Esercizi: Numeri primi e scomposizione in fattori

A una convention di collezionisti di carte, gli stand sono stati numerati da $10$ a $25$. Gli organizzatori vogliono evidenziare con un cartellino arancione gli stand che hanno un numero primo. Scrivi l'elenco di tutti i numeri di stand che dovrebbero avere il cartellino arancione.

Il Crivello di Eratostene funziona come un filtro che lascia passare solo i numeri primi. Se versiamo nel filtro i numeri da $1$ a $10$, spiega perché il numero $1$ non è considerato primo e perché il numero $9$ resta intrappolato nel filtro dei numeri composti.

Durante l'ora di Educazione fisica, l'insegnante vuole disporre i $13$ alunni in file e colonne perfette per fare un esercizio (per esempio, $2$ file da $6$ persone).

1. a) Perché con $13$ alunni non può farlo in nessun modo diverso da un'unica fila di $13$?
2. b) Che tipo di numero è $13$ in base ai suoi divisori?

Classifica nella tabella i numeri seguenti in primi (hanno solo due divisori: $1$ e se stessi) o composti (hanno più di due divisori):

$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$

Osserva la seguente "torre di divisioni" (scomposizione in fattori) e individua i numeri mancanti nelle caselle vuote affinché sia corretta:

Scomponi in fattori primi il numero $40$ con il metodo della barra verticale ed esprimi il risultato come prodotto di potenze.

Scopri di quale numero si tratta in ciascun caso calcolando le potenze e moltiplicando i fattori:

1. a) $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = $
2. b) $2 \cdot 3^3 = $
3. c) $3^2 \cdot 11 = $

Il numero $12$ può essere rappresentato in forma rettangolare in diversi modi (per esempio, $2 \times 6$ o $3 \times 4$). Un numero primo, invece, può formare solo una fila.

Osserva il disegno e scomponi in fattori il numero totale di punti che formano il rettangolo:

Sofia vuole scoprire se il numero $91$ è primo. Per verificarlo, applica i criteri di divisibilità più comuni: osserva che non è pari (quindi non è divisibile per $2$), che la somma delle sue cifre è $9 + 1 = 10$, che non è multiplo di $3$ (quindi non è divisibile per $3$), e che non termina né con $0$ né con $5$ (quindi non è divisibile per $5$). Con questi dati, Sofia conclude sul quaderno: «Poiché non è divisibile né per 2, né per 3, né per 5, il 91 è un numero primo».

1. a) Individua e spiega l'errore di ragionamento commesso da Sofia in base alla regola per stabilire se un numero è primo.
2. b) Indica quale verifica Sofia ha dimenticato di fare prima di rispondere e giustifica perché era indispensabile farla.
3. c) Correggi l'esercizio: stabilisci se il numero $91$ è primo o composto e, se è composto, scrivi la sua scomposizione in fattori primi.

Vuoi verificare se il numero $173$ è primo o composto senza fare divisioni inutili.

1. a) Stima il valore di $\sqrt{173}$ indicando tra quali due numeri interi consecutivi si trova (suggerimento: pensa ai quadrati perfetti più vicini a $173$).
2. b) In base alla tua stima, scrivi l'elenco completo e ordinato dei numeri primi per i quali è strettamente necessario verificare la divisibilità. Quante divisioni dovrai fare al massimo?
3. c) Esegui le divisioni necessarie e stabilisci se $173$ è primo o composto. Giustifica perché puoi interrompere il procedimento senza provare con numeri primi maggiori.

Classifica i seguenti numeri in primi o composti motivando la risposta mediante i criteri di divisibilità. Per i numeri composti, indica almeno un divisore diverso da $1$ e da se stesso:

$47, 51, 67, 87, 91, 101$

Esegui la scomposizione in fattori primi dei seguenti numeri utilizzando il metodo della barra verticale. Esprimi il risultato finale utilizzando le potenze quando è possibile:

1. a) $180$
2. b) $252$
3. c) $450$

In una lezione di matematica, l'insegnante dice che per sapere se un numero minore di $100$ è primo, basta verificare che non sia divisibile per $2, 3, 5$ e $7$.

Spiega perché non occorre verificare se è divisibile per $11$ o per altri numeri primi maggiori. Applica questa idea per verificare se il numero $97$ è primo.

