Esercizi: Intervalli

Nella progettazione di componenti elettronici, la tolleranza di tensione di un sensore è definita dall'insieme dei valori reali $x$ che soddisfano la seguente disuguaglianza:

$-3 \leq x < 4,5$

Esprimi questo insieme di valori utilizzando la notazione degli intervalli e indica di che tipo di intervallo si tratta (aperto, chiuso o semiaperto).

Data la seguente rappresentazione grafica sulla retta reale, scrivi l'insieme evidenziato in notazione di intervallo e in notazione di insieme (usando disuguaglianze).

Un server di dati di un'azienda tecnologica mantiene la sua temperatura ottimale di funzionamento nell'intervallo dato da $I = (-10, 35]$. Rappresenta questo intervallo sulla retta reale e determina se i seguenti valori di temperatura appartengono all'insieme:

• $a = -10$

• $b = 0$

• $c = 35$

• $d = 35,1$

Esprimi mediante un unico intervallo il risultato della seguente unione di insiemi:

$A = (- \infty, 2) \cup [0, 6]$

Aiutati con una rappresentazione grafica se lo ritieni necessario.

Determina l'intersezione dei seguenti intervalli di numeri reali:

$I_1 = [-3, 4]$

$I_2 = (0, + \infty)$

Scrivi il risultato finale sia in forma di intervallo sia di disuguaglianza.

Nello studio dei limiti, è fondamentale il concetto di intorno bucato. Se abbiamo l'intorno $E(3; 0,5)$, che rappresenta tutti i numeri reali la cui distanza dal centro $3$ è minore di $0,5$:

1. a) Scrivi questo insieme in forma di intervallo.
2. b) Scrivi l'intorno bucato $E^*(3; 0,5)$, cioè lo stesso insieme ma escludendo il punto centrale.

Collega ogni valore assoluto con il suo intervallo corrispondente:

1. $|x| \leq 3$

2. $|x| < 5$

3. $|x - 2| \leq 1$

Intervalli disponibili:

• $A = ( -5, 5)$

• $B = [ -3, 3]$

• $C = [ 1, 3]$

Scrivi in forma di intervallo il dominio di definizione di una funzione che accetta solo valori positivi di $x$ minori o uguali a $100$, ma escludendo il valore esatto $x = 25$ a causa di una singolarità tecnica. Esponi il risultato come differenza di insiemi o come unione di due intervalli.

In una verifica, Lucia deve determinare il complementare in $\mathbb{R}$ dell'intervallo di temperature di conservazione di un farmaco, dato dall'insieme $A = [-8, 2)$. Lucia scrive nel suo compito:

e argomenta: «Il complementare consiste nel capovolgere le parentesi quadre e tonde: poiché $-8$ era chiuso, lo metto aperto; poiché $2$ era aperto, lo lascio aperto; e all'infinito metto la parentesi quadra perché include tutti i numeri che seguono».

1. a) Individua e spiega in modo argomentato i due errori concettuali commessi da Lucia nel risultato (nell'estremo $2$ e nel simbolo $+\infty$). Inoltre, commenta se l'estremo $-8$ del suo risultato è corretto e se la regola di «capovolgere» che usa è valida.

1. b) Scrivi l'espressione corretta del complementare come unione di intervalli.

Il servizio meteorologico attiva l'allerta caldo in una zona della provincia di Napoli quando la temperatura massima $T$ (in $^\circ\text{C}$) si trova nell'intervallo $I_{\text{AEMET}} = [39, 44)$. Da parte sua, la normativa sul lavoro di un settore stabilisce la sospensione dei lavori pesanti all'aperto se la temperatura è almeno $41,5\,^\circ\text{C}$, il che corrisponde alla semiretta $I_{\text{lavoro}} = [41,5, +\infty)$.

1. a) Determina l'intervallo di temperature in cui coincidono contemporaneamente l'allerta meteorologica e la sospensione del lavoro ($I_{\text{AEMET}} \cap I_{\text{lavoro}}$). Giustifica se questo intervallo è aperto, chiuso o semiaperto.
2. b) Esprimi mediante una semiretta o un'unione di intervalli l'intervallo termico in cui è attiva almeno una delle due misure ($I_{\text{AEMET}} \cup I_{\text{lavoro}}$), e stabilisci se tale insieme è limitato superiormente o inferiormente.
3. c) Determina l'estremo superiore e l'estremo inferiore di $I_{\text{AEMET}}$, indicando con argomentazioni se coincidono con il suo massimo o il suo minimo.

Nel laboratorio di fisica, un sensore di precisione misura il diametro di un pezzo metallico. Il sistema di controllo accetta pezzi il cui diametro $x$ (in mm) soddisfa la seguente condizione di tolleranza espressa mediante un valore assoluto:

Rappresenta graficamente questa situazione sulla retta reale ed esprimi l'insieme dei valori ammessi sotto forma di intervallo e come intorno $E(a; r)$.

