Esercizi: Curvatura: concavità e convessità. Punto di flesso

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, esegui i seguenti passaggi per studiarne la curvatura (si dice concava ($\cap$) la zona in cui $f''(x)<0$ e convessa ($\cup$) la zona in cui $f''(x)>0$):

1. a) Calcola la derivata seconda $f''(x)$.

1. b) Determina gli intervalli di concavità ($\cap$) e di convessità ($\cup$).

1. c) Trova le coordinate del punto di flesso.

Osserva il seguente grafico di una funzione $f(x)$ e individua, in modo visivo, in quali intervalli la funzione è convessa (curvatura verso l'alto, $\cup$) e in quali è concava (curvatura verso il basso, $\cap$). Indica approssimativamente l'ascissa $x$ in cui pensi si trovi il punto di flesso.

Un progettista di skatepark sta modellando il profilo di una rampa mediante la funzione $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, dove $x$ rappresenta la distanza orizzontale in metri. Il progettista deve sapere dove la rampa passa da "tipo montagna" (concava) a "tipo valle" (convessa) per garantire la transizione. Calcola il punto di flesso di questa traiettoria.

Data la funzione $f(x) = x^4 - 2x^3$, studia la sua curvatura. Questa funzione presenta qualche punto in cui la derivata seconda si annulla ma che non è un punto di flesso? Giustifica la risposta analizzando il segno di $f''(x)$ da entrambi i lati dei punti singolari della derivata seconda.

Associa ciascuna delle seguenti condizioni sulla derivata seconda alla forma del grafico della funzione $f(x)$ in un dato intervallo:

1. $f''(x) > 0$ per ogni $x \in (a, b)$

2. $f''(x) < 0$ per ogni $x \in (a, b)$

3. $f''(c) = 0$ ed esiste un cambio di segno di $f''(x)$ passando per $x = c$.

Utilizza i termini: Concava (concavità verso il basso, $\cap$), Convessa (concavità verso l'alto, $\cup$) e Punto di flesso.

Trova il valore del parametro $k$ affinché la funzione $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ abbia un punto di flesso in $x = 2$. Una volta trovato $k$, indica se la funzione è concava o convessa nel punto $x = 0$.

Determina gli intervalli di curvatura della funzione esponenziale $f(x) = e^{2x} - 4x$. Questa funzione ha qualche punto di flesso? Motiva la risposta basandoti sul valore della derivata seconda.

Sia data la funzione $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Pur essendo una funzione razionale, lo studio della curvatura nel suo dominio di definizione è semplice. Nella figura compaiono il suo grafico e i suoi asintoti.

1. Trova $f''(x)$.

2. Studia il suo segno negli intervalli corrispondenti (tenendo conto che $x=1$ non appartiene al dominio) e mettilo in relazione con la curvatura che osservi in ciascun ramo del grafico.

3. Ha punti di flesso? Giustifica se il cambio di curvatura in corrispondenza dell'asintoto verticale si possa considerare un punto di flesso.

Marco deve studiare la curvatura della funzione polinomiale $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 2$. Nel suo compito scrive il seguente ragionamento:

«Derivata prima: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.

Derivata seconda: $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2$.

Pongo uguale a zero: $12(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Quindi il grafico della funzione cambia curvatura in $x = 1$ e presenta un punto di flesso in $(1, 5)$.»

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Marco. La condizione $f''(x_0) = 0$ è sufficiente da sola a garantire l'esistenza di un punto di flesso?
2. b) Correggi l'esercizio determinando i reali intervalli di concavità ($\cap$) e convessità ($\cup$) di $f(x)$, e concludi con una giustificazione se il grafico ha o no punti di flesso.

Costruisci l'espressione algebrica di una funzione cubica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Il suo grafico interseca l'asse delle ordinate nel punto $(0, -5)$.

