciascuna porzione in gradi, primi e secondi?
2. b) Se per errore il primo taglio viene fatto a $52^\circ$, di quanti primi e secondi in più è quella porzione rispetto alla misura corretta?

Due studenti di prima media, Irene e Marco, vogliono scoprire quanto misura l'angolo formato tra loro dalle bisettrici di due angoli adiacenti e supplementari qualsiasi, $\hat{A}$ e $\hat{B}$ (che sommano $180^\circ$ e hanno in comune il vertice e un lato).

• Metodo di Irene (verifica numerica): Sceglie un caso concreto, per esempio $\hat{A} = 120^\circ$ e $\hat{B} = 60^\circ$. Divide ciascuno per due per trovare le loro bisettrici ($60^\circ$ e $30^\circ$), le somma ($60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$) e conclude che formeranno sempre $90^\circ$.

• Metodo di Marco (deduzione generale): Pone che se $\hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$, l'angolo formato dalle due bisettrici è la somma delle loro metà: $\frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B}}{2} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

1. a) Confronta in modo critico i due percorsi: perché il metodo di Irene serve come indizio ma non dimostra formalmente che la proprietà valga per tutte le possibili coppie di angoli supplementari? Quale vantaggio offre il metodo di Marco?
2. b) Applica il metodo deduttivo generale di Marco per calcolare e dimostrare quanto misurerà sempre l'angolo formato dalle bisettrici di due angoli adiacenti complementari.
3. c) A partire dalla tua deduzione, ragiona se è possibile che le bisettrici di due angoli adiacenti e complementari formino in qualche caso un angolo ottuso.

Nel centro di soccorso marittimo di Messina, i controllori tracciano su uno schermo piano la navigazione di varie imbarcazioni:

• La nave Alfa segue una traiettoria rettilinea rappresentata dalla retta $r$.

• La nave Bravo segue un'altra rotta rettilinea rappresentata dalla retta $s$. Le due rotte sono incidenti e si intersecano in un punto $P$, formando un angolo acuto di $41^\circ\ 35'$.

• Una motovedetta di soccorso parte dall'incrocio $P$ navigando in linea retta lungo esattamente la bisettrice dell'angolo ottuso formato dalle rotte di Alfa e Bravo in quel punto.

• Una nave appoggio Charlie si muove lungo una traiettoria rettilinea $t$ perpendicolare alla traiettoria della nave Alfa ($r \perp t$) in un punto situato a diverse miglia da $P$.

1. a) Determina in modo argomentato la misura esatta dell'angolo ottuso formato dalle traiettorie di Alfa e Bravo nel punto $P$.
2. b) Calcola la misura esatta (in gradi, primi e secondi sessagesimali) dell'angolo formato dalla rotta della motovedetta con la traiettoria della nave Bravo.
3. c) Dimostra in modo puramente geometrico se le traiettorie della nave Charlie ($t$) e della nave Bravo ($s$) arriveranno a intersecarsi in qualche punto del piano o se esiste la possibilità che siano parallele. Per giustificarlo, deduci quale condizione angolare dovrebbero soddisfare $r$ e $s$ affinché $t$ potesse essere parallela a $s$.