Esercizi: Area sotto una curva

Considera la funzione lineare $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Si chiede di calcolare l'area della regione colorata nel grafico, limitata dalla funzione, dall'asse $OX$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = 4$. Per farlo:

1. Calcola il valore dell'area utilizzando formule geometriche elementari (area di un trapezio).

2. Calcola l'integrale definito $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ applicando la formula fondamentale del calcolo integrale e verifica che i due risultati coincidano.

Calcola il valore dell'integrale definito della funzione polinomiale $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ nell'intervallo $[1, 2]$. Cioè, ottieni il risultato di:

Un tunnel di lavaggio per automobili ha una struttura metallica la cui parte superiore segue la forma della parabola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcola l'area della superficie piana (frontale) limitata dalla struttura della parabola e dal suolo (asse $OX$), sapendo che i punti di appoggio sul suolo sono $x = -2$ e $x = 2$.

In fisica, lo spazio percorso da un oggetto si può calcolare come l'area sotto la curva in un grafico velocità-tempo. Se un monopattino elettrico si muove con una velocità costante di $v(t) = 12$ km/h durante la prima mezz'ora ($t = 0,5$ h), imposta e calcola l'integrale definito che rappresenta la distanza percorsa in quel tempo.

Trova l'area della regione piana limitata dal grafico della funzione $f(x) = x^2 - 9$ e dall'asse delle ascisse ($OX$).

Utilizza le proprietà dell'integrale definito per risolvere il seguente problema:

Sapendo che $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ e che $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcola con ragionamento il valore di:

1. $\int_{1}^{6} f(x) \, dx$

2. $\int_{4}^{1} 2 \cdot f(x) \, dx$

Calcola l'area totale della regione compresa tra la retta $f(x) = x - 2$, l'asse $OX$ e le rette verticali $x = 0$ e $x = 3$.

Nota: osserva che la funzione interseca l'asse $OX$ in un punto interno all'intervallo dato, quindi dovrai scomporre la regione in due sottoaree.

Un'azienda di grafica vuole creare un logo che include una forma curva definita da $f(x) = \sqrt{x}$. Calcola l'area della parte del logo racchiusa tra questa curva, l'asse $OX$ e la retta verticale $x = 9$.

Lucia deve calcolare l'area della regione limitata dalla curva $f(x) = x^2 - 1$, dall'asse delle ascisse $OX$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = 2$. Nel suo compito scrive il seguente svolgimento:

1. a) Senza eseguire ancora alcun nuovo calcolo, spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Lucia a partire dal segno di $f(x)$ nell'intervallo $[0, 2]$ e spiega perché il suo risultato finale è minore dell'area reale.
2. b) Correggi l'esercizio dividendo opportunamente l'intervallo di integrazione e calcola il valore esatto dell'area.

Si vuole calcolare l'area della regione chiusa delimitata dalla parabola $f(x) = 4 - x^2$ e dai semiassi positivi delle coordinate nel primo quadrante.

1. a) Prima di integrare, fai una stima preliminare dell'area limitandola tra due figure geometriche elementari: il triangolo rettangolo di vertici $(0,0)$, $(2,0)$ e $(0,4)$, e il rettangolo circoscritto di dimensioni $2 \times 4$. A partire da questi due limiti, proponi un valore numerico stimato per l'area.
2. b) Calcola il valore esatto dell'area applicando la formula fondamentale del calcolo integrale all'integrale definito corrispondente.
3. c) Verifica se il valore esatto ottenuto rientra nei limiti stabiliti nel punto a) e determina l'errore assoluto commesso dalla tua stima iniziale rispetto al valore reale.

Calcola l'area della regione piana limitata dal grafico della funzione $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ e dall'asse delle ascisse $OX$. Rappresenta graficamente la regione prima di eseguire i calcoli per individuare i punti di intersezione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Determina l'area della regione compresa tra la curva $f(x) = x^3 - 4x$ e l'asse $OX$ nell'intervallo $[-1, 2]$. Tieni presente che la funzione può cambiare segno all'interno dell'intervallo, quindi dovrai scomporre l'integrale se necessario.

Un'azienda di grafica vuole creare un logo che include la forma di un'"onda". Questa forma è definita dalla funzione $f(x) = \sin(x) + 1$ nell'intervallo $[0, \pi]$. Calcola la superficie totale della figura limitata dalla curva, dall'asse $OX$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = \pi$.

