Esercizi: Il modello standard e le particelle fondamentali

Il modello standard descrive la materia ordinaria a partire da poche particelle elementari: i quark e i leptoni. I quark sono di sei tipi: up ($\text{u}$), down ($\text{d}$), strange ($\text{s}$), charm ($\text{c}$), bottom ($\text{b}$) e top ($\text{t}$), e i primi due, con cariche $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ e $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, formano i protoni e i neutroni.

1. a) Quanti tipi di quark esistono e quali formano la materia ordinaria che ci circonda?
2. b) Che cosa significa che i quark sono particelle «elementari»?
3. c) Indica il valore della carica elettrica dei quark $\text{u}$ e $\text{d}$ espressa in unità della carica elementare $e$.

Un protone è formato da tre quark: due quark $\text{u}$ e un quark $\text{d}$ (combinazione $\text{uud}$). Dati: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$ e $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$. Osserva lo schema:

1. a) Somma le cariche dei suoi tre quark ed esprimi la carica totale del protone in funzione di $e$.
2. b) Calcola il valore di tale carica in coulomb.
3. c) Perché si dice che il protone non è una particella elementare?

Un neutrone è formato da un quark $\text{u}$ e due quark $\text{d}$ (combinazione $\text{udd}$). Dati: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ e $q_d = -\frac{1}{3}\,e$.

1. a) Calcola la carica totale del neutrone sommando le cariche dei suoi tre quark.
2. b) Spiega, alla luce del risultato, perché il neutrone è elettricamente neutro pur essendo formato da particelle cariche.
3. c) Il neutrone contiene carica elettrica al suo interno? Motiva la risposta a partire dal tuo calcolo.

Oltre ai quark, il modello standard comprende un'altra famiglia di particelle di materia: i leptoni. L'elettrone, il muone e il tau, insieme ai loro tre neutrini associati, sono leptoni.

1. a) Quale proprietà hanno in comune i leptoni che li distingue dai quark? (Pensa se sono o no formati da altre particelle e a quali interazioni risentono.)
2. b) Qual è l'unico leptone carico presente nella materia ordinaria?
3. c) Indica due proprietà che distinguono i neutrini dagli altri leptoni.

Nel modello standard, oltre alle particelle di materia (quark e leptoni), esistono i bosoni. Il fotone, i bosoni $\text{W}$ e $\text{Z}$ e i gluoni sono particelle mediatrici delle interazioni; anche il bosone di Higgs è un bosone, ma non media nessuna delle interazioni fondamentali.

1. a) Nomina il bosone mediatore dell'interazione elettromagnetica.
2. b) Quale bosone del modello standard è legato al fatto che le particelle abbiano massa?
3. c) Spiega con parole tue la differenza tra il ruolo di un bosone mediatore e quello di una particella di materia come un leptone.

In un rivelatore di un laboratorio di fisica delle particelle vengono registrate queste sei particelle: elettrone, protone, neutrone, fotone, neutrino e bosone di Higgs.

1. a) Quali di esse sono leptoni?
2. b) Quali sono adroni, cioè sono formate da quark?
3. c) Quali sono bosoni mediatori o associati a un campo?

Nel 1932, Carl Anderson scoprì il positrone nei raggi cosmici: una particella identica all'elettrone ma con carica positiva. Fu la prima antiparticella osservata.

1. a) Quali proprietà condividono una particella e la sua antiparticella e in quale proprietà differiscono?
2. b) Indica come si chiama e quale carica ha l'antiparticella del protone.
3. c) Che cosa accade quando una particella e la sua antiparticella si incontrano?

Gli adroni si classificano in due grandi gruppi: i barioni, formati da tre quark, e i mesoni, formati da un quark e un antiquark. Osserva lo schema di un mesone:

1. a) A quale dei due gruppi appartengono il protone e il neutrone?
2. b) Il pione $\pi^+$ è un mesone formato da un quark $\text{u}$ e un antiquark $\bar{\text{d}}$. Sapendo che $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ e che un antiquark ha la carica opposta a quella del suo quark, calcola la carica del pione in funzione di $e$.
3. c) Spiega se il risultato ottenuto è coerente con il nome del pione, $\pi^+$.

