Esercizi: Minimo comune multiplo

Per iniziare a esercitarci, useremo il metodo di scrivere l'elenco dei multipli. Scrivi i primi $10$ multipli dei numeri $4$ e $5$ (escludendo lo zero). Poi individua qual è il minimo comune multiplo ($m.c.m.$) dei due.

Cerca il primo numero che compare in entrambi gli elenchi.

Calcola rapidamente il $m.c.m. (3, 9)$. Osserva bene la relazione tra i due numeri prima di iniziare a calcolare. Uno è multiplo dell'altro? Ragiona se in questo caso hai bisogno di fare molte operazioni.

Sullo scaffale di un fumetteria vogliono impilare volumi di "Manga" spessi $12$ mm e volumi di "Graphic novel" spessi $18$ mm. Qual è l'altezza minima a cui devono arrivare le due pile perché misurino esattamente lo stesso?

Tre campane di una chiesa suonano a intervalli diversi: la prima suona ogni $6$ minuti, la seconda ogni $9$ minuti e la terza ogni $12$ minuti. Se hanno suonato tutte e tre insieme alle $10:00$ del mattino, a che ora suoneranno di nuovo insieme?

Due atleti si allenano su una pista circolare. Lucia impiega $60$ secondi a compiere un giro completo e Adriano impiega $75$ secondi. Se partono insieme dalla linea del traguardo, quanti secondi impiegheranno a ripassare il traguardo contemporaneamente? Quanti giri avrà fatto ciascuno in quel momento?

Calcola il minimo comune multiplo delle seguenti coppie di numeri utilizzando la scomposizione in fattori primi:

1. a) $\text{m.c.m.}(10, 15)$

1. b) $\text{m.c.m.}(8, 12)$

1. c) $\text{m.c.m.}(20, 30)$

Marta sta organizzando una festa e vuole comprare dei hot dog. Le salsicce sono in confezioni da $6$ pezzi e i panini in sacchetti da $8$ pezzi. Qual è il numero minimo di hot dog che può preparare senza che le avanzi né una salsiccia né un panino? Quante confezioni di ciascun prodotto dovrà comprare?

Per calcolare il $m.c.m.(6, 18)$, Lucia scompone in fattori primi entrambi i numeri ($6 = 2 \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^2$) e applica la regola generale dei fattori comuni e non comuni con il massimo esponente. Marco, invece, afferma che non serve fare nessuna scomposizione perché si vede a colpo d'occhio che il risultato è $18$.

1. a) Spiega la proprietà teorica che usa Marco per dare la risposta immediatamente senza fare calcoli.
2. b) Potrebbe Marco usare lo stesso scorciatoia mentale per calcolare direttamente il $m.c.m.(6, 15)$? Giustifica perché in questo secondo caso conviene ricorrere al metodo della scomposizione di Lucia.

Nerea deve calcolare il $m.c.m.(12, 15)$ per svolgere un compito in classe. Sul quaderno scrive:

«Passo 1: Scompongo in fattori primi: $12 = 2^2 \cdot 3$ e $15 = 3 \cdot 5$.

Passo 2: Prendo i fattori con l'esponente minore: l'unico fattore che coincide è $3$.

Risultato: $m.c.m.(12, 15) = 3$».

1. a) Indica i due errori concettuali che commette Nerea nell'applicare il metodo. Quale concetto matematico ha in realtà calcolato nel suo Passo 2?
2. b) Correggi l'esercizio sul quaderno trovando il risultato corretto e spiega perché il numero $3$ non potrebbe mai essere un multiplo di $12$ né di $15$.

Per sbloccare un livello speciale in un videogioco matematico, devi trovare il codice di accesso. Il codice è il minimo comune multiplo dei seguenti tre numeri: $36$, $48$ e $60$.

Scomponi in fattori primi ciascun numero e calcola il codice finale.

Due luci di un palco da concerto lampeggiano a ritmi diversi. La luce arancione si accende ogni $12$ secondi e la luce bianca ogni $15$ secondi. Se entrambe le luci si sono appena accese nello stesso momento all'inizio di una canzone:

1. a) Quanti secondi impiegheranno a trovarsi di nuovo accese insieme per la prima volta?

1. b) Quante volte avranno coinciso durante i primi $3$ minuti della canzone?

La figura mostra le prime accensioni di ciascuna luce.

Un negozio di articoli sportivi riceve un carico di palloni da calcio in scatole da $15$ pezzi e di palloni da basket in scatole da $20$ pezzi. Se il negozio vuole avere lo stesso numero di palloni di ciascun tipo per una promozione:

1. a) Qual è il numero minimo di palloni di ciascun tipo che deve avere?
2. b) Quante scatole di palloni da calcio e quante di palloni da basket deve comprare per raggiungere quella quantità?

Vogliamo coprire il pavimento di uno studio di registrazione a forma di quadrato perfetto con pannelli fonoassorbenti rettangolari larghi $18$ cm e lunghi $24$ cm.

Qual è la misura minima del lato della stanza affinché possiamo posare i pannelli senza dover tagliarne nessuno? Quanti pannelli ci serviranno in totale per coprire tutto il pavimento?

Tre scuolabus partono dalla stessa stazione centrale alle $08:00$ del mattino. L'autobus della linea A passa per la stazione ogni $45$ minuti, quello della linea B ogni $60$ minuti e quello della linea C ogni $90$ minuti.

A che ora si ritroveranno di nuovo insieme i tre autobus alla stazione per la prima volta?

Trova un numero compreso tra $300$ e $400$ che sia, contemporaneamente, multiplo di $12$, $15$ e $18$. Spiega i passaggi che hai seguito per trovarlo utilizzando il concetto di minimo comune multiplo.