Trova tutti i divisori dei seguenti numeri utilizzando la loro scomposizione in fattori. Mostra il procedimento di combinazione dei fattori:

1. a) $28$
2. b) $42$

Nerea ha una collezione di monete antiche. Se le raggruppa a $6$ a $6$, ne avanzano $3$. Se le raggruppa a $10$ a $10$, ne avanzano ancora $3$.

Sapendo che ha più di $50$ monete ma meno di $80$, quante monete ha esattamente Nerea nella sua collezione? (Suggerimento: collega il problema al concetto di minimo comune multiplo).

Completa gli spazi vuoti in questo albero dei fattori del numero $120$. Ricorda che ogni ramo deve terminare con un numero primo affinché la scomposizione sia completa. Scrivi poi il risultato finale usando le potenze.

A volte, per scomporre numeri che terminano con zero, possiamo usare "scorciatoie" mentali. Per esempio, sappiamo che $10 = 2 \cdot 5$, quindi ogni zero finale apporta un fattore $2$ e un fattore $5$.

Scomponi i seguenti numeri utilizzando questo trucco per risparmiare passaggi nella barra verticale (puoi togliere in una volta sola ogni zero finale annotando $2 \cdot 5$ a destra):

1. a) $1.200$
2. b) $4.500$
3. c) $18.000$

Trova tutti i divisori del numero $N$ sapendo che la sua scomposizione in fattori è $N = 2^2 \cdot 13$. $N$ è un numero composto o primo? Giustifica la tua risposta basandoti sulla definizione di questi tipi di numeri.

Due compagni di classe, Ugo e Valeria, discutono sul modo più rapido e sicuro per scoprire se il numero $221$ è primo o composto:

• Metodo di Ugo: propone di verificare uno a uno tutti i numeri dispari da $3$ fino a $110$ (la metà approssimativa di $221$).

• Metodo di Valeria: calcola mentalmente che $\sqrt{221} \approx 14{,}8$ e afferma che basta provare a dividere $221$ per i numeri primi minori o uguali a $14$ (cioè: $2, 3, 5, 7, 11$ e $13$).

1. a) Confronta i due metodi: quante divisioni dovrebbe eseguire Ugo rispetto a quelle che servono a Valeria? Spiega perché Valeria scarta a ragione i numeri composti come il $9$.
2. b) Spiega il fondamento matematico del metodo di Valeria: perché è impossibile che $221$ abbia un divisore maggiore di $14$ se non se ne trova nessuno minore di $14$?
3. c) Applica il metodo di Valeria per classificare il numero $221$ come primo o composto.

In una gara di corsa campestre dei Giochi Sportivi Studenteschi di una regione partecipano $119$ atleti della categoria ragazzi. L'organizzazione vuole dividere gli atleti in batterie di qualificazione uguali, in modo che in ogni batteria gareggi lo stesso numero di corridori, con più di $1$ corridore per batteria e senza che ci sia un'unica batteria con tutti i partecipanti.

L'arbitro principale assicura che è impossibile fare gruppi uguali perché «il numero 119 non è pari né finisce con 0 o 5, quindi di sicuro è primo».

1. a) Modella la situazione mediante la divisibilità: traduci l'affermazione dell'arbitro e la necessità dell'organizzazione in una condizione sui divisori di $119$.
2. b) Applica il criterio di verifica dei numeri primi (limitando $\sqrt{119}$) per dimostrare se l'arbitro ha ragione o si sbaglia.
3. c) Se è possibile organizzare le batterie, indica tutti i modi diversi in cui si possono raggruppare gli atleti, specificando il numero di batterie e il numero di corridori per batteria.

Un numero naturale $N$ ha la seguente particolarità: la sua scomposizione in fattori primi è della forma $2^a \cdot 3^b$. Sappiamo che se moltiplichiamo $N$ per $2$, il numero dei suoi divisori aumenta di $3$, e se lo moltiplichiamo per $3$, il numero dei suoi divisori aumenta di $4$.

Calcola il valore degli esponenti $a$ e $b$, e trova il numero $N$.

Per verificare se il numero $601$ è primo, uno studente afferma che gli basta dividerlo per i numeri primi minori di $25$.

1. a) Giustifica perché lo studente ha scelto il numero $25$ come limite.
2. b) Esegui le divisioni necessarie seguendo il suo ragionamento e determina se $601$ è primo o composto.
3. c) Qual è il numero primo più grande che dovresti provare per sapere se $1009$ è primo?

Un numero "perfetto" è un numero uguale alla somma di tutti i suoi divisori propri (tutti i suoi divisori eccetto il numero stesso). Per esempio, il $6$ è perfetto perché i suoi divisori propri sono $1, 2$ e $3$, e $1 + 2 + 3 = 6$.

