Esercizi: Informazioni sulla funzione

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, esegui uno studio preliminare dei suoi elementi di base determinando:

1. a) Il dominio della funzione.

1. b) Le intersezioni con gli assi coordinati.

1. c) L'esistenza di simmetrie (indica se è pari, dispari o se non presenta simmetria).

Un gruppo di ingegneri sta monitorando la temperatura di un componente elettronico. L'andamento della temperatura $T$ (in gradi Celsius) in funzione del tempo $t$ (in minuti) è dato dalla funzione:

$T(t) = \dfrac{40t + 100}{t + 2}$ con $t \geq 0$

Si chiede di:

1. a) Trovare la temperatura iniziale del componente ($t=0$).

1. b) Determinare l'asintoto orizzontale della funzione e interpretarne il significato nel contesto del problema (temperatura a lungo termine).

Studia la monotonia (intervalli di crescenza e decrescenza) e calcola gli estremi relativi (massimi e minimi) della seguente funzione polinomiale:

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Data la funzione $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina:

1. Le equazioni dei suoi asintoti verticali e orizzontali.

2. La posizione della curva rispetto a tali asintoti mediante lo studio dei limiti laterali e all'infinito.

Analizza la curvatura della funzione $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Per farlo:

1. Trova la derivata seconda $f''(x)$.

2. Determina gli intervalli di concavità ($\cup$) e convessità ($\cap$).

3. Trova le ascisse dei punti di flesso.

Si conoscono le seguenti informazioni su una funzione $f(x)$ continua in tutto $\mathbb{R}$:

• Interseca l'asse $X$ in $x = -2$ e $x = 2$.

• Ha un minimo relativo in $(0, -4)$.

• È decrescente in $(-\infty, 0)$ e crescente in $(0, +\infty)$.

• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Disegna un grafico approssimativo che soddisfi tutte queste condizioni. Per aiutarti, ecco gli assi con i punti noti; ricopia gli assi sul foglio e traccia la curva.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Determina il periodo della funzione trigonometrica $f(x) = \sin(2x)$. Poi indica, motivando la risposta, se la funzione presenta qualche tipo di simmetria rispetto all'origine o all'asse delle ordinate.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, studia i suoi rami infiniti:

1. a) Verifica se ha asintoti verticali.

1. b) Verifica se ha asintoti orizzontali.

1. c) Se non ha asintoto orizzontale, accertati se ha un asintoto obliquo e trova la sua equazione.

In un compito in classe di quinto liceo, Marta deve analizzare la funzione razionale $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 5x + 6}$ e scrive nel suo svolgimento:

«1. Gli zeri del denominatore sono $x = 2$ e $x = 3$. Quindi il grafico ha due asintoti verticali nelle rette $x = 2$ e $x = 3$.

1. Poiché la funzione contiene termini quadratici ($x^2$) e termini noti sia al numeratore sia al denominatore, la funzione è pari e simmetrica rispetto all'asse $OY$».

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Marta e spiega con rigore matematico perché il suo ragionamento è errato in ciascun caso.
2. b) Esegui la correzione appropriata: determina il dominio reale di $f$, scomponi in fattori l'espressione per semplificarla, calcola i limiti laterali opportuni per classificare il comportamento in $x = 2$ e $x = 3$ (distinguendo tra asintoto verticale e discontinuità eliminabile) e verifica formalmente la simmetria calcolando $f(-x)$.

Considera la funzione $f(x) = \frac{4x - 1}{\sqrt{x^2 + 3}}$.

1. a) Stima motivando: prima di applicare le tecniche dei limiti, ragiona sul comportamento della funzione quando la variabile $x$ assume valori estremamente grandi in valore assoluto ($x \to +\infty$ e $x \to -\infty$). A partire da questa intuizione qualitativa:

• Stima quanti asintoti orizzontali ti aspetti di trovare e in quali valori approssimativi di $y$ si collocheranno.

• Prevedi se il grafico interseca l'asse delle ascisse ($OX$) e in quale punto dovrebbe farlo.

