Esercizi: Integrazione per sostituzione

Un gruppo di ingegneri del suono sta analizzando l'onda di pressione di un nuovo sintetizzatore. La funzione che descrive l'accumulo di energia è data dall'integrale di una potenza composta. Calcola la seguente primitiva utilizzando la sostituzione $t = 3x - 5$:

Per calcolare l'area di una sezione di un pannello solare curvo, un architetto deve risolvere un integrale irrazionale. Ottieni la primitiva della seguente funzione effettuando la sostituzione suggerita $t = 2x + 1$:

Nella progettazione di una rampa per uno skatepark si utilizza una curva esponenziale per rendere più dolce la transizione. Trova la famiglia delle primitive della seguente espressione utilizzando la sostituzione $u = \frac{x}{2}$:

Un programmatore di videogiochi sta calcolando la traiettoria oscillatoria di un proiettile in un'atmosfera con resistenza. Determina la primitiva della seguente funzione trigonometrica mediante la sostituzione $t = 4x$:

Calcola la primitiva della funzione $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ effettuando la sostituzione $t = 5x + 2$. Ricorda che questo metodo ti permetterà di ottenere un integrale di tipo logaritmico in modo più ordinato.

A volte la sostituzione ci aiuta a semplificare espressioni in cui una funzione e la sua derivata compaiono moltiplicate. Risolvi il seguente integrale scegliendo la sostituzione $t = x^2 + 3$:

Calcola la primitiva della seguente funzione utilizzando la sostituzione $t = e^x$. Osserva come la presenza della derivata dell'esponenziale al numeratore faciliti la risoluzione:

Determina la primitiva della funzione $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante la sostituzione $t = \ln(x)$. Questo esercizio è fondamentale per individuare i casi in cui il differenziale $dt$ assorbe parte dell'espressione originale.

Marco deve calcolare la primitiva della funzione $f(x) = (4x - 1)^5$ e scrive nel compito:

giustificando di aver applicato la regola della potenza sommando 1 all'esponente e dividendo per il nuovo esponente.

1. a) Dimostra, derivando il risultato ottenuto da Marco, perché la sua primitiva è errata.
2. b) Spiega quale elemento essenziale della regola di derivazione della funzione composta ha dimenticato di compensare nel suo svolgimento.
3. c) Ottieni la primitiva corretta aggiustando la costante mancante in modo che compaia la derivata della base oppure, in alternativa, applicando la sostituzione formale $u = 4x - 1$.

Per calcolare la famiglia delle primitive della funzione razionale $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 4}$, due studenti propongono strade diverse:

• Elena sostiene che l'integrale sia «quasi immediato» perché il numeratore è esattamente la derivata del denominatore, quindi applica direttamente la formula $\int \frac{u'(x)}{u(x)}\, dx = \ln|u(x)| + C$.

• Sergio diffida dal risolverlo a colpo d'occhio e preferisce applicare formalmente il metodo di sostituzione definendo $u = x^2 + 4$, trovando $du$ e ricavando $dx$ per trasformare l'integrale.

1. a) Sviluppa in dettaglio la risoluzione seguendo il procedimento di Elena e anche quello di Sergio.
2. b) Confronta i due metodi e giustifica perché quello di Elena fa risparmiare tempo in questo caso specifico senza rischio di errore, indicando inoltre in quali circostanze algebriche il procedimento sistematico di Sergio risulta più sicuro.