1. a) Verifica se il numero $28$ è un numero perfetto.

1. b) Il numero perfetto successivo è maggiore di $400$ e minore di $500$. Sapendo che è multiplo di $16$ e di $31$, utilizza la scomposizione in fattori per trovarlo.

In crittografia si utilizzano numeri primi molto grandi per creare chiavi. Supponiamo che una chiave di sicurezza venga generata moltiplicando due numeri primi distinti, $p$ e $q$. Il risultato è $N = p \cdot q$.

Se sappiamo che $N = 1591$ e che uno dei numeri primi è vicino alla radice quadrata di $N$:

1. a) Trova i valori di $p$ e $q$.
2. b) Quanti divisori totali ha il numero $N$? Giustifica la tua risposta senza elencarli.

Nel laboratorio di matematica hanno lasciato sulla lavagna una scomposizione in fattori incompleta. Aiuta a ricostruirla sapendo che il numero originale è minore di $500$.

Calcola il valore del numero originale $X$, il quoziente intermedio $Y$ e il fattore primo $P$ sapendo che $P$ è il più piccolo numero primo possibile che rende $X$ multiplo di $3$.

Trova il numero più piccolo che ha esattamente $6$ divisori, sapendo che nella sua scomposizione in fattori compaiono solo i primi due numeri primi. Spiega il tuo ragionamento analizzando gli esponenti della sua scomposizione.

L'area di un giardino rettangolare è $252$ $m^2$. Se sappiamo che le misure dei suoi lati (in metri) sono numeri naturali e che il lato più lungo è multiplo di $3$ e di $7$, ma non di $2$, utilizza la scomposizione in fattori del numero $252$ per trovare tutte le possibili dimensioni del giardino.

Dati i numeri $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ e $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$.

Senza calcolare il valore numerico di $A$ né di $B$, rispondi giustificando:

1. a) Il prodotto $A \cdot B$ è divisibile per $55$?
2. b) Il prodotto $A \cdot B$ è un multiplo di $54$?
3. c) Qual è la scomposizione in fattori del numero che si ottiene facendo $M.C.D.(A, B)$?

Cerchiamo un numero naturale sconosciuto $N$ che soddisfa contemporaneamente tre condizioni:

1. La sua scomposizione in fattori contiene solo i due numeri primi dispari più piccoli.

2. Ha esattamente $6$ divisori positivi distinti.

3. È strettamente minore di $100$ ($N < 100$).

1. a) Deduci algebricamente quali forme può avere la scomposizione in fattori di un qualsiasi numero che abbia esattamente $6$ divisori e solo due fattori primi distinti $p$ e $q$. Ricorda che se un numero si scompone come $p^a \cdot q^b$, il numero totale dei suoi divisori è $(a + 1) \cdot (b + 1)$.
2. b) Identifica quali sono i due fattori primi concreti $p$ e $q$ del nostro problema.
3. c) Trova tutti i numeri naturali $N$ che soddisfano tutte le condizioni date. Per ogni soluzione che trovi, verifica il risultato scrivendo l'elenco ordinato di tutti i suoi divisori.

Il responsabile della sicurezza di un centro civico programma il codice numerico di tre cifre $C$ del magazzino del materiale sportivo. Per renderlo facile da ricordare tramite deduzione matematica, il codice è stato ideato con i seguenti indizi:

1. Il codice $C$ è il prodotto di tre numeri primi consecutivi: $C = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ (in ordine crescente).

2. La somma di questi tre numeri primi consecutivi è esattamente $23$, cioè $p_1 + p_2 + p_3 = 23$.

3. Se al numero del codice sommiamo $5$ unità, il nuovo numero ottenuto ($C + 5$) è divisibile contemporaneamente per $2$, per $3$ e per $5$, ma non è divisibile per $9$.

1. a) Imposta una ricerca ordinata tra i numeri primi per trovare $p_1$, $p_2$ e $p_3$. A partire da essi, calcola il valore numerico del codice $C$.
2. b) Verifica che il valore ottenuto per $C$ soddisfi rigorosamente il terzo indizio analizzando il numero $C + 5$ mediante i criteri di divisibilità (senza fare divisioni in colonna).
3. c) Stabilisci, a partire dagli esponenti della scomposizione in fattori primi di $C$, quanti divisori ha in totale il codice. Si tratta di un numero primo o composto?