Esercizi: Volumi dei solidi di rotazione

La regione sotto la curva $y = \sqrt{x}$ tra $x = 0$ e $x = 4$ ruota attorno all'asse $OX$, come mostrato in figura.

Imposta l'integrale $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$ corrispondente e calcola il volume del solido di rotazione generato, esprimendo il risultato in funzione di $\pi$.

La funzione costante $f(x) = 2$ tra $x = 0$ e $x = 5$ ruota attorno all'asse $OX$.

1. a) Calcola il volume del solido generato mediante l'integrale $V = \pi \int_{0}^{5} [f(x)]^2 \, dx$.
2. b) Quale solido geometrico si è generato? Verifica il risultato con la formula del volume di tale solido.

La semicirconferenza $y = \sqrt{9 - x^2}$ ruota attorno all'asse $OX$.

1. a) Quale solido geometrico si genera e tra quali estremi bisogna integrare?
2. b) Calcola il suo volume con l'integrale corrispondente.
3. c) Verifica il risultato con la formula $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.

Il segmento della retta $y = x$ compreso tra $x = 0$ e $x = 3$ ruota attorno all'asse $OX$ generando un cono.

1. a) Calcola il suo volume mediante l'integrale $V = \pi \int_{0}^{3} x^2 \, dx$.
2. b) Individua il raggio e l'altezza del cono e verifica il risultato con la formula $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Carlo cerca di calcolare il volume del solido di rotazione generato dalla rotazione attorno all'asse $OX$ della regione del primo quadrante delimitata dalle curve $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = \frac{1}{2}x$.

Nella sua risoluzione scrive i seguenti passaggi:

1.º «Uguaglio le due funzioni per trovare gli estremi di integrazione: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}x \implies x = 0$ e $x = 4$».

2.º «Poiché il solido ha una cavità interna, sottraggo le funzioni prima di elevare al quadrato: $V = \pi \int_0^4 \left(\sqrt{x} - \frac{1}{2}x\right)^2 dx$».

3.º «Sviluppo il binomio: $\left(\sqrt{x} - \frac{1}{2}x\right)^2 = x - x^{3/2} + \frac{1}{4}x^2$».

4.º «Integro e ottengo il volume: $V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{x^3}{12} \right]_0^4 = \frac{8\pi}{15}\ \text{u}^3$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Carlo nel passaggio 2.º e spiega geometricamente perché il metodo delle rondelle richiede di sottrarre i quadrati dei raggi, $[f(x)]^2 - [g(x)]^2$, e non il quadrato della differenza, $[f(x)-g(x)]^2$.
2. b) Correggi l'impostazione scrivendo l'integrale adeguato e calcola il volume reale del solido.
3. c) Dimostra che se $f(x) > g(x) > 0$, si verifica sempre che $[f(x)]^2 - [g(x)]^2 > [f(x)-g(x)]^2$, e concludi se il calcolo di Carlo ha sottostimato o sovrastimato il vero volume.

Considera la regione limitata dalla curva $y = 2\sqrt{x}$, dall'asse delle ascisse $OX$ e dalla retta verticale $x = 4$, che ruota attorno all'asse $OX$ generando un solido di rotazione (un paraboloide).

1. a) Stima: Prima di calcolare qualsiasi integrale, giustifica che il solido è completamente inscritto in un cilindro retto di raggio $R = 4$ e altezza $h = 4$, e che al tempo stesso contiene al suo interno il cono retto formato dalla rotazione del segmento rettilineo che unisce l'origine $(0,0)$ con il punto $(4,4)$. Calcola il volume esatto di tale cilindro ($V_{\text{cilindro}} = \pi R^2 h$) e di tale cono ($V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$) per stabilire tra quali due valori numerici deve necessariamente trovarsi il volume del solido.
2. b) Calcola: Imposta l'integrale definito $V = \pi \int_0^4 [f(x)]^2\,dx$ e calcola il valore esatto del volume del solido di rotazione.
3. c) Verifica: Controlla se il valore ottenuto rientra nell'intervallo stimato al punto a) e determina quale frazione esatta del volume del cilindro circoscritto rappresenta questo paraboloide.

