Esercizi: Contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi ed energia relativistica

Un fenomeno dura $\Delta t_0 = 10\ \text{s}$ misurato nel proprio sistema di riferimento. Per un osservatore che lo vede passare ad alta velocità, il fattore di Lorentz vale $\gamma = 2$. Sapendo che la dilatazione del tempo è $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, quanto dura il fenomeno per quell'osservatore?

La contrazione delle lunghezze è $L = \frac{L_0}{\gamma}$. Un'astronave misura $L_0 = 100\ \text{m}$ a riposo e viaggia con $\gamma = 2$. Quale lunghezza misura un osservatore sulla Terra?

L'energia associata a una massa a riposo è $E = m \cdot c^2$, con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Calcola l'energia corrispondente a $1\ \text{kg}$ di massa ed esprimila in notazione scientifica.

Un'asta ha una lunghezza propria di $2\ \text{m}$ e si muove rispetto al laboratorio con $\gamma = 1,25$. Usando $L = \frac{L_0}{\gamma}$, calcola la sua lunghezza misurata dal laboratorio.

Un muone ha una vita media a riposo di $2,2\ \mu\text{s}$. Un fascio di muoni viaggia in un anello di accumulazione con $\gamma = 10$. Applicando $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, qual è la vita media dei muoni misurata dal laboratorio?

Calcola l'energia della massa a riposo di un elettrone, $m = 9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$, usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Esprimi il risultato in notazione scientifica con due cifre significative.

La contrazione delle lunghezze riguarda solo la dimensione parallela al moto. Un'astronave di $50\ \text{m}$ di lunghezza propria e $20\ \text{m}$ di altezza viaggia orizzontalmente con $\gamma = 1,25$. La figura mostra le sue dimensioni proprie.

1. a) Quale lunghezza misura dalla Terra ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Quale altezza misura dalla Terra? Giustificalo.

Un orologio viaggia su un'astronave con $\gamma = 1,5$. Quando per il viaggiatore sono trascorsi $6$ anni, quanti anni sono trascorsi sulla Terra? Applica $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$ e indica quale dei due tempi è il tempo proprio del viaggio.

Un astronauta viaggia su un'astronave con $\gamma = 1,25$. Dalla Terra si misura che il viaggio dura $8$ anni.

1. a) Usando $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, di quanti anni invecchia l'astronauta?
2. b) Se è partito a $30$ anni, quanti anni ha al ritorno e quanti ne ha suo fratello gemello, rimasto sulla Terra?

Un muone si crea nell'alta atmosfera viaggiando a $v = 0,998c$ con $\gamma = 15$; la sua vita media propria è $2,2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcola la sua vita media misurata dalla Terra ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$).
2. b) Calcola la distanza media che percorre secondo un osservatore terrestre.
3. c) Se il muone fosse stato creato a $30\ \text{km}$ di altezza, arriverebbe in media in superficie? Giustificalo con il risultato precedente.

Un'astronave di lunghezza propria $L_0 = 120\ \text{m}$ viaggia con $\gamma = 1,5$.

1. a) Quale lunghezza misura un osservatore terrestre ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Se il viaggio dura $10$ anni per la Terra, quanto dura per l'equipaggio ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) Motiva quale dei due osservatori misura il tempo proprio del viaggio e perché.

Un chilowattora, l'unità di energia delle bollette elettriche, equivale a $3,6 \cdot 10^{6}\ \text{J}$.

1. a) Usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcola a quale massa equivale $1\ \text{kW} \cdot \text{h}$ di energia.
2. b) Confronta questa massa con quella di un granello di sabbia ($10^{-5}\ \text{kg}$): quante volte è maggiore il granello di sabbia? Commenta il risultato.

Il Sole irradia una potenza di $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convertendo parte della sua massa in energia.

1. a) Calcola l'energia che emette ogni secondo.
2. b) Usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcola la massa che il Sole converte in energia ogni secondo.
3. c) Esprimi il risultato in tonnellate ($1\ \text{t} = 10^{3}\ \text{kg}$).

