Esercizi: Integrazione di funzioni razionali fratte

Calcola il seguente integrale indefinito osservando che il numeratore è, o si può trasformare facilmente nella, derivata del denominatore:

Un gruppo di giovani ingegneri sta monitorando il flusso di dati di un server. La velocità di crescita dei dati archiviati (in GB/min) è data dalla funzione $v(t) = \frac{4}{t + 1}$, dove $t$ è il tempo in minuti. Ottieni l'espressione generale della funzione di archiviazione dei dati $S(t)$.

Determina l'integrale indefinito della seguente funzione, la cui forma corrisponde a una primitiva di tipo arcotangente:

Scomponi in frazioni semplici la funzione integranda per calcolare l'integrale di questa funzione razionale con radici reali semplici al denominatore:

Calcola la primitiva della funzione $g(x)$ eseguendo un aggiustamento preliminare al numeratore per ottenere una parte intera e una parte frazionaria:

Nello studio dei circuiti elettrici in corrente alternata, l'intensità di corrente $i(t)$ in ampere si modellizza spesso mediante funzioni che combinano esponenziali e trigonometriche. Supponiamo che la velocità di variazione della carica di un condensatore sia data dalla funzione:

Calcola l'insieme di tutte le funzioni primitive $F(t)$ associate a questa intensità mediante il metodo di integrazione per parti. Tieni presente che questo tipo di integrali si risolve con il metodo "iterativo" o "ciclico".

Trova l'espressione analitica di una funzione $f(x)$ tale che la sua derivata seconda sia $f''(x) = x \cdot \operatorname{sen}(x)$, sapendo che la retta tangente alla curva nell'origine delle coordinate è l'asse delle ascisse stesso.

Trova la funzione $f(x)$ che soddisfa la condizione di essere continua in tutto il dominio di definizione dei suoi rami, sapendo che la sua derivata è data da:

e che $f(1) = 1$. Dovrai integrare per parti il secondo ramo e determinare il valore delle costanti di integrazione per garantire la continuità in $x = 0$.

Un oggetto si muove lungo una retta con un'accelerazione dipendente dal tempo definita da $a(t) = \ln(t+1)$. Se nell'istante iniziale ($t=0$) l'oggetto era fermo e si trovava nella posizione $s=10$ metri, determina l'equazione della posizione $s(t)$ in un qualsiasi istante $t$.

Nota: ricorda che la velocità è l'integrale dell'accelerazione e la posizione è l'integrale della velocità. Entrambi gli integrali richiedono l'uso del metodo di integrazione per parti.

Alba deve calcolare la primitiva $\int \frac{2x^2 - 3}{x^2 - 1} \, dx$. Nel suo compito scrive il seguente svolgimento:

«Poiché il denominatore si scompone in $(x-1)(x+1)$, imposto direttamente la scomposizione:

Moltiplicando per il denominatore comune: $2x^2 - 3 = A(x+1) + B(x-1)$.

• Se $x = 1 \implies -1 = 2A \implies A = -1/2$.

• Se $x = -1 \implies -1 = -2B \implies B = 1/2$.

Quindi, l'integrale è $-\frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$».

1. a) Senza ancora calcolare l'integrale corretto, spiega in modo argomentato perché l'impostazione algebrica iniziale di Alba è errata e quale condizione fondamentale sui gradi dei polinomi ha ignorato.
2. b) Deriva il risultato finale ottenuto da Alba e verifica che non coincide con la funzione integranda originale, individuando quale termine manca.
3. c) Risolvi l'integrale in modo corretto eseguendo la divisione tra polinomi preliminare e la scomposizione corrispondente.

Per risolvere l'integrale indefinito $I = \int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 10} \, dx$, due compagni di classe propongono strade diverse:

• Marco afferma: «Il denominatore ha due radici reali distinte, $x = 2$ e $x = -5$. Quindi dobbiamo necessariamente scomporre la frazione in $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+5}$, calcolare $A$ e $B$, e integrare la somma dei due logaritmi risultanti».

• Lucia risponde: «Quel procedimento è inutilmente lungo per questo caso concreto; l'integrale si può risolvere in una sola riga in modo quasi immediato senza bisogno di scomporre nulla».

1. a) Analizza entrambe le posizioni: sono matematicamente valide tutte e due? Giustifica quale sia la più efficiente e quale proprietà o struttura della funzione integranda permette di applicare il metodo diretto di Lucia.
2. b) Risolvi l'integrale applicando il metodo di Lucia.
3. c) Modifica leggermente il numeratore dell'integrale (mantenendo lo stesso denominatore $x^2 + 3x - 10$) in modo che la strategia di Lucia non sia più direttamente applicabile e sia indispensabile ricorrere al metodo delle frazioni semplici di Marco. Risolvi poi il nuovo integrale che hai proposto.