I barioni delta sono combinazioni di tre quark $\text{u}$ e $\text{d}$: il $\Delta^{++}$ è $\text{uuu}$, il $\Delta^{+}$ è $\text{uud}$, il $\Delta^{0}$ è $\text{udd}$ e il $\Delta^{-}$ è $\text{ddd}$. Dati: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$ e $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcola la carica elettrica di ciascuno dei quattro barioni delta in funzione di $e$.
2. b) Esprimi tali cariche in coulomb.
3. c) Spiega perché l'apice di ciascuna particella ($++$, $+$, $0$, $-$) coincide con il risultato del tuo calcolo.

Un mesone è formato da un quark e un antiquark. Considera solo quark e antiquark dei tipi $\text{u}$ e $\text{d}$. Dati: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, e la carica di un antiquark è l'opposta di quella del suo quark.

1. a) Quale combinazione quark-antiquark dà origine a un mesone di carica $-e$? Verificalo sommando le cariche.
2. b) Quali combinazioni danno origine a mesoni neutri? Verificalo.
3. c) Giustifica, a partire dalle cariche possibili, perché nessun mesone può avere carica $+2\,e$.

In fisica delle particelle le energie si esprimono in elettronvolt e nei suoi multipli: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$.

1. a) L'energia a riposo dell'elettrone è $0,511\ \text{MeV}$: esprimila in joule.
2. b) L'energia a riposo del protone è $938\ \text{MeV}$: esprimila in joule.
3. c) Quante volte è maggiore l'energia a riposo del protone rispetto a quella dell'elettrone? Esprimi il risultato in notazione scientifica.

Secondo la relatività, ogni particella a riposo possiede un'energia $E_0 = m \cdot c^2$ associata alla sua massa. Dati: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcola l'energia a riposo dell'elettrone in joule.
2. b) Converti il risultato in $\text{MeV}$ e verifica che coincide approssimativamente con il valore accettato, $0,511\ \text{MeV}$.
3. c) Ripeti il calcolo per il protone ($m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) e confronta il risultato con $938\ \text{MeV}$.

In una tomografia a emissione di positroni (PET), tecnica di diagnostica medica, si inietta al paziente un radiotracciante che emette positroni. Ogni positrone si annichila con un elettrone del tessuto e vengono emessi due fotoni gamma in versi opposti. Dati: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Osserva lo schema:

1. a) Supponendo che l'elettrone e il positrone siano praticamente a riposo, calcola l'energia totale liberata nell'annichilazione, in joule.
2. b) Quale energia porta ciascuno dei due fotoni? Esprimila in $\text{MeV}$.
3. c) Spiega, usando la conservazione della quantità di moto, perché i due fotoni partono in versi opposti e perché ciò permette all'apparecchio PET di localizzare il punto in cui è avvenuta l'annichilazione.

Nel modello standard è usuale esprimere le masse delle particelle in $\text{MeV}/c^2$. Dati: massa dell'elettrone $m_e = 0,511\ \text{MeV}/c^2$, massa del muone $m_\mu = 105,7\ \text{MeV}/c^2$, $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Spiega che cosa significa esprimere una massa in $\text{MeV}/c^2$ e quale relazione ha con l'equazione $E_0 = m \cdot c^2$.
2. b) Calcola la massa del muone in chilogrammi.
3. c) Quante volte è più massivo il muone rispetto all'elettrone? Questo risultato, vicino a $207$, fece sì che negli anni '30 il muone fosse inizialmente scambiato per la particella prevista da Yukawa, identificazione poi esclusa per la sua debole interazione con i nuclei.

Nell'esperimento ALPHA del CERN si producono atomi di antidrogeno, la più semplice antimateria possibile, combinando un antiprotone con un positrone. Dati: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, e la carica di un antiquark è l'opposta di quella del suo quark.