Puoi aiutarti con questa retta, dove è stato segnato solo il centro della tolleranza, $12$. Completala sul quaderno: segna gli estremi, colora i valori ammessi e indica il raggio.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Calcola l'intersezione e l'unione dei seguenti insiemi di numeri reali. Esprimi il risultato finale utilizzando la notazione degli intervalli:

$A = \{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 5\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| \leq 4\}$

Per studiare la continuità di una funzione nel punto $x = 3$, dobbiamo lavorare in un intorno bucato di tale punto con raggio di $0,1$ unità.

1. a) Scrivi la definizione di tale insieme utilizzando la notazione $E^*(a, r)$.

1. b) Esprimilo mediante una disuguaglianza che contenga un valore assoluto.

1. c) Rappresentalo come unione di due intervalli aperti.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$, determina il suo dominio di definizione ed esprimilo come unione di intervalli. Successivamente, indica se il valore $x = 3,0001$ appartiene a un intorno di centro $3$ e raggio $\delta = 0,001$.

Un drone di sorveglianza deve mantenere una quota di volo $h$ (in metri) in modo che la sua distanza dall'altezza di sicurezza di $100$ metri sia sempre inferiore a $5$ metri, ma per motivi di turbolenza non può volare esattamente a $100$ metri.

Esprimi la condizione sulla quota $h$ mediante:

1. a) Un intorno bucato.
2. b) Una disuguaglianza con valore assoluto.
3. c) Un'unione di intervalli.

Nella definizione formale di limite, quando diciamo che $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$, affermiamo che per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $\delta>0$ tale che, se $0<|x-2|<\delta$, allora $|f(x)-5|<\varepsilon$. Prendiamo $\varepsilon = 0,2$, che determina un intorno di $5$ sull'asse $Y$. Il grafico mostra la funzione $f(x) = 2x + 1$ e il punto della curva con $x = 2$.

1. a) Determina l'intervallo corrispondente all'intorno $E(5; 0,2)$.

1. b) Sapendo che la funzione è $f(x) = 2x + 1$, trova l'intervallo di valori di $x$ sull'asse $X$ le cui immagini cadono all'interno dell'intervallo ottenuto nel punto precedente.

Dati gli intervalli $I = (-\infty, 4]$ e $J = (-2, +\infty)$, esegui le seguenti operazioni ed esprimi il risultato in notazione di intervalli e in forma grafica:

1. a) $I \cap J$
2. b) $I \cup J$
3. c) $\mathbb{R} - (I \cap J)$

Determina l'insieme dei valori di $x$ che soddisfano la seguente disequazione di secondo grado, esprimendo il risultato come intervallo o unione di intervalli:

Questo insieme è un intorno di qualche numero reale? Giustifica la risposta calcolando il centro e il raggio, se possibile.

Si vuole progettare l'espressione algebrica di una funzione reale $f(x)$ che modelli la risposta di un sensore e combini una radice quadrata, un logaritmo e un denominatore della forma:

in modo che il suo dominio esatto di definizione sia l'insieme $D = (3, 4) \cup (4, 9]$.

1. a) Deduci in modo giustificato quali valori numerici devono assumere le costanti reali $a$ e $k$.
2. b) Dimostra passo dopo passo che l'intersezione delle tre restrizioni analitiche (radicando di indice pari maggiore o uguale a zero, argomento del logaritmo strettamente positivo e denominatore non nullo) dà esattamente come risultato l'insieme $D$.
3. c) Indica l'estremo superiore, l'estremo inferiore, il massimo e il minimo dell'insieme $D$ (o giustifica quali di essi non esistono).

Considera la funzione reale $g(x) = \sqrt{x^2 - 9} + \frac{1}{\ln(7 - x)}$.

1. a) Stima: prima di risolvere le disequazioni formali, analizza per semplice ispezione i valori interi $x = -4$, $x = 0$, $x = 3$, $x = 6$ e $x = 7$. Giustifica quali di essi non possono appartenere al dominio (indicando quale condizione non rispettano) e quali sì. Sulla base di questa prova, congettura se la semiretta di valori molto negativi, $(-\infty, -3]$, farà parte del dominio.
2. b) Verifica: determina formalmente il dominio di $g(x)$ impostando e risolvendo l'intersezione delle tre condizioni analitiche (radicando $\ge 0$, argomento del logaritmo $> 0$ e denominatore $\ne 0$). Esprimi il risultato finale in notazione di intervalli.
3. c) Valuta: confronta il dominio esatto ottenuto con la tua stima iniziale e spiega perché l'estremo $3$ è incluso con la parentesi quadra mentre l'estremo $6$ è escluso con la parentesi tonda.