Il profilo di una coppa di ceramica è modellizzato dalla curva $y = \sqrt{x}$, con $x$ e $y$ misurati in centimetri, che ruota attorno all'asse $OX$ tra $x = 0$ e $x = 9$.

1. a) Calcola il volume interno della coppa in $\text{cm}^3$, arrotondando alle unità.
2. b) Sapendo che $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{ml}$, qual è la capacità della coppa in millilitri? Ti sembra una capacità ragionevole per una coppa? Commenta il risultato.

La regione racchiusa tra la parabola $y = x^2$ e la retta $y = x$, evidenziata in figura, ruota attorno all'asse $OX$ generando un solido cavo.

1. a) Trova i punti di intersezione delle due curve.
2. b) Imposta il volume come differenza di due integrali (metodo delle rondelle) e calcolalo.

Un imbuto conico da laboratorio si ottiene facendo ruotare la retta $y = 2x$, con $0 \le x \le 2$, attorno all'asse $OY$, come mostrato in figura (misure in decimetri).

1. a) Esprimi $x$ in funzione di $y$ e imposta l'integrale $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy$ che dà il volume, indicando gli estremi di integrazione.
2. b) Calcola il volume dell'imbuto.
3. c) Verifica il risultato applicando la formula del volume del cono, $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, individuando il raggio e l'altezza dell'imbuto.

L'ugello di un motore da aeromodellismo è un pezzo la cui parete esterna segue il profilo dell'iperbole $y = \frac{2}{x}$ tra $x = 1$ e $x = 4$ (misure in centimetri), ruotando attorno all'asse $OX$.

1. a) Calcola il volume di materiale necessario per fabbricare il pezzo, supponendo che sia pieno tra l'asse e il profilo.
2. b) Se il materiale ha una densità di $2,5\ \text{g/cm}^3$, qual è la massa del pezzo? Arrotonda ai decimi di grammo.

Nelle cantine di invecchiamento del vino, una botte di rovere di $80\ \text{cm}$ di lunghezza esterna ha un profilo longitudinale interno modellizzato dall'arco di parabola $y = 30 - k x^2$, con $x \in [-40, 40]$ misurato in centimetri e $y$ che rappresenta il raggio interno in ogni sezione trasversale.

Il raggio interno al centro della botte ($x = 0$) è di $30\ \text{cm}$, mentre nei due fondi piani ($x = -40$ e $x = 40$) il raggio si riduce a $26\ \text{cm}$.

1. a) Determina con una motivazione il valore esatto della costante $k$ a partire dai dati geometrici della botte.
2. b) Imposta l'integrale definito che fornisce la capacità della botte facendo ruotare questo profilo parabolico attorno all'asse $OX$ e calcola il suo volume esatto in centimetri cubi (lasciando il risultato in funzione di $\pi$).
3. c) Converti il volume in litri (prendendo $\pi \approx 3,1416$ e arrotondando ai decimi). Questo risultato è compatibile con la capacità abituale delle botti commerciali standard ($200$–$225\ \text{litri}$)? Spiega se approssimare la botte con un semplice cilindro di raggio uguale al raggio medio ($r_m = \frac{30+26}{2} = 28\ \text{cm}$) sovrastimerebbe o sottostimerebbe il volume reale ottenuto con l'integrale.

Si vuole calcolare il volume del solido generato dalla rotazione attorno all'asse verticale $OY$ della regione del primo quadrante delimitata dalla curva $y = \sqrt{x}$, dalla retta verticale $x = 4$ e dall'asse orizzontale $OX$ ($y = 0$). Tre studenti discutono su come risolverlo:

• Strada A (Sofia): Osserva che l'altezza massima sull'asse verticale è $y = 2$. Propone di calcolare il volume del cilindro esterno di raggio $R = 4$ e altezza $H = 2$, e di sottrargli il volume della cavità interna generata dalla rotazione della curva rispetto a $OY$: $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 2 - \pi \int_0^2 [g(y)]^2 dy$, ricavando $x = g(y) = y^2$.

