Esercizi: Applicazioni dell'integrale definito

Calcola il valore del seguente integrale definito applicando la regola di Barrow:

Data la funzione integrale $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, usa il teorema fondamentale del calcolo integrale per trovare il valore della sua derivata nel punto $x = 4$, cioè calcola $F'(4)$.

Un grafico sta tracciando il contorno di un logo che segue la curva $f(x) = e^x$. Calcola l'area racchiusa sotto tale curva, l'asse $OX$ e le rette verticali $x = 0$ e $x = \ln(3)$.

Calcola l'area della regione piana limitata dalla parabola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ e dall'asse delle ascisse ($OX$). Nota: ricorda di trovare prima i punti di intersezione della funzione con l'asse.

Senza calcolare la primitiva, giustifica usando le proprietà dell'integrale definito perché il valore del seguente integrale è uguale a $0$:

Trova l'area della regione compresa tra i grafici delle funzioni $f(x) = 6 - x^2$ e $g(x) = 2$.

La velocità di un'auto radiocomandata (in $m/s$) è data dalla funzione $v(t) = 2t + 1$. Determina la distanza totale percorsa dall'auto tra gli istanti $t = 1$ s e $t = 4$ s calcolando l'integrale definito della velocità.

Un'azienda di componenti elettronici ha stabilito che il costo marginale di produzione di $x$ unità di un sensore è $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ euro per unità. Calcola l'incremento totale del costo aumentando la produzione da $10$ a $20$ sensori.

Per calcolare l'area della regione chiusa limitata dal grafico della funzione $f(x) = x^3 - 4x$ e dall'asse delle ascisse nell'intervallo $[-2, 2]$, Marco ha scritto nel suo compito quanto segue:

Ne conclude quindi che l'area racchiusa è zero.

1. a) Spiega in modo motivato l'errore concettuale commesso da Marco. Perché l'integrale definito dà zero nonostante la regione abbia una superficie geometrica non nulla?
2. b) Correggi la sua risoluzione: determina i punti di intersezione della funzione con l'asse delle ascisse, imposta correttamente gli integrali che permettono di calcolare l'area reale e trova il suo valore esatto applicando la formula fondamentale del calcolo integrale (regola di Barrow).

Si vuole calcolare l'area della regione limitata delimitata dalla parabola $f(x) = 3x - x^2$ e dall'asse delle ascisse ($y = 0$).

1. a) Prima di calcolare qualsiasi integrale, fai una stima motivata dell'area limitandola tra due valori numerici:

• Ottieni un limite superiore calcolando l'area di un rettangolo che circoscrive esattamente la regione (la sua base è il segmento tra i punti di intersezione con l'asse $X$ e la sua altezza è l'ordinata del vertice della parabola).

• Ottieni un limite inferiore calcolando l'area del triangolo isoscele inscritto che ha per base tale segmento sull'asse $X$ e per vertice superiore il vertice della parabola.

1. b) Calcola ora il valore esatto dell'area applicando la regola di Barrow.
2. c) Verifica se il risultato esatto ottenuto rientra nell'intervallo individuato al punto a) e giustifica se la tua stima è stata ragionevole.

Calcola l'area della regione piana limitata delimitata dai grafici delle funzioni $f(x) = -x^2 + 5x$ e $g(x) = x + 2$. Rappresenta graficamente la regione prima di eseguire il calcolo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Sia la funzione $F(x)$ definita mediante il seguente integrale:

$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$

Determina l'equazione della retta tangente al grafico di $F(x)$ nel punto di ascissa $x = \sqrt{3}$.

Uno studio di design sta progettando il logo per una nuova azienda tecnologica. La base del logo è delimitata dalla funzione $f(x) = x^3 - 4x$ e dall'asse delle ascisse $OX$. Calcola l'area totale delle due regioni chiuse che la curva forma con l'asse.

Determina il valore del parametro positivo $k > 0$ affinché l'area della regione limitata dalla parabola $y = kx^2$ e dalla retta $y = 4$ sia esattamente di $16$ unità quadrate.

Determina l'area della regione limitata dalla curva $f(x) = x^2 - 4x + 5$, dalla retta tangente a tale curva nel punto $(3, f(3))$ e dall'asse delle ordinate $OY$.

Calcola l'area della regione del primo quadrante racchiusa dai grafici di $f(x) = \frac{8}{x}$, dalla retta $y = x$ e dalla retta $y = 4$.