1. b) Verifica formalmente: calcola i limiti $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, prestando attenzione al segno che introduce la radice quadrata nel raccoglimento a fattor comune ($√{x^2} = |x|$), e deduci le equazioni esatte degli asintoti orizzontali. Trova il punto di intersezione con l'asse $OX$ e valuta se le tue stime iniziali erano corrette o se hai trascurato qualche cambio di segno.

Esegui uno studio completo della monotonia e degli estremi relativi della funzione razionale $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determina con precisione gli intervalli di crescenza e decrescenza, nonché le coordinate dei suoi massimi e minimi, se ne ha.

Considera la funzione polinomiale $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Trova gli intervalli di concavità e convessità, nonché le coordinate esatte dei suoi punti di flesso. Utilizza il simbolo $\cup$ per indicare gli intervalli in cui la funzione è convessa (concavità verso l'alto) e $\cap$ per gli intervalli in cui è concava (concavità verso il basso).

Determina tutti gli asintoti (verticali, orizzontali e obliqui) della funzione $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$. Nel caso in cui esista un asintoto obliquo, calcola la sua equazione nella forma $y = mx + n$ e studia la posizione della curva rispetto a tale asintoto quando $x \to \infty$.

Disegna lo schizzo del grafico di una funzione continua $f(x)$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti condizioni ottenute dal suo studio analitico:

• Dominio: $\mathbb{R} - \{0\}$

• Intersezioni con gli assi: $(2, 0)$ e $(-2, 0)$.

• Asintoto verticale in $x = 0$, con $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ e $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.

• Asintoti orizzontali: $y = -1$ per $x \to +\infty$ e $y = 1$ per $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ in tutto il suo dominio.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un gruppo di ingegneri monitora il livello di carica di una nuova batteria al litio mediante la funzione $B(t) = \frac{100t}{t^2 + 9} + 10$, dove $B$ è la percentuale di carica e $t$ è il tempo in ore ($t \ge 0$).

1. a) In quale istante la batteria raggiunge il suo livello massimo di carica? Giustifica che si tratta di un massimo.

1. b) A quale valore tende la carica della batteria se viene lasciata collegata indefinitamente? Giustifica la risposta mediante il calcolo di limiti.

Dato il grafico della funzione derivata $f'(x)$ mostrato di seguito (una retta che passa per i punti $(-2, 0)$ e $(0, 4)$), indica motivando:

1. a) Gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione originale $f(x)$.
2. b) L'ascissa degli estremi relativi di $f(x)$ e il loro tipo (massimo o minimo).
3. c) L'intervallo di concavità o convessità di $f(x)$.

Si considera la funzione $f(x) = \ln(x^2 + k)$, dove $k$ è un parametro reale.

1. a) Determina il valore di $k$ affinché la funzione abbia un punto di flesso in $x = 1$.
2. b) Per tale valore di $k$, studia il dominio della funzione e verifica se presenta qualche tipo di simmetria (pari o dispari).

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Calcola il valore di $a$ affinché la funzione sia derivabile in $x = 0$.
2. b) Per il valore di $a$ ottenuto, studia se la funzione ha qualche asintoto orizzontale per $x \to +\infty$.

Progetta l'espressione analitica di una funzione razionale irriducibile $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (dove $P(x)$ e $Q(x)$ sono polinomi a coefficienti reali) che soddisfi contemporaneamente le seguenti cinque condizioni:

1. Il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate ($OY$).

2. Il suo dominio è $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, con asintoti verticali in entrambe le ascisse.

3. Ha un asintoto orizzontale di equazione $y = 3$.

4. Interseca l'asse verticale delle ordinate nel punto $(0, -1)$.

5. Non interseca in nessun punto l'asse delle ascisse ($OX$).

Giustifica passo per passo come scegli il grado, le radici e i coefficienti di $P(x)$ e di $Q(x)$ per soddisfare ciascuna delle condizioni date. Infine, verifica formalmente che la funzione ottenuta presenta un estremo relativo in $(0, -1)$ mediante lo studio del segno della sua derivata prima $f'(x)$.