Determina l'insieme dei valori reali $x$ che soddisfano simultaneamente la seguente disequazione razionale e l'intervallo definito dal valore assoluto. Esprimi il risultato finale in forma di intervallo o unione di intervalli:

Nella progettazione di un componente di precisione per un telescopio, il raggio di curvatura $R$ deve appartenere al dominio della seguente funzione per garantire la stabilità strutturale. Determina tale dominio ed esprimilo come unione di intervalli:

$f(R) = \sqrt{\frac{\ln(R^2 - 8)}{R - 4}}$

Si definisce un intorno del punto $a = 3$ mediante l'espressione $|x - 3| < \delta$. Determina il valore massimo di $\delta$ affinché tutti i punti $x$ di tale intorno abbiano i loro quadrati, $x^2$, a una distanza minore di $0,5$ dal valore $9$. Cioè, risolvi l'implicazione:

Determina l'insieme delle soluzioni della seguente disequazione con valori assoluti annidati. Rappresenta la soluzione sulla retta reale e specifica se si tratta di un insieme limitato, indicando, in caso affermativo, il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore:

Determina il valore del parametro reale $k > 0$ affinché l'intersezione degli insiemi $A$ e $B$ sia un intervallo di lunghezza esattamente uguale a $3$ unità, essendo:

Suggerimento: esprimi $A$ e $B$ come intervalli della retta reale e studia, in base al valore di $k$, come risulta $A \cap B$.

Un sensore di controllo termico in un impianto di trattamento della biomassa funziona correttamente finché la temperatura $T$ (in $^\circ\text{C}$) soddisfa la condizione $T \in [90, 150]$. Se la temperatura del processo varia nel tempo secondo la funzione $T(t) = t^2 - 20t + 175$, dove $t$ è il tempo in minuti ($t \geq 0$), determina gli intervalli di tempo durante i quali il sensore rileva una temperatura fuori dal suo intervallo di funzionamento.

Siano $S_1$ e $S_2$ gli insiemi definiti dalle seguenti condizioni. Calcola in modo esatto l'insieme risultante dall'operazione $(S_1 \cup S_2)^c$ (complementare dell'unione):

Considera la funzione $g(x) = \log_2\left( |x^2 - 1| - 2 \right)$.

1. a) Determina l'insieme dei valori reali di $x$ per i quali la funzione non è definita.

1. b) Esprimi tale insieme come un intervallo o come unione di intervalli.

1. c) Classifica ciascun intervallo ottenuto come aperto, chiuso o semiaperto.

Per calcolare il dominio della funzione $h(x) = \sqrt{\ln\left(\frac{3x - 12}{x + 2}\right)}$, due studenti propongono strade diverse:

• Strategia 1 (intersezione sistematica): risolvere separatamente la condizione del logaritmo, $\frac{3x - 12}{x + 2} > 0$, ottenendo l'insieme $S_1$; risolvere poi la condizione del radicando, $\ln\left(\frac{3x - 12}{x + 2}\right) \geq 0 \iff \frac{3x - 12}{x + 2} \geq 1$, ottenendo l'insieme $S_2$; e infine calcolare $S_1 \cap S_2$.

• Strategia 2 (implicazione logica): argomentare che se un'espressione soddisfa $\frac{3x - 12}{x + 2} \geq 1$, allora è necessariamente maggiore di zero, per cui la condizione del logaritmo è assorbita da quella del radicando e basta risolvere direttamente $\frac{3x - 12}{x + 2} \geq 1$ facendo attenzione che $x + 2 \neq 0$.

1. a) Valuta con argomentazioni se la Strategia 2 è matematicamente rigorosa o se comporta il rischio di omettere soluzioni o punti critici.
2. b) Applica la strategia che ritieni più efficiente per ottenere il dominio di $h(x)$ sotto forma di intervalli.
3. c) Determina il complementare in $\mathbb{R}$ del dominio ottenuto e stabilisci se tale complementare è un insieme limitato, indicando il suo estremo superiore e inferiore se esistono.

In un impianto chimico di Taranto, la stabilità di una reazione dipende dalla pressione $x$ (in bar) attraverso l'indice analitico:

Il protocollo di sicurezza richiede che l'impianto operi esclusivamente all'interno del dominio di definizione matematica di $S(x)$ e, inoltre, al di fuori dell'intervallo di risonanza meccanica $R = [3,5; 4,8]$.

1. a) Determina l'insieme ammissibile delle pressioni (il dominio di $S(x)$) mediante l'intersezione ragionata delle condizioni sulla radice quadrata, sull'argomento del logaritmo e sul denominatore. Esprimi il risultato come unione di intervalli.
2. b) Determina l'insieme operativo sicuro $C = \text{Dom}(S) \setminus R$. Presta particolare attenzione al carattere aperto o chiuso di ciascun estremo risultante e giustifica perché ciascuno di essi è incluso o escluso.
3. c) Dimostra se l'insieme $C$ è limitato superiormente e inferiormente. Determina in modo giustificato il suo estremo superiore, il suo estremo inferiore e stabilisci se qualcuno di essi è massimo o minimo di $C$.