Utilizza il metodo di integrazione per parti per risolvere il seguente integrale. Ricorda di scegliere opportunamente $u$ e $dv$ seguendo la regola mnemonica ALPES:

$\displaystyle \int x \cdot e^x dx$

Risolvi il seguente integrale con il metodo di integrazione per parti:

$\displaystyle \int (x + 2) \cdot \cos(x) dx$

Calcola la primitiva della funzione logaritmo naturale utilizzando il metodo di integrazione per parti, prendendo $u = \ln(x)$ e $dv = dx$:

$\displaystyle \int \ln(x) dx$

Un gruppo di ingegneri sta analizzando il ritmo di scarica della batteria di un nuovo prototipo di drone. Hanno determinato che la funzione che rappresenta la velocità di variazione della carica (in mAh al minuto) è data da $f(t) = 3t^2 - \frac{4}{t+1} + \sqrt{t}$, dove $t$ è il tempo in minuti.

Trova la funzione di carica totale $F(t)$, sapendo che nell'istante iniziale ($t = 0$) la carica del drone era di $2500$ mAh.

Un'azienda di componenti elettronici stima che il suo costo marginale (il costo di produrre un'unità aggiuntiva) segua la funzione $C'(x) = x \cdot \ln(x)$, dove $x$ è il numero di migliaia di unità prodotte.

Determina la funzione di costo totale $C(x)$ sapendo che i costi fissi (costo quando $x = 1$, in questo modello semplificato) sono di $10$ mila euro.

Trova la primitiva della funzione $g(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ che passa per l'origine delle coordinate. Dovrai applicare il metodo di integrazione per parti due volte consecutive.

Trova l'integrale indefinito $\int e^{2x} \cdot \sin(x) \, dx$.

Questo tipo di integrali si dice "ciclico". Applica il metodo di integrazione per parti finché non ricompare l'integrale originale e ricava il valore dell'integrale stesso.

Si considera la funzione razionale $f(x) = \dfrac{x + 4}{x^2 - 1}$, definita per $x \in [2, 4]$. Si vuole studiare la funzione primitiva $F(x) = \int f(x) \, dx$ che verifica la condizione $F(2) = 0$, e in particolare determinare il valore di $F(4)$.

1. a) Verifica che $f(x)$ è strettamente decrescente e positiva nell'intervallo $[2, 4]$ calcolando i valori esatti di $f(2)$ e $f(4)$. A partire da tali valori, fai una stima argomentata dell'incremento $F(4) - F(2)$ limitandolo tra un valore minimo e un valore massimo (suggerimento: considera l'area sotto una curva decrescente confrontandola con rettangoli inferiore e superiore costruiti sulla base dell'intervallo $[2, 4]$).
2. b) Calcola l'espressione analitica esatta della primitiva $F(x)$ mediante la scomposizione in frazioni semplici e determina il valore della costante di integrazione con la condizione data.
3. c) Utilizzando le approssimazioni $\ln 3 \approx 1,099$ e $\ln 5 \approx 1,609$, calcola il valore numerico di $F(4)$ e verifica se la tua stima preliminare del punto a) è stata coerente e corretta.

Data la funzione razionale $f(x) = \dfrac{a x^2 + b x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1}$, dove $a$ e $b$ sono coefficienti reali:

1. a) Scomponi in fattori il denominatore indicando le radici e il loro ordine di molteplicità, e scrivi la struttura teorica della sua scomposizione in frazioni semplici.
2. b) Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché siano soddisfatte contemporaneamente le due condizioni seguenti:

1. Nella famiglia di primitive di $f(x)$, il coefficiente del termine logaritmico $\ln|x-1|$ è uguale a zero.

2. La retta tangente al grafico di una qualsiasi primitiva $F(x)$ nel punto di ascissa $x = 2$ ha coefficiente angolare $m = 1$.

1. c) Con i valori di $a$ e $b$ trovati nel punto precedente, ottieni l'espressione della primitiva specifica $F(x)$ il cui grafico passa per il punto $P(2, 3)$.

Calcola la primitiva della funzione $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ che passa per il punto $P(2, 5)$. Tieni presente che, a causa dei gradi dei polinomi, dovrai eseguire prima una divisione e poi scomporre la frazione rimanente considerando l'esistenza di radici reali multiple.

Determina l'integrale indefinito della funzione $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Per risolvere questo esercizio, dovrai scomporre completamente in fattori il denominatore nel campo dei numeri reali e decomporre la frazione in una somma che comprenda termini con radici reali semplici e un termine con radici complesse di tipo arcotangente.

Un gruppo di ingegneri sta monitorando il flusso di refrigerante in una centrale termica. La velocità di variazione del volume di liquido rispetto al tempo $t$ è data dalla funzione $v(t) = \dfrac{4t + 10}{t^2 + 4t + 13}$. Trova l'espressione del volume totale $V(t)$ sapendo che nell'istante iniziale ($t=0$) il serbatoio conteneva $100$ litri.

Nota: osserva che il denominatore non ha radici reali, quindi la soluzione combinerà un logaritmo naturale e un arcotangente.

