Esercizi: Funzione derivata

Un pattinatore si muove su una pista seguendo una traiettoria la cui posizione (in metri) è data dalla funzione $s(t) = t^2 + 3t$, dove $t$ è il tempo in secondi. Calcola, utilizzando la definizione di derivata come limite, la velocità istantanea del pattinatore all'istante $t = 2$ secondi.

Calcola la funzione derivata delle seguenti funzioni elementari utilizzando le regole di derivazione:

1. a) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{1}{x^3} + \sqrt{x}$

1. c) $h(x) = 3e^x - 2\cos(x)$

Trova l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 1$ nel punto di ascissa $x = 3$.

Data la funzione $f(x) = x \cdot \ln(x)$, calcola la sua derivata $f'(x)$ applicando la regola del prodotto e determina il valore del coefficiente angolare della curva nel punto in cui $x = e$.

Si sta progettando una rampa di accesso per uno skatepark. Il profilo laterale della prima sezione segue la funzione $f(x) = \frac{x^2+4}{x+1}$. Calcola la funzione derivata $f'(x)$ per sapere come varia l'inclinazione della rampa in qualsiasi punto di quel tratto.

Applica la regola della catena per trovare la derivata delle seguenti funzioni composte:

1. a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$

1. b) $g(x) = \sin(5x + 2)$

1. c) $h(x) = e^{x^2}$

Studia la derivabilità della seguente funzione nel punto $x = 2$, verificando prima se è continua in tale punto:

Calcola la derivata di secondo ordine (derivata seconda) della funzione $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. Per quale valore di $x$ si annulla questa derivata seconda? (Questo punto è importante per lo studio della curvatura che vedrai più avanti).

Elena sta calcolando la derivata della funzione $f(x) = x^{2x+1}$ per $x > 0$. Nel suo compito scrive la seguente risoluzione:

1. a) Spiega in dettaglio qual è l'errore concettuale commesso da Elena e perché le usuali regole di derivazione delle funzioni potenza ($x^k$) o esponenziali ($a^x$) non possono essere applicate a questa funzione.
2. b) Correggi l'esercizio applicando passo dopo passo il metodo della derivazione logaritmica per ottenere l'espressione corretta di $f'(x)$, lasciandola semplificata ed espressa esclusivamente in funzione di $x$.

Si vuole calcolare la funzione derivata di $f(x) = \ln\left(\frac{e^{4x} \cdot (x^2 + 3)^5}{\sqrt{2x + 1}}\right)$ nel dominio $x > -\frac{1}{2}$. Per risolverlo si propongono due strade:

• Metodo A: Applicare direttamente la regola della catena per la funzione logaritmo, $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$, calcolando $u'(x)$ mediante la regola del quoziente combinata con la regola del prodotto e delle potenze.

• Metodo B: Applicare le proprietà dei logaritmi (logaritmo di un prodotto, di un quoziente e di una potenza) per trasformare $f(x)$ in una combinazione lineare di termini semplici prima di derivare.

1. a) Confronta in modo giustificato i due metodi valutando la difficoltà del calcolo algebrico e la probabilità di commettere errori con la regola della catena.
2. b) Deriva la funzione utilizzando il metodo che hai giustificato come più efficiente e semplifica il risultato finale.

Calcola la funzione derivata della seguente funzione composta, semplificando il risultato il più possibile:

$f(x) = \ln\left(\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}\right)$

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione sia derivabile in tutto il suo dominio, prestando particolare attenzione al punto di raccordo $x = 0$:

$f(x) = \begin{cases} e^{ax} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + bx + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Data la funzione $f(x) = \ln(2x - 3)$, trova l'espressione generale della sua derivata n-esima $f^{(n)}(x)$ e utilizzala per calcolare il valore della derivata quarta nel punto $x = 2$.

Trova l'equazione della retta tangente alla curva $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ nel punto in cui la funzione interseca l'asse delle ordinate ($OY$).

Un drone di sorveglianza segue una traiettoria la cui altezza in metri è data dalla funzione $h(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 11t + 5$, dove $t$ è il tempo in secondi ($0 \leq t \leq 10$).

• a) Calcola la funzione velocità $v(t)$ e la funzione accelerazione $a(t)$.

• b) In quali istanti di tempo il drone è momentaneamente fermo (velocità uguale a zero)?