A partire da dati idrologici ispirati ai rapporti del Ministero dell'Ambiente e della Sicurezza Energetica, la percentuale di capacità d'acqua invasata $V(t)$ in un bacino dell'Italia meridionale nel tempo $t$ (in mesi, con $t \ge 0$, dove $t = 0$ rappresenta l'inizio di un piano speciale di gestione dopo una siccità) è modellizzata dalla funzione:

1. a) Interpreta il significato fisico del valore iniziale $V(0)$ nel contesto del problema e giustifica se ha senso cercare punti di intersezione con l'asse delle ascisse per $t \ge 0$.
2. b) Studia l'esistenza di asintoti orizzontali per $t \to +\infty$. Interpreta il loro significato in termini di gestione ambientale a lungo termine e spiega perché, secondo questo modello, il volume d'acqua immagazzinata non raggiungerà mai il $60\,\%$.
3. c) Analizza la monotonia di $V(t)$ calcolando il segno della sua derivata prima per $t > 0$. Quindi ottieni la derivata seconda $V''(t)$ e determina in quale mese esatto il ritmo di riempimento degli invasi raggiunge la sua velocità massima (punto di flesso della curva).

Si considera la funzione $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Determina i valori dei parametri reali $a$, $b$ e $c$ sapendo che sono soddisfatte contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. La retta $x = 2$ è un asintoto verticale del grafico della funzione.

2. La funzione presenta un estremo relativo nel punto di ascissa $x = 3$.

3. La retta tangente al grafico nel punto di intersezione con l'asse $OY$ è parallela alla retta $y = -2x + 5$.

Una volta trovati i parametri, studia l'esistenza di un asintoto obliquo e determina la posizione relativa della curva rispetto a esso.

Il grafico seguente corrisponde alla funzione derivata $f'(x)$ di una funzione continua $f(x)$ definita su tutto $\mathbb{R}$. A partire dalle informazioni visive fornite:

1. Indica gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione originale $f(x)$.

2. Determina le ascisse degli estremi relativi di $f(x)$ classificandoli in massimi o minimi.

3. Studia la concavità di $f(x)$ e individua i suoi punti di flesso.

4. Sapendo che $f(0) = 1$, disegna uno schizzo del grafico della funzione originale $f(x)$ giustificando la forma ottenuta.

Data la funzione $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}$, esegui uno studio completo per la sua rappresentazione grafica analizzando:

1. Dominio e punti di intersezione con gli assi coordinati.

2. Comportamento all'infinito (limiti e asintoti).

3. Intervalli di monotonia ed estremi relativi (ascisse e ordinate).

4. Punti di flesso e concavità.

5. Utilizza tutte le informazioni precedenti per disegnare il grafico della funzione, evidenziando in particolare il comportamento asintotico orizzontale.

Un gruppo di ingegneri sta progettando il profilo di una rampa di salto per una gara di skateboard. Il profilo laterale segue la curva della funzione $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ nell'intervallo $[0, 3]$.

1. Trova il punto della rampa che si trova alla minima altezza rispetto al suolo.

2. Determina i punti della rampa in cui la pendenza è massima e minima. Quale interpretazione fisica hanno questi punti nel contesto dello skateboard?

3. Studia se la funzione ha qualche punto di flesso in tale intervallo e spiega come cambia la sensazione dello skater passando per esso.

Sia la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ \ln(x^2 + 1) + ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

1. Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile in $x = 0$, sapendo che nel primo tratto il parametro $k$ assume il valore $1$.

2. Per i valori trovati, studia se la funzione possiede qualche asintoto obliquo per $x \to -\infty$. In caso affermativo, determinalo.

3. La funzione presenta qualche estremo relativo nell'intervallo $(0, +\infty)$? Giustifica la tua risposta.

Si vuole inscrivere un rettangolo di area massima nella regione del primo quadrante delimitata dall'asse $OX$, dall'asse $OY$ e dal grafico della funzione $f(x) = 4e^{-0,5x}$.