• Strada B (Matteo): Propone di usare direttamente il metodo delle rondelle perpendicolari all'asse $OY$. Poiché il raggio esterno è fisso ($R = 4$) e quello interno varia lungo la curva ($r = y^2$), imposta $V = \pi \int_0^2 \big(4^2 - (y^2)^2\big)\,dy$.

• Strada C (Luca): Afferma che non occorre ricavare $y$ e che il volume si calcola direttamente con $V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx$.

1. a) Spiega perché il metodo di Luca (Strada C) è concettualmente errato e quale volume geometrico rappresenta in realtà l'integrale che ha scritto.
2. b) Dimostra algebricamente che gli integrali di Sofia e Matteo portano esattamente alla stessa espressione e calcola il volume del solido.
3. c) Valuta in modo critico quale delle due strade corrette (A o B) risulta più vantaggiosa per evitare errori di calcolo in una verifica e giustifica la tua posizione.

Un pallone da rugby ha la forma di un ellissoide di rotazione: la sua sezione trasversale è l'ellisse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, che ruota attorno all'asse $OX$, come mostrato in figura.

1. a) Ricava $y^2$ dall'equazione dell'ellisse e imposta l'integrale che dà il volume dell'ellissoide.
2. b) Dimostra che il volume di un ellissoide di rotazione è $V = \frac{4}{3} \pi a b^2$.
3. c) Un pallone regolamentare ha una lunghezza di $30\ \text{cm}$ ($a = 15\ \text{cm}$) e un diametro massimo di $18\ \text{cm}$ ($b = 9\ \text{cm}$). Calcola il suo volume ed esprimilo in litri, arrotondando ai decimi.

La regione infinita limitata dall'iperbole $y = \frac{1}{x}$, dall'asse $OX$ e dalla retta $x = 1$ ruota attorno all'asse $OX$, generando un solido infinito noto come tromba di Torricelli, come mostrato in figura.

1. a) Calcola il volume $V(b)$ del tratto di tromba compreso tra $x = 1$ e $x = b$.
2. b) Trova $\lim_{b \to +\infty} V(b)$ e interpreta il risultato: il volume della tromba completa è finito?
3. c) Calcola l'area della regione che ha ruotato, cioè $\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx$. Confronta con il punto precedente e commenta il paradosso del pittore: si può riempire la tromba di vernice, ma non si può verniciare la sua superficie.

Marco ha calcolato così il volume del solido generato dalla regione sotto la curva $y = x^2 + 1$ tra $x = -1$ e $x = 1$ ruotando attorno all'asse $OX$:

«$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} = \pi \left( \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{8\pi}{3}\ \text{u}^3$»

1. a) Individua l'errore nella sua impostazione e spiega in cosa consiste.
2. b) Calcola correttamente il volume.

Considera la regione del piano limitata dalla parabola $y = x^2$, dall'asse $OX$ e dalla retta $x = 2$.

1. a) Calcola il volume del solido generato dalla rotazione attorno all'asse $OX$.
2. b) Calcola il volume del solido generato dalla rotazione attorno all'asse $OY$. (Suggerimento: sottrai dal cilindro di raggio $2$ e altezza $4$ il solido generato dalla regione compresa tra la curva e l'asse $OY$.)
3. c) Anche se la regione che ruota è la stessa, i due volumi non coincidono. Spiega con una motivazione perché.

Considera la famiglia di regioni limitate del piano comprese tra la parabola $y = x^2$ e la retta secante $y = m x$, dove il parametro $m > 0$ rappresenta il coefficiente angolare della retta.

Facendo ruotare tale regione attorno all'asse delle ascisse $OX$, si genera un solido di rotazione il cui volume indichiamo con $V(m)$.