1. a) Indica la composizione dell'antidrogeno e stabilisci, motivando, qual è la sua carica netta.
2. b) L'antiprotone è formato da due antiquark $\bar{\text{u}}$ e un antiquark $\bar{\text{d}}$: calcola la sua carica in funzione di $e$.
3. c) Spiega perché immagazzinare antimateria è così difficile e quali tecniche (vuoto estremo, trappole magnetiche) si usano per riuscirci.

Ogni secondo attraversano il nostro corpo circa $10^{14}$ neutrini provenienti dalle reazioni nucleari del Sole, senza che ce ne accorgiamo minimamente.

1. a) Spiega, a partire dalle loro proprietà (carica, massa e tipo di interazione cui sono soggetti), perché i neutrini attraversano la Terra intera senza quasi interagire.
2. b) A quale famiglia del modello standard appartengono i neutrini e in che cosa si distinguono dai quark?
3. c) Spiega perché i rivelatori di neutrini, come Super-Kamiokande in Giappone, utilizzano giganteschi serbatoi d'acqua installati in profondità sotto terra.

Nel decadimento beta, un neutrone libero si trasforma secondo il processo $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^- + \bar{\nu}_e$, dove $\bar{\nu}_e$ è un antineutrino elettronico. Dati: il neutrone è $\text{udd}$, il protone è $\text{uud}$, $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ e $q_d = -\frac{1}{3}\,e$. Osserva lo schema del processo:

1. a) Verifica che la carica elettrica si conserva nel processo, sommando le cariche prima e dopo.
2. b) Confrontando le composizioni del neutrone e del protone, quale trasformazione subisce uno dei quark durante il decadimento?
3. c) Tenendo conto che il neutrone è neutro e il protone ha carica $+e$, spiega perché è indispensabile che venga emesso anche un elettrone, e indica quali indizi (conservazione dell'energia e della quantità di moto) obbligarono a postulare, inoltre, l'antineutrino.

Vengono proposte queste tre reazioni tra particelle ($\bar{\text{p}}$ rappresenta un antiprotone, di carica $-e$; l'antineutrino $\bar{\nu}_e$ e i fotoni $\gamma$ non hanno carica):

• Reazione 1: $\text{p} + \bar{\text{p}} \rightarrow \gamma + \gamma$

• Reazione 2: $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^-$

• Reazione 3: $\text{e}^- + \text{e}^- \rightarrow \text{e}^-$

1. a) Verifica per ciascuna reazione se la carica elettrica si conserva.
2. b) La reazione 2 conserva la carica e, tuttavia, non si osserva mai così in natura: manca un antineutrino tra i prodotti. Spiega quali grandezze non si conserverebbero senza di esso (pensa al numero leptonico, allo spin e al fatto che l'energia degli elettroni emessi ha uno spettro continuo).
3. c) Nell'annichilazione protone-antiprotone della reazione 1, supponendo entrambe le particelle praticamente ferme, calcola l'energia totale disponibile per i fotoni, in joule e in $\text{GeV}$. Dati: $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

I muoni sono leptoni instabili, con una vita media di soli $\tau = 2,2\ \mu\text{s}$. Si producono nell'alta atmosfera, a circa $15\ \text{km}$ di altezza, quando i raggi cosmici urtano le molecole dell'aria, e viaggiano praticamente alla velocità della luce. Dati: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; considera un muone con velocità $v = 0,999\,c$. Osserva lo schema:

1. a) Secondo la fisica classica, calcola la distanza che il muone percorrerebbe, in media, prima di decadere.
2. b) Confronta tale distanza con i $15\ \text{km}$ che lo separano dal suolo e spiega che cosa prevederebbe la fisica classica sulla possibilità di rivelare muoni sulla superficie terrestre.
3. c) Sulla superficie i muoni si rivelano in abbondanza: spiega qualitativamente quale effetto relativistico (dilatazione dei tempi o, equivalentemente, contrazione delle lunghezze) lo rende possibile.

L'annichilazione materia-antimateria converte il $100\ \%$ della massa in energia, il rendimento più alto consentito dalla fisica. Dati: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; la combustione della benzina libera circa $4,5\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$.