2. Presenta un punto di flesso nel punto di coordinate $(2, 3)$.

3. La retta tangente al grafico in tale punto di flesso ha coefficiente angolare uguale a $-4$.

4. La funzione è concava ($\cap$) in $(-\infty, 2)$ e convessa ($\cup$) in $(2, +\infty)$.

Calcola con ragionamento i coefficienti $a, b, c$ e $d$, e verifica esplicitamente mediante il segno di $f''(x)$ che la condizione di curvatura 4 è soddisfatta in senso stretto con i valori trovati.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$, svolgi uno studio dettagliato della sua curvatura (considera concava $\cup$ dove $f''(x)>0$ e convessa $\cap$ dove $f''(x)<0$). A tal fine:

1. a) Trova gli intervalli di concavità e convessità.

1. b) Determina le coordinate esatte dei suoi punti di flesso, se esistono.

Si sa che la funzione polinomiale $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ha un punto di flesso nel punto $P(1, 2)$ e che il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto è $m = -3$. Calcola i valori dei parametri $a, b$ e $c$.

Un gruppo di ingegneri sta progettando una rampa di salto per un parco di sport estremi. Il profilo della sezione centrale della rampa segue la funzione $f(x) = (x-2)e^x$ per $x \in [-1, 3]$.

Calcola il valore dell'ascissa $x$ in cui la rampa passa da concava a convessa (punto di flesso). Giustifica perché in quel punto la rampa raggiunge la sua massima pendenza di discesa in quel tratto.

Data la funzione $f(x) = \ln(x^2 + 9)$, determina:

1. Gli intervalli in cui la funzione è concava ($\cap$) e quelli in cui è convessa ($\cup$).

2. Le coordinate dei punti di flesso.

3. L'equazione della retta tangente al grafico di $f(x)$ nel suo punto di flesso di ascissa positiva.

Il numero di utenti attivi in un nuovo social network durante i primi 6 mesi segue approssimativamente la funzione $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, dove $t$ è il tempo in mesi e $N(t)$ è il numero di utenti in migliaia.

1. Calcola il momento esatto (valore di $t$) in cui la crescita degli utenti inizia a rallentare (punto di flesso).

2. Spiega il significato della curvatura della funzione prima e dopo quell'istante in termini di "ritmo di crescita".

Sia data la funzione definita a tratti:

Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile in $x = 0$ e il suo grafico passi per il punto $(\pi, \pi)$. Una volta calcolati, verifica se esiste un punto di flesso nell'origine.

Data la funzione $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$, si chiede di:

1. a) Determinare gli intervalli di concavità e convessità, studiando il segno di $f''(x)$ (considera la funzione convessa, $\cup$, dove $f''(x) > 0$ e concava, $\cap$, dove $f''(x) < 0$).

1. b) Trovare i punti di flesso della curva.

1. c) Che cosa accade alla curvatura della funzione quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$? Motiva la risposta basandoti sul limite della derivata seconda.

Determina i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x) = \frac{ax+b}{x^2-4}$ abbia un punto di flesso in $x = 0$ e passi per il punto $(1, -1)$. Una volta trovati, studia se la funzione ha altri punti di flesso nel suo dominio.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}$:

1. a) Stima prima di calcolare: Osserva che la funzione è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (pari), strettamente positiva in tutto $\mathbb{R}$, ha un massimo relativo in $(0, 4)$ e ha un asintoto orizzontale in $y = 0$ per $x \to \pm\infty$. Partendo soltanto da questi dati qualitativi, deduci con ragionamento se il grafico deve avere punti di flesso, quanti ne ti aspetteresti di trovare come minimo, in quali quadranti si troveranno e quale curvatura dovrebbe presentare il grafico vicino all'origine rispetto a zone molto lontane da essa ($|x| \to \infty$).
2. b) Verifica analiticamente: Calcola $f''(x)$, determina gli intervalli di concavità ($\cap$) e di convessità ($\cup$) e trova le coordinate esatte dei punti di flesso. Verifica se i risultati analitici confermano con precisione le deduzioni che hai formulato nella stima preliminare.

Per analizzare la curvatura e classificare i possibili punti di flesso della funzione $f(x) = x^5 - 5x^4 + 7$, calcoli le sue prime due derivate e ottieni $f'(x) = 5x^4 - 20x^3$ e $f''(x) = 20x^2(x - 3)$. I candidati a punto di flesso sono $x = 0$ e $x = 3$.