1. Esprimi l'area del rettangolo in funzione dell'ascissa $x$ di uno dei suoi vertici situati sull'asse $OX$.

2. Calcola le dimensioni di tale rettangolo affinché la sua area sia massima.

3. Disegna la situazione utilizzando il seguente schema visivo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Studia la continuità e la derivabilità della funzione $f(x) = x \cdot |x - 2|$. A partire da questo studio:

1. Esprimi la funzione come funzione definita a tratti.

2. Calcola gli intervalli di crescenza e decrescenza.

3. Determina i massimi e minimi relativi e assoluti nell'intervallo $[0, 4]$.

4. Studia la concavità e i punti di flesso. Fai particolare attenzione al punto in cui la funzione cambia definizione.

Considera la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$.

1. Analizza le sue simmetrie e il dominio.

2. Determina tutti i suoi asintoti e la posizione del grafico rispetto a essi.

3. Trova i punti del grafico in cui la retta tangente è orizzontale.

4. Dimostra che la funzione è concava in tutto il suo dominio tranne che nell'intervallo $(-1, 1)$, dove è convessa.

5. Disegna uno schizzo del grafico della funzione integrando tutti gli elementi precedenti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per studiare gli asintoti e la posizione relativa della curva rispetto a essi nella funzione razionale $f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 - 5x + 6}{x^2 - 1}$, due studenti di quinto liceo propongono metodi diversi:

• Metodo 1 (Limiti standard): calcolare direttamente gli zeri del denominatore ($x = \pm 1$) per postulare asintoti verticali, determinare l'asintoto obliquo $y = mx + n$ mediante i limiti $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$, e studiare la posizione della curva rispetto all'asintoto valutando la differenza $f(x) - (mx + n)$ in valori numerici grandi come $x = 1000$ e $x = -1000$.

• Metodo 2 (Semplificazione preliminare e scomposizione polinomiale): scomporre in fattori numeratore e denominatore per semplificare i fattori comuni prima del calcolo asintotico, ed eseguire la divisione euclidea tra polinomi per esprimere la funzione nella forma $f(x) = mx + n + \frac{R(x)}{D(x)}$.

1. a) Confronta criticamente i due metodi: quale falso presupposto commette chi applica il Metodo 1 in $x = 1$? Perché valutare in valori puntuali ($x = \pm 1000$) non costituisce una dimostrazione rigorosa della posizione della curva?
2. b) Giustifica in modo argomentato quale dei due metodi sia più sicuro, generale ed efficiente per questo tipo di funzioni.
3. c) Seguendo il metodo più conveniente, determina giustificando l'unico asintoto verticale, l'equazione dell'asintoto obliquo, la posizione relativa esatta della curva in $\pm\infty$ mediante il segno algebrico del resto e le coordinate del punto in cui esiste una discontinuità eliminabile.

Si considera una funzione $f$ continua in $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ la cui funzione derivata è:

1. a) Studia in dettaglio il segno di $f'(x)$ e deduci gli intervalli di crescenza e decrescenza di $f$, nonché le ascisse di tutti i suoi estremi relativi. Giustifica con un ragionamento perché in $x = 1$ la funzione non presenta un estremo relativo pur essendo $f'(1) = 0$.
2. b) Sapendo che la concavità di $f$ dipende dalla crescenza della stessa funzione derivata, calcola la derivata seconda $f''(x)$ semplificando al massimo l'espressione. Determina gli intervalli di concavità ($f'' < 0$) e convessità ($f'' > 0$) di $f$, trova le ascisse dei suoi punti di flesso e classifica con precisione la natura del punto singolare situato in $x = 1$.
3. c) Sapendo inoltre che $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$ e che $f(1) = 4$, dimostra in modo rigoroso che il grafico di $f$ non può intersecare la retta $y = 4$ in nessun punto dell'intervallo $(1, +\infty)$.