Un veicolo autonomo si muove lungo una retta e la sua velocità (in m/s) è data dalla funzione $v(t) = t^2 - 6t + 8$, dove $t$ è il tempo in secondi. Calcola la distanza totale percorsa dal veicolo tra l'istante $t = 0$ e $t = 5$. Nota: tieni presente che la distanza è l'integrale del valore assoluto della velocità.

Considera la regione limitata dalle curve $y = e^x$, $y = e^{-x}$ e dalla retta verticale $x = \ln(2)$.

1. a) Disegna uno schema della regione.

1. b) Calcola l'area di tale regione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Durante un temporale registrato dal servizio meteorologico in un bacino dell'Italia meridionale, la portata d'acqua che entra in un invaso durante le prime $8$ ore dell'evento ($0 \le t \le 8$) è modellizzata dalla funzione:

dove $t$ si misura in ore e $c(t)$ in migliaia di metri cubi all'ora ($10^3\text{ m}^3/\text{h}$). Contemporaneamente, la diga mantiene una portata di scarico costante di $22$ migliaia di metri cubi all'ora per evitare tracimazioni.

1. a) Scrivi la funzione $r(t) = c(t) - 22$, che rappresenta il ritmo netto di variazione del volume dell'invaso, e determina, motivando, in quale istante $t \in [0, 8]$ il volume d'acqua immagazzinata raggiunge il suo massimo relativo durante il temporale. Giustifica la risposta utilizzando la derivata della funzione di volume accumulato.
2. b) Sapendo che all'inizio del temporale ($t = 0$) l'invaso aveva una riserva di $500$ migliaia di metri cubi d'acqua, calcola mediante un integrale definito il volume totale esatto immagazzinato nell'istante di massimo accumulo trovato nel punto precedente.

Considera la parabola $f(x) = 4x - x^2$ e il fascio di rette passanti per l'origine del sistema di coordinate, di equazione $y = mx$, dove $m$ è un parametro reale tale che $0 < m < 4$.

1. a) Determina, in funzione di $m$, i punti di intersezione tra la retta e la parabola, e stabilisci quale dei due grafici si trova al di sopra nell'intervallo aperto compreso tra tali punti.
2. b) Esprimi mediante un integrale definito l'area della regione racchiusa tra le due curve e dimostra, applicando la regola di Barrow, che tale area è data dall'espressione:

1. c) Imposta e risolvi il problema inverso: determina, motivando, quale valore esatto deve assumere il coefficiente angolare $m$ affinché l'area della regione racchiusa sia esattamente uguale a $4,5\text{ u}^2$.

Sia la funzione $f(x)$ definita dalla seguente espressione che coinvolge un integrale:

$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$

Si chiede di determinare, motivando:

1. a) Gli intervalli di crescenza e decrescenza di $F(x)$ in tutto il suo dominio.
2. b) L'ascissa dei punti in cui $F(x)$ raggiunge i suoi estremi relativi, classificandoli in massimi o minimi.
3. c) La funzione $F(x)$ presenta qualche punto di flesso nell'intervallo $(0, +\infty)$? Giustifica la risposta utilizzando la derivata seconda.

Un gruppo di ingegneri sta progettando l'arco d'ingresso di un tunnel tecnologico. La forma dell'arco superiore è data dalla funzione $f(x) = 4 - x^2$ per $x \in [-2, 2]$. Per rinforzare la struttura, si deve tracciare una retta $y = k$ (dove $0 < k < 4$) in modo che l'area della sezione superiore (al di sopra della retta di rinforzo) sia esattamente il doppio dell'area della sezione inferiore (tra la retta di rinforzo e il suolo, situato sull'asse $OX$).

Calcola il valore esatto della costante $k$ che soddisfa tale condizione.

Considera la regione del piano $R$ limitata dalla curva $y = \ln(x)$, dalla retta tangente a tale curva nel punto di ascissa $x = e$ e dall'asse delle ascisse $OX$.

1. a) Determina l'equazione della retta tangente citata.
2. b) Calcola l'area della regione $R$.
3. c) Calcola il volume del solido di rotazione generato dalla rotazione della regione $R$ attorno all'asse $OX$.

Un drone di sorveglianza si muove lungo una retta. La sua velocità in metri al secondo è data dalla funzione con valore assoluto:

$v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ per $t \in [0, 6]$ secondi.

1. a) Determina la distanza totale percorsa dal drone nei primi 6 secondi.
2. b) Calcola il valore del tempo $T \in (0, 6)$ tale che la distanza percorsa nell'intervallo $[0, T]$ sia esattamente la metà della distanza totale calcolata nel punto precedente.

Si vuole fabbricare un pezzo metallico la cui sezione trasversale è delimitata dalle curve $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ e dall'asse delle ordinate $OY$.