Utilizza la tecnica della derivazione logaritmica per trovare la derivata della seguente funzione potenza-esponenziale:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\cos(x)}$

Studia la derivabilità della funzione $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ nei punti $x = 1$ e $x = 3$.

1. a) Studia se $f$ è continua in $x = 1$ e in $x = 3$.

1. b) Calcola, se esistono, le derivate laterali di $f$ in $x = 1$ e in $x = 3$.

1. c) Indica se $f$ è derivabile in tali punti.

Data l'equazione della curva definita in forma implicita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (nota come folium di Cartesio), calcola il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

Secondo i dati di Terna, in una giornata invernale la domanda nazionale di potenza elettrica $P(t)$, espressa in gigawatt (GW), si può approssimare tra le ore $06:00$ e le ore $14:00$ ($t \in [6, 14]$, dove $t$ è l'ora del giorno) mediante la funzione cubica:

1. a) Ottieni l'espressione algebrica di $P'(t)$, che rappresenta la velocità di variazione istantanea della domanda elettrica, e indica con ragionamento le sue unità di misura.
2. b) Determina gli intervalli di tempo in cui il consumo nazionale è in aumento e quelli in cui è in diminuzione in tale fascia oraria.
3. c) Trova a che ora esatta della mattina si raggiunge il picco massimo di domanda e qual è la potenza consumata in quell'istante. Giustifica analiticamente, mediante il criterio della derivata prima o della derivata seconda, perché tale valore è un massimo relativo e non un punto di flesso.

Considera la funzione con base ed esponente variabili $f(x) = x^{\sin(x)}$, definita per ogni $x > 0$.

1. a) Stima: Senza eseguire derivate algebriche, analizza qualitativamente il comportamento della base $u(x) = x$ e dell'esponente $v(x) = \sin(x)$ nelle vicinanze di $x = \frac{\pi}{2}$. Tenendo conto che la funzione seno raggiunge un massimo relativo in $\frac{\pi}{2}$ (quindi la sua variazione istantanea è nulla in quel punto), stima con ragionamento se $f(x)$ sarà crescente o decrescente in $x = \frac{\pi}{2}$ e deduci quale segno ti aspetti per $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
2. b) Calcola: Trova la funzione derivata $f'(x)$ mediante derivazione logaritmica e calcola il valore numerico esatto di $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
3. c) Verifica: Valuta se il valore ottenuto conferma la tua stima qualitativa precedente e interpreta geometricamente il coefficiente angolare della retta tangente in tale punto.

Si considera la funzione definita a tratti $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mediante la seguente espressione:

Determina i valori dei parametri $a, b \in \mathbb{R}$ affinché la funzione sia derivabile in tutto il suo dominio. Una volta trovati, discuti se la funzione derivata $f'(x)$ è, a sua volta, continua in $x = 2$.

Usando esclusivamente la definizione di derivata come limite (rapporto incrementale), calcola la funzione derivata di $f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}$. Successivamente, utilizza il risultato ottenuto per trovare l'equazione della retta tangente alla curva nel punto $P$ di ascissa $x = 2$.

Nella figura sono mostrati il grafico di $f$ e la posizione del punto $P$.

Data la curva definita dall'equazione implicita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (nota come folium di Cartesio), si chiede:

1. a) Ottenere l'espressione della derivata $y'$ in funzione di $x$ e $y$ mediante derivazione implicita.
2. b) Trovare i punti della curva in cui la retta tangente è orizzontale.
3. c) Determinare l'equazione della retta normale alla curva nel punto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

Utilizza la tecnica della derivazione logaritmica per calcolare la funzione derivata di:

Indica in modo motivato il dominio di definizione della funzione $f(x)$ e quello della sua funzione derivata $f'(x)$. Esiste qualche punto nell'intervallo $(0, \pi/2)$ in cui il coefficiente angolare della retta tangente sia nullo?

Sia la funzione $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$.

1. a) Scomponi la funzione in fratti semplici.
2. b) Utilizzando la scomposizione precedente, trova una formula generale per la derivata $n$-esima, $f^{(n)}(x)$, per qualsiasi $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Dimostra la validità della tua formula per ogni $n \in \mathbb{N}$ mediante il principio di induzione, verificando esplicitamente i primi tre ordini di derivazione.

Un drone di sorveglianza segue una traiettoria di volo lungo un asse rettilineo. La sua posizione (in decametri) rispetto al centro di controllo è data dalla funzione $s(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$, dove $t$ è il tempo in minuti dal decollo ($t \ge 0$). La figura mostra il grafico di $s(t)$.