Due compagni di classe propongono metodi risolutivi diversi:

• Metodo 1 (Derivate successive): Calcolare $f'''(x)$, $f^{(4)}(x)$, ecc., e valutare in ciascun candidato fino a trovare una derivata di ordine superiore che non si annulli.

• Metodo 2 (Studio del segno di $f''$): Analizzare direttamente il segno di $f''(x) = 20x^2(x - 3)$ negli intervalli determinati dagli zeri della derivata seconda.

1. a) Applica il Metodo 1 per classificare $x = 0$ e $x = 3$.
2. b) Applica il Metodo 2 per determinare gli intervalli di concavità e convessità e classificare entrambi i punti.
3. c) Confronta criticamente i due metodi per questo caso: quale dei due risulta più efficiente e perché la presenza del fattore $x^2$ rende il Metodo 2 particolarmente vantaggioso rispetto al Metodo 1? Quale limite concettuale presenterebbe il Metodo 1 se la funzione non ammettesse derivate di ordine superiore nel punto analizzato?

Si considera la famiglia di funzioni della forma $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, dove $a$ e $b$ sono parametri reali. Si sa che il grafico della funzione passa per il punto $(0, 1)$ e che ha un punto di flesso nel punto di ascissa $x = 1$.

1. a) Determina i valori di $a$ e $b$.
2. b) Per i valori trovati, studia gli intervalli di concavità e convessità della funzione e verifica se esistono altri punti di flesso.

Un gruppo di ingegneri sta progettando una rampa di transizione per un nuovo modello di skateboard. L'altezza della rampa segue la funzione $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ nell'intervallo $x \in [-2, 2]$.

1. a) Calcola il valore di $k$ affinché la rampa cambi la sua curvatura (abbia un punto di flesso) esattamente in $x = 0$.
2. b) È possibile trovare un valore di $k$ tale che la funzione sia sempre convessa ($\cup$) in tutto il suo dominio di definizione? Giustifica la risposta analiticamente.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + a}$, dove $a$ è una costante reale non nulla:

1. a) Dimostra che se $a > 0$, la funzione ha sempre esattamente tre punti di flesso allineati.
2. b) Se $a = -3$, studia la curvatura della funzione precisando i suoi intervalli e i punti di flesso, tenendo conto delle discontinuità della funzione.

Il grafico seguente corrisponde alla funzione derivata prima, $f'(x)$, di una funzione continua $f(x)$ definita in tutto $\mathbb{R}$. A partire dalle informazioni visive fornite, limitandoti al tratto rappresentato, $-2 < x < 2$:

1. a) Determina gli intervalli di concavità e convessità della funzione originale $f(x)$.
2. b) Indica le ascisse dei punti di flesso di $f(x)$.
3. c) Sapendo che $f(0) = 0$, traccia uno schizzo del grafico della funzione originale $f(x)$ basandoti sulla sua curvatura.

Sia data la funzione $f(x) = \text{arctg}(x^2 - 1)$.

1. a) Trova l'espressione di $f''(x)$ semplificata al massimo.
2. b) Determina i punti della curva in cui il coefficiente angolare della retta tangente raggiunge i suoi valori massimi o minimi relativi. Suggerimento: ricorda che ciò avviene dove la curvatura cambia.
3. c) Studia gli intervalli di curvatura di $f(x)$.

Si vuole raccordare in modo dolce due tratti di strada. Il primo tratto è dato dalla funzione $g(x) = x^2$ per $x \le 1$, e il secondo tratto da una funzione polinomiale di terzo grado $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ per $x > 1$.

Affinché la transizione sia "perfettamente dolce", gli ingegneri richiedono che nel punto di unione $x = 1$:

1. Le funzioni coincidano ($f$ sia continua).

2. I coefficienti angolari coincidano ($f$ sia derivabile).

3. La curvatura sia la stessa (le derivate seconde coincidano).

Sapendo che il secondo tratto deve avere un punto di flesso in $x = 2$, calcola i valori di $a, b, c$ e $d$.