Nella progettazione di una rampa per uno skatepark, gli ingegneri hanno stabilito che il profilo laterale segue il coefficiente angolare di una funzione la cui primitiva richiede di risolvere il seguente integrale. Utilizza la sostituzione $t^2 = x + 3$ per calcolare la famiglia delle primitive di:

Un laboratorio di biologia studia la velocità di crescita di una popolazione di batteri. La funzione di crescita è data da un'espressione che richiede di integrare il seguente quoziente. Calcola la primitiva utilizzando la sostituzione $t = e^x$:

Nello studio dei circuiti in corrente alternata compare spesso la necessità di integrare funzioni trigonometriche combinate. Trova la primitiva della seguente funzione effettuando la sostituzione $t = \cos x$:

Per analizzare l'intensità di un segnale acustico in decibel, un tecnico del suono deve trovare la funzione integrale della pressione sonora. Calcola il seguente integrale indefinito applicando la sostituzione $t = \ln x$:

Calcola la primitiva della seguente funzione con radicali di indice diverso. Per farlo, utilizza una sostituzione del tipo $x = t^n$, dove $n$ sia il minimo comune multiplo degli indici delle radici:

Trova la famiglia delle primitive della seguente funzione razionale che contiene una radice quadrata al denominatore. Si suggerisce di usare la sostituzione $t = \sqrt{x - 1}$ per semplificare l'espressione:

Un drone di sorveglianza si muove in modo che la sua velocità in ogni istante $t > 1$ sia data dalla funzione $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Sapendo che la posizione è l'integrale della velocità, trova l'espressione della distanza percorsa mediante la sostituzione $u = \ln t$:

Calcola il seguente integrale indefinito mediante la sostituzione $t = \sin x$. Fai attenzione a come trasformare il differenziale e le potenze restanti di $\cos x$ utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria:

Durante un episodio di temperature elevate registrato dall'Aeronautica Militare a Palermo, la potenza aggiuntiva richiesta alla rete elettrica a causa dell'uso intensivo dei sistemi di climatizzazione varia secondo il tasso di variazione istantaneo:

dove $t$ è il tempo misurato in ore trascorse dalle 12:00 ($0 \le t \le 6$) e $p(t)$ è espressa in megawatt per ora ($\text{MW/h}$).

1. a) Modellizza la funzione di energia accumulata consumata calcolando la famiglia di primitive $E(t) = \int p(t)\, dt$ mediante la sostituzione $u = t^2 + 16$.
2. b) Sapendo che alle 12:00 ($t = 0$) il contatore di energia accumulata segnava $240\text{ MWh}$, determina in modo motivato il valore della costante di integrazione $C$ e scrivi la funzione particolare $E(t)$.
3. c) A partire dalla funzione ottenuta, calcola quanti megawatt-ora ($\text{MWh}$) aggiuntivi ha consumato la zona tra le 12:00 ($t = 0$) e le 15:00 ($t = 3$).

Un gruppo di docenti progetta una verifica con una sfida inversa sulle primitive composte di tipo potenza. Vogliono che la soluzione di un integrale indefinito sia:

e che provenga dall'integrazione di una funzione razionale della forma:

dove $a$ e $b$ sono costanti reali fissate.

1. a) Deriva la funzione $F(x)$ applicando la regola di derivazione della funzione composta e deduci i valori numerici esatti dei parametri $a$ e $b$ affinché valga $\int f(x)\, dx = F(x)$.
2. b) Generalizza il ragionamento: quale relazione di proporzionalità deve necessariamente sussistere tra il numeratore $m \cdot x + n$ e la derivata del polinomio al denominatore affinché qualsiasi integrale del tipo $\int \frac{m \cdot x + n}{(x^2 + 4x + 7)^k}\, dx$ (con $k > 1$) possa essere risolto come una potenza immediata di tipo $u'(x) \cdot [u(x)]^{-k}$ senza ricorrere alla scomposizione in fratti semplici?

Calcola l'integrale indefinito della seguente funzione, che rappresenta la velocità di variazione del volume d'aria nei polmoni di uno sportivo durante un allenamento ad alta intensità:

Per risolverlo, proponi un cambio di variabile che elimini la radice quadrata dal denominatore.

Determina la famiglia di primitive della funzione $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.

Nella progettazione di una rampa per uno skatepark, un ingegnere deve trovare la primitiva della funzione di pendenza definita da:

Esegui il cambio di variabile adeguato per trasformare questo integrale trigonometrico in un integrale razionale e risolvilo mediante scomposizione in frazioni semplici.