Trova l'area della regione limitata dalla funzione $f(x) = |x^2 - 1|$ e dall'asse delle ascisse tra $x = 0$ e $x = 2$. Ricorda che la definizione di valore assoluto implica che la funzione è sempre non negativa, ma la sua espressione analitica cambia nei punti in cui l'argomento si annulla.

Si considera la funzione $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcola l'area della regione limitata dal grafico di $f(x)$, dall'asse $OX$, dall'asse $OY$ e dalla retta tangente alla curva nel punto di ascissa $x = 3$.

Trova il valore di un parametro positivo $k$ sapendo che l'area della regione limitata dalla parabola $f(x) = kx^2$ e dall'asse $OX$ tra $x = 0$ e $x = 3$ è esattamente di $18$ unità quadrate.

Un architetto sta progettando l'ingresso di una galleria la cui sezione frontale si può modellizzare mediante la funzione $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, dove $x$ e $y$ sono espressi in metri. Il suolo della galleria coincide con l'asse $OX$. Calcola l'area della sezione trasversale dell'ingresso della galleria.

Calcola l'area della regione limitata dalla curva $f(x) = \sqrt{x}$, dall'asse $OX$ e dalla retta $y = -x + 6$ nel primo quadrante. Suggerimento: individua prima il punto di intersezione tra la curva e la retta per determinare gli estremi di integrazione.

Considera la famiglia di curve data da $f_k(x) = kx - x^2$, dove $k$ è un parametro reale positivo ($k > 0$).

1. a) Trova i punti di intersezione del grafico di $f_k$ con l'asse $OX$ e determina, in funzione del parametro $k$, l'espressione dell'area della regione limitata dalla curva e da tale asse.
2. b) Calcola il valore concreto di $k$ affinché l'area di tale regione sia esattamente uguale a $36\text{ u}^2$.
3. c) Per il valore di $k$ ottenuto nel punto precedente, si vuole tracciare una retta verticale di equazione $x = c$ (con $0 < c < k$) che divida la regione in due parti di uguale superficie. Senza impostare alcuna nuova equazione integrale, deduci e giustifica quale deve essere il valore esatto di $c$ basandoti sulle proprietà di simmetria della funzione.

Secondo i rilevamenti della radiazione solare di una stazione meteorologica di Napoli durante una giornata primaverile serena, la potenza istantanea generata da un impianto fotovoltaico è modellizzata dalla funzione:

dove $P(t)$ rappresenta la potenza in megawatt ($\text{MW}$) e $t$ è l'ora del giorno misurata nell'intervallo $[0, 24]$.

1. a) Determina l'intervallo di ore del giorno $[t_1, t_2]$ in cui l'impianto genera effettivamente energia ($P(t) \ge 0$).
2. b) Sapendo che l'energia totale accumulata prodotta (in $\text{MWh}$) coincide con l'area sotto la curva della potenza durante le ore di produzione, calcola l'energia totale generata nel corso della giornata.
3. c) Se l'energia è remunerata a una tariffa fissa di $50\text{ €/MWh}$, trova il ricavo economico della giornata. Spiega perché sarebbe stato un errore metodologico calcolare l'energia mediante l'integrale diretto $\int_0^{24} P(t)\,dt$.

Un architetto sta progettando il profilo laterale di un nuovo palazzetto dello sport. La struttura principale segue la curva della funzione $f(x) = -x^2 + 6x$. Per garantire la stabilità, si deve collocare un rinforzo metallico che segue la retta tangente alla curva nel punto di ascissa $x = 4$.

Calcola l'area della regione piana limitata dal grafico della funzione $f(x)$, dalla retta tangente menzionata e dall'asse delle ordinate ($Eje\ OY$).

Considera le funzioni $f(x) = e^x$ e $g(x) = e^{-x}$. Sia $R$ la regione limitata dai grafici di entrambe le funzioni e dalla retta verticale $x = k$ (dove $k > 0$).

Determina il valore del parametro positivo $k$ affinché l'area di tale regione sia esattamente di $4$ unità quadrate.

Si definisce la funzione $f(x) = |x^2 - 4|$. Vogliamo studiare la regione del piano "intrappolata" tra questa curva e la retta orizzontale $y = 5$.

Calcola l'area della regione limitata superiormente dalla retta $y = 5$ e inferiormente dal grafico della funzione $f(x)$. Nota: tieni conto dei punti di intersezione e della definizione della funzione con il valore assoluto per dividere l'integrale se necessario.