Considera la funzione $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

1. a) Studia il dominio e gli asintoti della funzione.
2. b) Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza e gli estremi relativi.
3. c) Analizza la curvatura e dimostra che non esiste alcun punto di flesso.
4. d) A quale valore tende il coefficiente angolare della curva quando $x \to \infty$? Questo cambia la curvatura all'infinito?

Sia data la funzione $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$ definita per $x > 0$.

1. a) Calcola $f'(x)$, $f''(x)$ e $f'''(x)$.
2. b) Determina gli intervalli di concavità e convessità.
3. c) Esiste qualche punto del grafico in cui la retta tangente sia orizzontale e, contemporaneamente, tale punto sia un punto di flesso? Giustifica la risposta.
4. d) Studia il comportamento della curvatura quando $x$ si avvicina a $0$ da destra. Possiamo dire che c'è un punto di flesso nel limite?

Secondo le proiezioni del Piano Nazionale Integrato per l'Energia e il Clima (PNIEC) in Italia, la potenza cumulata dell'autoconsumo solare fotovoltaico (in gigawatt, $\text{GW}$) tra il 2018 ($t = 0$) e il 2026 ($t = 8$) si modellizza mediante la funzione logistica:

$P(t) = \frac{12}{1 + 8\cdot e^{-0,5t}}$

dove $t$ rappresenta il tempo trascorso in anni dalla fine del 2018.

1. a) Determina con un ragionamento il limite di $P(t)$ per $t \to +\infty$ e interpreta il valore ottenuto nel contesto del modello (capacità di saturazione della potenza installabile).
2. b) Calcola analiticamente la derivata seconda $P''(t)$ e trova l'istante esatto $t_0$ in cui la funzione ha un punto di flesso. In quale anno e mese approssimativo si è verificata questa tappa?
3. c) Studia il segno di $P''(t)$ prima e dopo $t_0$. Interpreta che significato hanno la convessità e la concavità in termini di ritmo di installazione annuale ($P'(t)$): durante quale periodo il ritmo di installazione è stato accelerato e quando ha iniziato a rallentare, nonostante la potenza totale continuasse ad aumentare?
4. d) Dimostra algebricamente che in qualsiasi modello logistico generale della forma $P(t) = \frac{K}{1 + b\cdot e^{-kt}}$ (con $K, b, k > 0$), il punto di flesso si raggiunge sempre nell'istante in cui la grandezza arriva alla metà del suo valore limite di saturazione ($P(t_0) = \frac{K}{2}$).

Nella progettazione del profilo longitudinale di una rampa di accelerazione per un'attrazione di un parco divertimenti a Roma, occorre raccordare in modo dolce la quota di partenza con la piattaforma superiore. La rampa deve essere rappresentata da una funzione derivabile $f(x)$ definita nell'intervallo $[0, 4]$ (dove $x$ è la distanza orizzontale in metri e $f(x)$ l'altezza in metri) che soddisfi:

1. Inizia nel punto $(0, 0)$ con tangente orizzontale ($f'(0) = 0$).

2. Termina nel punto $(4, 2)$ anch'essa con tangente orizzontale ($f'(4) = 0$).

3. Per evitare scossoni bruschi ai passeggeri, la curvatura deve variare in modo continuo, passando da convessa ($\cup$) a concava ($\cap$), con esattamente un punto di flesso all'interno dell'intervallo $(0, 4)$.

1. a) Dimostra formalmente perché è impossibile che un polinomio di secondo grado soddisfi simultaneamente queste specifiche.
2. b) Determina i coefficienti del polinomio di grado minimo possibile, $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, che soddisfa le condizioni di posizione e pendenza agli estremi.
3. c) Per la funzione cubica ottenuta, dimostra che la condizione di curvatura è verificata: determina gli intervalli di convessità e concavità, trova le coordinate del punto di flesso e giustifica perché nell'ascissa di tale punto di flesso la rampa raggiunge la sua pendenza massima, calcolandone il valore esatto.