Un pione ha una vita propria di $2,6 \cdot 10^{-8}\ \text{s}$. In un acceleratore lineare viaggia a $v = 0,98c$ con $\gamma = 5$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Qual è la sua vita media misurata in laboratorio ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
2. b) Quale distanza media percorre nell'acceleratore prima di decadere?
3. c) Spiega perché senza la dilatazione del tempo i pioni percorrerebbero appena circa $8\ \text{m}$ e quale conseguenza avrebbe ciò per la loro rivelazione.

Il fattore di Lorentz è $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, da cui $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$.

1. a) Calcola la velocità di un'astronave che viaggia con $\gamma = 2$, espressa come frazione di $c$.
2. b) Esprimi questa velocità in $\text{m/s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

Una lampadina da $100\ \text{W}$ resta accesa per $10$ anni, cioè $3,2 \cdot 10^{8}\ \text{s}$.

1. a) Calcola l'energia elettrica consumata.
2. b) Usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcola la massa equivalente a quell'energia.
3. c) Confronta questa massa con quella di un batterio ($10^{-15}\ \text{kg}$): quante volte è maggiore?

Proxima Centauri, la stella più vicina al Sole, si trova a $4,2$ anni luce misurati dalla Terra. Un'astronave viaggia verso di essa con $\gamma = 2$, che corrisponde a $v = 0,866c$ (si ottiene da $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$). Ricorda che un anno luce è la distanza che la luce percorre in un anno. Lo schema riassume il viaggio.

1. a) Quanto dura il viaggio per gli osservatori terrestri?
2. b) Quanto dura per l'equipaggio ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) Quale distanza Terra-stella misura l'equipaggio ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
4. d) Verifica la coerenza dei risultati: l'equipaggio deve percorrere la distanza contratta del punto c) alla velocità $0,866c$ nel tempo del punto b). Verificalo numericamente.

Il Sole ha una massa di $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$ e irradia una potenza di $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convertendo massa in energia ($E = m \cdot c^2$; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcola la massa che il Sole perde ogni secondo.
2. b) Calcola la massa persa in $10^{10}$ anni ($3,2 \cdot 10^{17}\ \text{s}$), dell'ordine della sua vita totale.
3. c) Quale frazione della massa solare rappresenta? Esprimila in percentuale.
4. d) Concludi se la radiazione cambia in modo apprezzabile la massa del Sole nel corso della sua vita e commenta perché la sua gravità ne risente appena.

Nel Sole, ogni reazione della catena protone-protone converte quattro protoni in un nucleo di elio con un difetto di massa di $\Delta m = 4,7 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$ ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcola l'energia liberata in ogni reazione ($E = \Delta m \cdot c^2$).
2. b) Il Sole irradia $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$: calcola quante di queste reazioni avvengono ogni secondo.
3. c) Se ogni reazione consuma quattro protoni di $1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$ ciascuno, calcola la massa di idrogeno che il Sole fonde ogni secondo.
4. d) Confronta la massa fusa del punto c) con la massa convertita in energia dei punti a) e b): quale percentuale della massa si trasforma in energia?

Un'astronave di lunghezza propria $100\ \text{m}$ attraversa una stazione spaziale con $\gamma = 7,09$. La stazione dispone di un hangar di $15\ \text{m}$. Lo schema rappresenta la situazione.

1. a) Quale lunghezza misura il personale della stazione per l'astronave ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)? Secondo loro, l'astronave sta intera dentro l'hangar, anche solo per un istante?
2. b) Per il pilota è la stazione a muoversi: quale lunghezza misura il pilota per l'hangar? Secondo lui l'astronave ci sta?
3. c) L'apparente contraddizione si scioglie perché «l'astronave è tutta dentro nello stesso istante» non significa la stessa cosa per i due osservatori. Nomina e spiega il concetto relativistico che risolve il paradosso.