Si vuole trovare una funzione $F(x)$ la cui derivata è $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)^3}$. Trova tale funzione sapendo che il suo grafico passa per il punto $(0, 2)$. Questo problema richiede l'uso di frazioni semplici con radici reali di molteplicità tre.

Calcola l'integrale indefinito $\displaystyle \int \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x^2 + x + 1} \, dx$.

Per farlo, osserva che il denominatore si può scomporre con la regola di Ruffini o per raccoglimento parziale, ottenendo il prodotto di un fattore lineare e di un fattore quadratico irriducibile.

Determina i valori dei parametri $A$, $B$ e $C$ affinché la seguente uguaglianza sia vera e, successivamente, calcola la primitiva di $f(x)$ che si annulla in $x=0$:

Un'indagine di mercato analizza il ritmo di crescita delle vendite di un nuovo modello di monopattino elettrico. La funzione che descrive la velocità di variazione delle vendite (in centinaia di unità al mese) è data da:

$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$

Dove $x$ è il tempo in mesi. Calcola la famiglia di funzioni delle vendite totali $F(x)$ ottenendo la primitiva di tale funzione. (Nota: esegui prima la divisione tra polinomi).

Calcola l'integrale indefinito della seguente funzione razionale scomponendola in frazioni semplici, sapendo che il suo denominatore presenta una radice reale doppia:

$\displaystyle \int \dfrac{5x - 2}{x^2 - 4x + 4} \, dx$

Determina l'integrale della seguente funzione razionale scomponendola prima in una somma di frazioni più semplici:

$\displaystyle \int \dfrac{x + 7}{x^2 + 4x + 3} \, dx$

Negli integrali di tipo arcotangente, a volte è necessario manipolare il denominatore. Calcola la seguente primitiva completando il quadrato al denominatore in modo che assuma la forma del tipo $\int \frac{u'}{1+u^2} dx$:

$\displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 2x + 5} \, dx$

Si sa che il coefficiente angolare della retta tangente a una curva in un qualsiasi punto $(x, y)$ è dato dall'espressione $m = \dfrac{x^3 + x^2}{x^2 + 1}$. Trova l'equazione di tale curva sapendo che passa per il punto $(0, 1)$.

Durante un episodio di disgelo primaverile nelle Alpi, i tecnici dell'Autorità di bacino del Po monitorano l'apporto straordinario di acqua a un bacino artificiale. La portata netta in ingresso viene modellizzata nei primi giorni mediante la funzione:

dove $t \ge 0$ è il tempo trascorso in giorni e $q(t)$ si misura in ettometri cubi al giorno ($\text{hm}^3/\text{giorno}$).

1. a) Esegui la divisione tra polinomi per scomporre $q(t)$ nella somma di un polinomio e di una frazione razionale propria con denominatore irriducibile. Determina l'equazione dell'asintoto obliquo della funzione e interpreta il suo significato rispetto all'andamento a lungo termine della portata.
2. b) Trova la funzione $V(t)$ che descrive il volume totale straordinario accumulato nel bacino dall'inizio dell'episodio ($t=0$), sapendo che $V(0) = 0$. Mostra con chiarezza come scomponi la frazione propria rimanente in un termine logaritmico e in uno associato all'arcotangente.
3. c) Il protocollo di sicurezza della diga stabilisce che deve essere aperto preventivamente uno sfioratore se il volume accumulato supera i $10\text{ hm}^3$ al termine del secondo giorno ($t=2$). Prendendo le approssimazioni $\ln 5 \approx 1,61$ e $\arctan 2 \approx 1,11\text{ rad}$, valuta numericamente $V(2)$ e giustifica in modo quantitativo se l'Autorità di bacino debba o meno ordinare l'apertura dello sfioratore in quell'istante.

Si considera la famiglia di funzioni razionali dipendenti da un parametro reale $m$:

1. a) Ottieni la scomposizione in frazioni semplici di $f_m(x)$ esprimendo i coefficienti dei numeratori in funzione di $m$.
2. b) Uno studente avanza la seguente congettura: «Scegliendo opportunamente il valore di $m$, è possibile far sì che la primitiva $\int f_m(x) \, dx$ sia una funzione puramente razionale algebrica, cioè che non contenga alcun termine logaritmico». Dimostra analiticamente che la congettura dello studente è FALSA: verifica che la somma dei tre coefficienti della scomposizione è costante e indipendente da $m$, e deduci perché non possono annullarsi tutti contemporaneamente per nessun valore di $m$.
3. c) Trova l'unico valore di $m$ che annulla il coefficiente del termine $\ln|x+2|$ nella primitiva. Per tale valore di $m$, calcola la primitiva $F(x)$ che verifica $F(2) = 0$, scrivi la sua espressione per $x > 1$ raggruppando i termini in un unico logaritmo mediante le sue proprietà, e calcola e interpreta il limite $\lim_{x \to 1^+} F(x)$.