Trova la primitiva della funzione $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ che passa per il punto $(0, 0)$. Per farlo, utilizza il cambio di variabile $t^2 = e^x + 1$ e ricorda di tornare alla variabile originale al termine del procedimento.

La velocità di un drone da ricognizione è data dall'espressione $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, dove $t$ è il tempo in secondi ($t > 0$). Se si sa che nell'istante iniziale della misurazione ($t=1$) il drone si trovava nella posizione $s=0$, ottieni la funzione di posizione $s(t)$ mediante il cambio di variabile $u = \ln t$.

Calcola l'integrale indefinito $\int \sqrt{e^x - 1} dx$.

Suggerimento: esegui il cambio di variabile $\sqrt{e^x - 1} = t$. Dovrai ricavare $x$ e calcolare con attenzione il suo differenziale $dx$.

Un gruppo di architetti sta modellizzando la curvatura di una nuova galleria la cui sezione trasversale risponde all'integrale:

Calcola la primitiva generale utilizzando la sostituzione $t = \sqrt{x+1}$.

Risolvi il seguente integrale che combina logaritmi annidati, tipico delle sfide di fine unità di livello avanzato:

Indica passo dopo passo i due cambi di variabile successivi che eseguiresti per semplificare l'espressione fino a trasformarla in un integrale immediato.

Considera la funzione $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}$, definita per $x \ge 0$, la cui primitiva $F(x)$ verifica la condizione iniziale $F(0) = 0$.

1. a) Stima: analizza in modo argomentato come si comporta il rapporto $\frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}$ quando la variabile $x$ assume valori estremamente grandi ($x \to +\infty$). A partire da tale valore limite della funzione integranda, deduci quale tipo di crescita asintotica (lineare, logaritmica, potenza...) deve presentare la primitiva $F(x)$ e stima in modo argomentato quale dovrebbe essere il coefficiente angolare asintotico del suo grafico per valori grandi di $x$.
2. b) Calcola: ottieni la primitiva formale $\int \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}\, dx$ utilizzando il cambio di variabile $t = \sqrt{x}$ (cioè $x = t^2$, $dx = 2t\, dt$). Successivamente, determina la funzione concreta $F(x)$ imponendo la condizione $F(0) = 0$.
3. c) Verifica: studia il termine dominante della funzione $F(x)$ ottenuta nel punto precedente quando $x \to +\infty$ e argomenta se il risultato analitico conferma o smentisce la stima che hai fatto nel punto a).

Per risolvere la primitiva $I = \int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}\, dx$, il dipartimento di matematica propone di confrontare due diversi cambi di variabile:

• Strategia A (sostituire il radicando): definire $u = e^x + 1$, in modo che il radicando sia $u$, e trasformare gli altri elementi della funzione integranda operando con potenze ad esponente frazionario.

• Strategia B (sostituire l'intera radice): definire $t = \sqrt{e^x + 1}$ (o, equivalentemente, $t^2 = e^x + 1$), ricavare le potenze di $e^x$ e differenziare $2t\, dt = e^x\, dx$ per eliminare ogni radice dalla funzione integranda fin dal primo passaggio.

1. a) Sviluppa completamente la Strategia A, dettagliando come sostituisci $e^{2x}$ e $dx$, integrando nella variabile $u$ e tornando indietro fino a esprimere la soluzione finale in funzione di $x$.
2. b) Sviluppa completamente la Strategia B, scrivendo l'integrale risultante come un polinomio nella variabile $t$, integrando e tornando alla variabile originale $x$.
3. c) Confronta i due sviluppi: verifica se conducono a espressioni equivalenti, spiega quali vantaggi operativi comporta eliminare alla radice gli esponenti frazionari rispetto al metodo standard e giustifica quale delle due strategie risulta più robusta per evitare errori di calcolo in una verifica.