Un chilogrammo di benzina libera bruciando $4,6 \cdot 10^{7}\ \text{J}$ ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcola l'energia corrispondente alla massa a riposo di $1\ \text{kg}$ secondo $E = m \cdot c^2$.
2. b) A quanti chilogrammi di benzina equivarrebbe quell'energia?
3. c) Quale frazione della sua massa a riposo converte in energia la benzina bruciando?
4. d) Alla luce del risultato, spiega perché l'equivalenza massa-energia passa inosservata nelle reazioni chimiche e quali tipi di processi convertono invece una frazione apprezzabile di massa in energia.

Un muone si crea a $15\ \text{km}$ di altezza, viaggia a $v = 0,9995c$ con $\gamma = 31,6$ e la sua vita media propria è $2,2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). La figura confronta i due punti di vista.

1. a) Calcola la sua vita media vista dalla Terra ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$).
2. b) Calcola la distanza media che percorre secondo la Terra e concludi se può arrivare in superficie.
3. c) Dal punto di vista del muone, la sua vita è di $2,2\ \mu\text{s}$ ma l'atmosfera si contrae: calcola lo spessore di atmosfera che attraversa ($L = \frac{L_0}{\gamma}$) e la distanza che percorre nella sua vita propria, e verifica che arrivi alla stessa conclusione del punto b).
4. d) Spiega perché entrambi gli osservatori concordano sul risultato finale (il muone arriva al suolo) pur spiegandolo in modo diverso.

Un'agenzia spaziale studia il caso di un'astronave di $50\ \text{m}$ di lunghezza propria che misuri solo $10\ \text{m}$ vista dalla Terra.

1. a) Quale fattore $\gamma$ serve a tal fine ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Calcola la velocità corrispondente con $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$ ed esprimila come frazione di $c$.
3. c) Con quel fattore $\gamma$, quanti anni trascorrerebbero sulla Terra per ogni anno di invecchiamento dell'equipaggio ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
4. d) Alla luce dei risultati, valuta quali vantaggi e quali problemi comporterebbe il viaggio interstellare a tali velocità per l'esplorazione umana.

In una tomografia a emissione di positroni (PET), un positrone emesso da un tracciante radioattivo si annichila con un elettrone del tessuto e tutta la sua massa si converte in energia, emessa in due fotoni gamma. La massa di ciascuna particella è $9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). Lo schema rappresenta il processo.

1. a) Calcola la massa totale che si annichila nell'evento.
2. b) Calcola l'energia liberata ($E = m \cdot c^2$).
3. c) Quale energia porta ciascun fotone, se i due si ripartiscono l'energia in parti uguali?
4. d) Spiega perché l'annichilazione materia-antimateria è il processo di conversione di massa in energia più efficiente possibile e confrontala con la fusione solare, che converte meno del $1\ \%$ della massa.

Sfida del tema. Prepara una relazione scientifica modellizzando il passaggio dei muoni cosmici nel tuo ambiente quotidiano.

1. Misura sperimentale: Misura con un metro a nastro l'altezza della tua stanza o delle scale di casa tua ($L_0$). Esegui 5 ripetizioni per calcolare il valore medio e la sua incertezza assoluta ($L_0 \pm \Delta L_0$).

2. Trattamento dei dati e modellizzazione: Supponendo che un muone ($m = 1,88 \cdot 10^{-28}\text{ kg}$) attraversi quella distanza a diverse velocità ($v = 0,5c; 0,8c; 0,95c; 0,99c$), elabora una tabella e un grafico che rappresentino la contrazione della lunghezza ($L$), la dilatazione temporale (tempo di percorrenza nel tuo riferimento, $\Delta t = L_0/v$, e tempo proprio del muone, $\Delta \tau = \Delta t/\gamma$) e l'energia totale relativistica ($E = \gamma m c^2$) in funzione di $v/c$.

3. Analisi critica: Scrivi una conclusione che fondi i postulati di Einstein, spiegando perché la particella non raggiunge $c$ mediante il bilancio energetico e confrontando la prospettiva del muone con la tua.

Verranno valutati:

• Precisione nella raccolta di misure domestiche e corretta espressione delle incertezze.

• Rigore matematico nel calcolo delle grandezze relativistiche e chiarezza del grafico.

• Applicazione coerente dei postulati della relatività e del concetto di energia relativistica.