1. a) Trova i punti di intersezione tra le due curve in funzione di $m$, imposta l'integrale del volume con il metodo delle rondelle e ottieni l'espressione analitica di $V(m)$ in funzione di $\pi$ e del parametro $m$.
2. b) Dimostra che $V(m)$ è una funzione proporzionale a $m^5$. Sfruttando questa proprietà di scala, rispondi senza integrare di nuovo: se raddoppiamo il coefficiente angolare della retta, per quale fattore si moltiplica il volume del nuovo solido generato?
3. c) Risolvi il problema inverso: determina il valore esatto del coefficiente angolare $m$ affinché il volume del solido di rotazione generato sia esattamente uguale a $\frac{64\pi}{15}\ \text{u}^3$.

In una stazione meteorologica si usa un pluviometro ad alta sensibilità per registrare precipitazioni deboli. Il recipiente collettore ha la forma di un paraboloide di rotazione generato dalla rotazione della curva $y = a x^2$ attorno all'asse verticale $OY$. Il recipiente ha un'altezza totale di $16\ \text{cm}$ e un'apertura circolare superiore di $16\ \text{cm}$ di diametro (cioè $8\ \text{cm}$ di raggio).

1. a) Determina il valore del parametro $a$, ricava $x = g(y)$ e calcola con il calcolo integrale la capacità totale del recipiente in $\text{cm}^3$ (in funzione di $\pi$) e il suo equivalente in litri.
2. b) Deduci la formula del volume d'acqua accumulata $V(h)$ in funzione dell'altezza raggiunta dal liquido $h$ (con $0 \le h \le 16\ \text{cm}$). Usando questa funzione, calcola a quale altezza esatta $h$ il pluviometro si trova al $50\,\%$ della sua capacità massima. Giustifica geometricamente perché tale altezza è strettamente maggiore della metà dell'altezza del recipiente ($8\ \text{cm}$).
3. c) Calcola il tasso di variazione istantaneo dell'altezza rispetto al volume accumulato, $\frac{dh}{dV}$. Confronta il valore di questo tasso quando il recipiente è quasi vuoto ($h \to 0$) rispetto a quando è quasi pieno ($h = 16\ \text{cm}$) e spiega perché questa geometria parabolica è molto più efficace di quella di un pluviometro cilindrico standard per rilevare pioviggini impercettibili.

Sfida del tema. Progetta una vasca di laminazione delle acque piovane adatta alla tua località integrando GeoGebra e il calcolo integrale.

1. Fase 1. Probabilità climatica: Scarica dal servizio meteorologico la precipitazione giornaliera dell'ultimo mese nella tua zona. Modella una funzione di densità continua $f(x) = k \cdot e^{-0,2x}$ per $x \in [0, 20]$ che rappresenti i litri per metro quadrato. Trova analiticamente $k$ per verificare che $\int_0^{20} f(x)\,dx = 1$ e calcola la probabilità di registrare più di $5\text{ mm}$ di pioggia.

2. Fase 2. Geometria e volume: Modella in GeoGebra la parete della vasca mediante una curva $y = g(x)$ in un intervallo $[0, b]$. Calcola la capacità totale della vasca determinando il volume di rotazione generato dalla rotazione di tale funzione attorno all'asse $OX$: $V = \pi \int_0^b [g(x)]^2\,dx$.

3. Fase 3. Riempimento e teorema fondamentale del calcolo: A partire da una funzione di portata in ingresso variabile $c(t)$, applica il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di Barrow per ottenere la funzione del volume accumulato nel tempo mediante l'area sotto la curva.

Elabora una breve relazione tecnica (al massimo due pagine) con gli sviluppi analitici, le schermate del modello in GeoGebra e una valutazione sull'adeguatezza del volume ottenuto rispetto ai dati climatici.

Si valuterà:

• Applicazione rigorosa della regola di Barrow e corretto calcolo degli integrali per aree e volumi di rotazione.

• Giustificazione matematica delle proprietà della probabilità e della funzione di densità con dati meteorologici.

• Corretta modellizzazione geometrica in GeoGebra e interpretazione del teorema fondamentale del calcolo integrale.