1. a) Calcola l'energia liberata dall'annichilazione di $1\ \text{g}$ di antimateria con $1\ \text{g}$ di materia ordinaria. Ricorda che scompare la massa di entrambe.
2. b) A quanti chilogrammi di benzina equivale tale energia? Esprimi il risultato in notazione scientifica.
3. c) Nonostante questo rendimento spettacolare, l'antimateria non sarà mai una fonte di energia pratica: spiega perché, pensando a dove si ottiene l'antimateria e a quanta energia costa produrla.

La massa del protone è $938\ \text{MeV}/c^2$, ma le masse dei suoi tre quark (due $\text{u}$ e un $\text{d}$) sommano appena circa $9\ \text{MeV}/c^2$, intorno al $1\ \%$ del totale. Dato: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Osserva il grafico:

1. a) Se la massa a riposo del protone non deriva dalla massa dei suoi quark, da dove deriva fondamentalmente? Spiega la tua risposta usando l'equivalenza $E_0 = m \cdot c^2$ e l'energia associata all'interazione forte che lega i quark.
2. b) Calcola in joule l'energia equivalente alla massa del protone.
3. c) Commenta criticamente questa affermazione: «La massa della materia ordinaria è, soprattutto, energia intrappolata».

Il protone libero è stabile, ma un neutrone libero decade in media in circa $880\ \text{s}$. Dati (energie a riposo): $E_0(\text{n}) = 939,6\ \text{MeV}$, $E_0(\text{p}) = 938,3\ \text{MeV}$, $E_0(\text{e}^-) = 0,511\ \text{MeV}$; l'energia a riposo dell'antineutrino è praticamente nulla. Osserva il diagramma dei livelli:

1. a) Verifica con i dati che il decadimento $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^- + \bar{\nu}_e$ è energeticamente possibile e calcola l'energia liberata.
2. b) Spiega, con gli stessi dati, perché il processo inverso spontaneo, $\text{p} \rightarrow \text{n} + \text{e}^+ + \nu_e$, non può avvenire per un protone libero.
3. c) Collega le tue conclusioni al fatto che la materia stabile dell'universo sia formata da protoni ed elettroni, e non da neutroni liberi.

Non è mai stato osservato un quark isolato: i quark esistono solo in combinazioni (barioni di tre quark o mesoni quark-antiquark). Questa proprietà dell'interazione forte si chiama confinamento. Dati: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ e $q_d = -\frac{1}{3}\,e$.

1. a) Spiega perché la carica elettrica di qualsiasi particella osservabile liberamente è sempre un multiplo intero di $e$, anche se i quark hanno cariche di $\pm\frac{1}{3}\,e$ o $\pm\frac{2}{3}\,e$. Verificalo con un barione e con un mesone.
2. b) Cercando di separare due quark, l'energia impiegata si materializza in una coppia quark-antiquark creata dal vuoto, e al posto di quark liberi compaiono due nuovi adroni. Collega questo fatto al confinamento e all'equazione $E = m \cdot c^2$.
3. c) Confronta la situazione con quella di spezzare a metà un magnete sperando di separare il polo nord dal polo sud: indica in che cosa i due fenomeni si assomigliano e in che cosa differiscono.

Fino al 2012 il bosone di Higgs era l'unico tassello del modello standard privo di conferma sperimentale. La sua esistenza spiega perché le particelle elementari hanno massa. Dati: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Spiega qualitativamente il ruolo del campo di Higgs: perché il fotone, che non interagisce con tale campo, non ha massa, mentre i bosoni $\text{W}$ e $\text{Z}$, che invece interagiscono con esso, sono molto massivi?
2. b) La massa del bosone di Higgs è $125\ \text{GeV}/c^2$: calcola la sua energia a riposo in joule e la sua massa in chilogrammi.
3. c) Quante volte è più massivo il bosone di Higgs di un protone? Commenta perché è servito l'acceleratore più potente del mondo per produrlo.