1. a) Determina la funzione velocità $v(t)$ e la funzione accelerazione $a(t)$ del drone.

1. b) In quale istante il drone cambia verso nel suo moto?

1. c) Calcola gli istanti esatti in cui l'accelerazione è nulla. Quale interpretazione fisica hanno questi punti rispetto alla velocità del drone?

Si considera la funzione $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Determina i coefficienti $a, b, c$ e $d$ sapendo che si verificano contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. Il grafico di $f(x)$ passa per l'origine degli assi.

2. La funzione ha un punto di flesso in $x = 1$.

3. La retta tangente alla curva nel punto di ascissa $x = 0$ è parallela alla retta $y = -2x + 5$.

4. Il valore della derivata seconda in $x = 0$ è $f''(0) = 6$.

Il seguente grafico corrisponde alla funzione derivata, $f'(x)$, di una funzione $f(x)$ continua in tutto il suo dominio $\mathbb{R}$. Il grafico di $f'(x)$ è una parabola che interseca l'asse $X$ in $x=-2$ e $x=2$, e il cui vertice è il punto $(0,2)$.

A partire dal grafico di $f'(x)$, rispondi con ragionamenti alle seguenti questioni sulla funzione originale $f(x)$:

1. a) Indica gli intervalli di crescenza e decrescenza di $f(x)$.

1. b) Determina le ascisse degli estremi relativi di $f(x)$ e classificali in massimi o minimi.

1. c) In quale valore di $x$ ha $f(x)$ un punto di flesso? Giustifica la risposta basandoti sul rapporto tra $f''(x)$ e il coefficiente angolare di $f'(x)$.

Si vogliono determinare i parametri reali $a$ e $b$ di una funzione razionale della forma $f(x) = \frac{a x + b}{x - 2}$ (con $x \ne 2$) in modo che soddisfi contemporaneamente due condizioni:

1. La sua derivata $n$-esima soddisfa, per ogni numero naturale $n \ge 1$, l'espressione generale:

1. La retta tangente al grafico di $f$ nel suo punto di intersezione con l'asse delle ascisse forma un angolo di $135^\circ$ con il verso positivo dell'asse $OX$.

1. a) Deduci per regolarità o per ricorrenza la formula della derivata di ordine $n$ della funzione elementare $g(x) = \frac{1}{x - 2}$.
2. b) Scomponi $f(x)$ nella forma $f(x) = A + \frac{B}{x - 2}$ e utilizza la condizione 1 per fissare il valore di $B$, ottenendo una prima relazione tra $a$ e $b$.
3. c) Traduci analiticamente la condizione geometrica 2 sulla retta tangente per trovare tutte le coppie di valori $(a, b)$ che verificano il testo, controllando la coerenza del risultato in ogni caso.

Per studiare la curva implicita data dall'equazione $x^3 + y^3 - 3xy = 0$, Carlo cerca di individuare i punti che hanno retta tangente orizzontale e scrive alla lavagna:

«Passo 1: Derivo implicitamente rispetto a $x$ trattando $y$ come $y(x)$:

Passo 2: Poiché cerco tangenti orizzontali, il coefficiente angolare deve annullarsi, quindi pongo uguale a zero il numeratore: $y - x^2 = 0 \implies y = x^2$.

Passo 3: Sostituisco $y = x^2$ nella curva: $x^3 + (x^2)^3 - 3x(x^2) = 0 \implies x^6 - 2x^3 = 0 \implies x^3(x^3 - 2) = 0$.

Passo 4: Ottengo due soluzioni: $x = 0$ (che dà il punto $(0, 0)$) e $x = \sqrt[3]{2}$ (che dà il punto $(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$). Concludo che in entrambi i punti la curva ha retta tangente orizzontale $y'=0$ e, in particolare, $(0,0)$ è un estremo relativo regolare.»

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Carlo nel Passo 4 analizzando il punto $(0, 0)$. Che cosa succede valutando l'espressione di $y'$ in tale punto?
2. b) Giustifica perché la condizione $y' = 0$ nella derivazione implicita è solo una condizione necessaria e quale ulteriore verifica sul denominatore è indispensabile eseguire.
3. c) Determina con ragionamento se nel punto $P(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$ esiste effettivamente una retta tangente orizzontale e scrivi la sua equazione.