1. a) Rappresenta graficamente la regione e determina i suoi punti di intersezione.

1. b) Calcola l'area di tale sezione.

1. c) Se il pezzo si ottiene ruotando questa regione attorno all'asse delle ordinate $OY$, imposta (senza bisogno di calcolare) l'integrale o la somma di integrali che fornirebbe il volume del pezzo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Calcola il valore del seguente limite applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e il teorema di de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt}{1 - \cos(x^2)}$

Indica in dettaglio i passaggi seguiti e le ipotesi necessarie per l'applicazione di ciascun teorema.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, considera la regione limitata dal grafico di $f(x)$, dal suo asintoto orizzontale e dalle rette verticali $x = -1$ e $x = 1$.

1. a) Individua l'equazione dell'asintoto orizzontale della funzione.
2. b) Calcola l'area di tale regione.
3. c) Determina il volume del solido generato dalla rotazione di questa regione attorno al proprio asintoto orizzontale.

(Suggerimento: esegui un cambio di variabile o una traslazione per facilitare il calcolo del volume).

Un'azienda di grafica crea un logo con la forma della regione limitata dai grafici delle funzioni $f(x) = \sin(x)$ e $g(x) = \cos(x)$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = \pi$ (cioè nell'intervallo $x \in [0, \pi]$). Nella figura sono mostrati i due grafici e il logo evidenziato.

1. a) Determina i punti di intersezione delle due funzioni in tale intervallo.

1. b) Il logo è diviso in due regioni dall'asse delle ascisse $OX$. Calcola l'area della regione del logo che si trova al di sopra dell'asse $OX$.

1. c) Giustifica se il logo completo (la regione tra i due grafici in $[0, \pi]$) è simmetrico rispetto a qualche retta verticale $x = a$ con $a \in [0, \pi]$.

Si vuole calcolare l'area della regione piana limitata nel primo quadrante delimitata congiuntamente dalla curva $y = x^2$, dalla retta $y = 2 - x$ e dall'asse delle ascisse ($y = 0$).

1. a) Progetta e descrivi due strategie analitiche diverse per calcolare tale area:

• Metodo 1 (integrazione rispetto alla variabile $x$): determina i punti di intersezione e gli intervalli necessari, esprimendo l'area mediante la somma di integrali rispetto a $x$.

• Metodo 2 (integrazione rispetto alla variabile $y$): esplicita la variabile $x$ in funzione di $y$ in ciascuna equazione ed esprimi l'area totale come un unico integrale definito rispetto alla variabile $y$.

1. b) Confronta i due metodi e giustifica con un ragionamento quale risulta più vantaggioso in termini di economia di calcolo e minore probabilità di commettere errori algebrici.
2. c) Applica il metodo che ritieni ottimale (oppure combina l'integrazione con la geometria euclidea elementare nel tratto lineare) per ottenere il valore numerico esatto dell'area della regione.

In un progetto di ingegneria idraulica per ammodernare una rete di irrigazione nel bacino del Po, si progetta un canale la cui sezione trasversale ha profilo parabolico simmetrico rispetto all'asse verticale, modellizzato dalla funzione $y = ax^2$ (con $a > 0$, dove $x$ e $y$ si misurano in metri). La quota massima dell'acqua è fissata da una retta orizzontale a una profondità $y = h$ (con $h > 0$). Il progetto deve soddisfare contemporaneamente due requisiti tecnici:

1. La larghezza dello specchio d'acqua superiore (distanza tra le due sponde all'altezza $y = h$) deve essere esattamente di $6\text{ m}$.

2. L'area della sezione bagnata trasversale (la superficie compresa tra la parabola e la superficie libera $y = h$) deve essere di $12\text{ m}^2$ per garantire la portata di progetto.

1. a) A partire dal primo requisito tecnico, ricava una semplice relazione matematica che esprima la profondità $h$ in funzione del parametro di curvatura $a$.
2. b) Imposta l'integrale definito che permette di calcolare l'area della sezione bagnata e ottienine il valore in funzione di $a$ e $h$ mediante la regola di Barrow.
3. c) Determina i valori numerici esatti della profondità $h$ e del parametro $a$ che soddisfano entrambe le specifiche del progetto.
4. d) Ragionamento di progetto: se per un aumento straordinario della portata l'altezza dell'acqua raddoppia raggiungendo un livello $H = 2h$, stabilisci analiticamente (basandoti sulle proprietà dell'integrale e senza ricalcolarlo numericamente dall'inizio) se l'area della sezione bagnata raddoppierà, sarà maggiore del doppio o sarà minore del doppio.