Sia data la funzione $f(x) = \ln(x)$. Si chiede di:

1. Trovare l'equazione della retta normale al grafico di $f(x)$ nel punto $P(e, 1)$.

2. Calcolare l'area della regione piana limitata dalla curva $y = \ln(x)$, dalla retta normale trovata nel punto precedente e dall'asse delle ascisse ($Eje\ OX$).

Un serbatoio d'acqua ha una sezione trasversale la cui base è definita dall'asse $OX$ e la cui parte superiore dalla funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} & \text{si } -4 \leq x < 0 \\ 2 \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$

Calcola l'area totale della sezione trasversale del serbatoio calcolando l'integrale definito in ciascun intervallo.

Determina il valore della costante $a \in \mathbb{R}$ con $a > 1$, sapendo che l'area della regione limitata dalla curva $y = \frac{1}{x^2}$, dall'asse $OX$ e dalle rette verticali $x = 1$ e $x = a$ è uguale al doppio dell'area della regione limitata dalla stessa curva $y = \frac{1}{x^2}$, dall'asse $OX$ e dalle rette $x = a$ e $x = a^2$.

Trova l'area della regione limitata dalla funzione $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ e dalla retta orizzontale che passa per il massimo relativo di tale funzione.

Suggerimento: devi prima individuare il massimo relativo mediante la derivata, trovare il valore dell'ordinata in tale punto e poi determinare i punti di intersezione tra la curva e la retta ottenuta.

Sia $A$ la regione del primo quadrante limitata dalla parabola $y = x^2$ e dalla retta $y = 9$. Esiste una retta verticale di equazione $x = c$ (con $0 < c < 3$) che divide la regione $A$ in due sottoregioni di aree uguali.

Calcola il valore esatto della costante $c$.

Per calcolare l'area della regione limitata dal grafico di $f(x) = x^3 - 4x$, dall'asse delle ascisse $OX$ e dalle rette $x = -2$ e $x = 2$, tre compagni di classe propongono strategie diverse:

• Marco cerca le radici di $f(x)$ in $[-2, 2]$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 2$), studia il segno in ogni sottointervallo e imposta: $\text{Area} = \left|\int_{-2}^0 f(x)\,dx\right| + \left|\int_0^2 f(x)\,dx\right|$.

• Sara analizza prima le proprietà globali di $f(x)$, verifica che è una funzione dispari e afferma che l'area si può calcolare in modo più diretto e pulito come: $\text{Area} = 2 \int_0^2 (-f(x))\,dx$.

• Diego afferma che, poiché la definizione generale di area sotto una curva è $\int_{-2}^2 |f(x)|\,dx$, basta trovare direttamente una primitiva algebrica di $|x^3 - 4x|$ e applicare Torricelli-Barrow tra $-2$ e $2$ senza suddividere in tratti.

1. a) Valuta la validità matematica dei tre procedimenti: spiega perché l'approccio di Diego non è operativo nella pratica e calcola l'area esatta utilizzando sia il metodo di Marco sia quello di Sara per verificare che entrambi sono corretti.
2. b) Giustifica quale dei due metodi validi risulta più efficiente e riduce al minimo il rischio di commettere errori di segno con la formula fondamentale del calcolo integrale.
3. c) Se ora si trasla verticalmente il grafico considerando la funzione $g(x) = x^3 - 4x + 1$, ragiona se si potrebbe continuare ad applicare la scorciatoia di simmetria di Sara per calcolare l'area tra la curva $g(x)$ e l'asse $OX$ nell'intervallo $[-2, 2]$.

Si considera la funzione $f_m(x) = x^2 - m^2$, dove $m > 0$ è un parametro reale costante. Si vuole studiare l'area $A(m)$ della regione piana delimitata dal grafico di $f_m(x)$, dall'asse $OX$ e dalle rette verticali fisse $x = 0$ e $x = 2$.

1. a) Osserva che la posizione della radice positiva della funzione rispetto all'intervallo $[0, 2]$ dipende dal valore di $m$. Deduci con ragionamento l'espressione analitica della funzione area $A(m)$ distinguendo due casi: quando $m \ge 2$ e quando $0 < m < 2$.
2. b) Dimostra che la funzione $A(m)$ ottenuta è continua nel punto di frontiera $m = 2$.
3. c) Determina il valore esatto di $m \in (0, 2)$ per cui l'area della regione è esattamente uguale a $2\text{ u}^2$.