A una fermata dell'autobus urbano due linee coincidono alle 08:00 del mattino. La linea circolare A passa ogni $14$ minuti e la linea extraurbana B ogni $21$ minuti.

1. a) Prima di calcolare il risultato esatto, stima e delimita l'intervallo: è possibile che coincidano di nuovo prima che trascorrano $21$ minuti? E dopo $294$ minuti ($14 \cdot 21$)? Spiega perché il $m.c.m.$ di due numeri non può mai essere minore del maggiore tra essi né maggiore del loro prodotto.
2. b) Calcola il $m.c.m.(14, 21)$ mediante scomposizione in fattori primi e verifica se la tua stima era corretta.
3. c) A che ora esatta coincideranno di nuovo alla fermata per la prima volta?

Nella stazione ferroviaria di Milano Rogoredo, alle 07:00 del mattino coincidono le partenze di tre treni: un convoglio della linea S1 (partenze ogni $12$ minuti), uno della linea S5 (ogni $8$ minuti) e uno della linea S10 (ogni $20$ minuti).

1. a) Modellizza la situazione calcolando quanti minuti impiegheranno i tre treni a ripartire di nuovo contemporaneamente da quella stazione.
2. b) A che ora esatta del mattino avverrà la prossima coincidenza?
3. c) Un avviso sugli schermi della stazione afferma che i tre treni coincideranno altre quattro volte nel corso della stessa mattinata, prima delle 13:00. Verifica matematicamente se l'informazione degli schermi è vera o falsa.

Un collezionista di action figure ha meno di $1.000$ pezzi. Sa che, se li dispone in scatole da $18$, non ne avanza nessuno. Se li dispone in scatole da $20$, non ne avanza nessuno nemmeno così, e se li raggruppa da $24$ in $24$, anche il conteggio è esatto.

1. a) Qual è la quantità minima di figure che può avere?
2. b) Se sa che il numero totale di figure è compreso tra $700$ e $800$, quante figure ha esattamente?

Vogliamo costruire un cubo pieno usando mattoncini giocattolo lunghi $15$ cm, larghi $10$ cm e alti $6$ cm.

1. a) Quanto deve misurare lo spigolo del cubo più piccolo che possiamo formare senza tagliare nessun mattoncino?
2. b) Quanti mattoncini giocattolo ci serviranno in totale per costruire quel cubo?

Tre musicisti di una jazz band stanno provando uno schema ritmico. Il batterista colpisce il piatto ogni $8$ tempi, il bassista suona una nota grave ogni $12$ tempi e il pianista esegue un accordo ogni $15$ tempi.

1. a) Se iniziano la battuta insieme, a quale numero di tempo suoneranno di nuovo tutti e tre gli strumenti contemporaneamente?
2. b) Se il pianista decidesse di suonare ogni $18$ tempi invece che ogni $15$, impiegherebbero più o meno tempo a coincidere? Giustifica la risposta con dei calcoli.

Il faro di un'isola emette una luce bianca ogni $12$ secondi, e un faro vicino emette una luce rossa ogni $16$ secondi. Un terzo faro emette una luce verde ogni $20$ secondi. Alle $22:00$ si sono viste coincidere le tre luci.

1. a) Ogni quanti minuti e secondi coincidono le tre luci?
2. b) Quante volte coincideranno in totale le tre luci dalle $22:00$ alle $23:00$? (Tieni conto che la prima coincidenza è alle $22:00$).

Trova tutti i numeri naturali minori di $150$ che siano contemporaneamente multipli comuni di $4, 6$ e $9$. Per farlo:

1. a) Calcola prima il $m.c.m.(4, 6, 9)$.
2. b) Scrivi la serie dei multipli di quel valore fino a raggiungere il limite indicato.
3. c) Qual è il maggiore multiplo di questi tre numeri che sia minore di $500$?

Il minimo comune multiplo di due numeri naturali, $24$ e $b$, è uguale a $120$. Cioè, $m.c.m.(24, b) = 120$.

1. a) Scomponi in fattori primi sia il numero $24$ sia il risultato, $120$.
2. b) Deduci quale fattore primo deve necessariamente comparire nella scomposizione di $b$ e spiega perché nessun numero privo di quel fattore primo potrebbe soddisfare la condizione.
3. c) Trova i tre valori più piccoli che può assumere il numero $b$, sapendo che $b > 1$. Verifica in ciascun caso che il $m.c.m.(24, b)$ dia ancora esattamente $120$.
4. d) Potrebbe essere $b = 120$? Ragiona se è possibile basandoti sulla relazione di divisibilità tra $24$ e $120$.

Un laboratorio di ceramica a Faenza produce piastrelle rettangolari larghe $15\text{ cm}$ e lunghe $24\text{ cm}$. Vogliono posarle su una parete, senza tagliare nessun pezzo e tutte orientate nello stesso verso, per formare una superficie quadrata la più piccola possibile.

1. a) Giustifica con precisione perché la misura del lato di quel quadrato deve essere un multiplo comune di $15$ e $24$, e calcola quanto misurerà il lato del quadrato più piccolo che possono comporre.
2. b) Quante piastrelle rettangolari serviranno in totale per coprire quel primo quadrato? Giustifica la risposta mettendo in relazione le dimensioni del quadrato con quelle della piastrella.
3. c) Un cliente vuole ordinare un murale quadrato più grande, ma il laboratorio dispone solo di una scatola con $140$ piastrelle di quel modello. Ragiona se avranno pezzi sufficienti per formare la dimensione di quadrato successiva possibile senza che manchi o avanzi nessuna piastrella del murale.