Esercizi: Radioattività e processi nucleari

I nuclei instabili emettono tre tipi di radiazione: alfa ($\alpha$), beta ($\beta$) e gamma ($\gamma$).

1. a) Indica la natura di ciascuna: si tratta di un nucleo di elio, di un elettrone o di un fotone?
2. b) Ordinale dalla massa minore alla maggiore.
3. c) Indica quali hanno carica elettrica e di che segno.

In un laboratorio ci sono tre materiali di protezione: un foglio di carta, una lastra di alluminio di alcuni millimetri di spessore e un muro spesso di piombo o di calcestruzzo. Osserva lo schema:

1. a) Associa ciascun materiale al tipo di radiazione (alfa, beta o gamma) che basta a fermare.
2. b) Quale delle tre radiazioni è la più penetrante? E la meno?
3. c) Spiega perché i tecnici che lavorano con sorgenti gamma usano schermi o grembiuli di piombo.

L'uranio-238 decade emettendo una particella alfa (un nucleo di elio-4, ${}^{4}_{2}\text{He}$) e si trasforma in torio.

1. a) Scrivi l'equazione completa del processo, ${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Th} + {}^{4}_{2}\text{He}$, calcolando i valori di $A$ e di $Z$.
2. b) Enuncia le due leggi di conservazione che hai applicato: quella del numero di massa e quella del numero atomico.

Il carbonio-14, usato nella datazione di reperti archeologici, decade per emissione beta meno: un neutrone del nucleo si trasforma in un protone e viene emesso un elettrone (${}^{0}_{-1}\text{e}$).

1. a) Scrivi l'equazione del processo, ${}^{14}_{6}\text{C} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e}$, calcolando $A$ e $Z$.
2. b) Spiega perché in un decadimento beta il numero di massa non cambia ma cambia il numero atomico.

Il tempo di dimezzamento di un isotopo radioattivo è il tempo che occorre perché la quantità di nuclei non decaduti si riduca della metà. Una sorgente di laboratorio contiene $100\ \text{g}$ di un certo isotopo. La figura mostra la sua curva di decadimento.

1. a) Quanti grammi rimangono non decaduti dopo un tempo di dimezzamento?
2. b) E dopo due tempi di dimezzamento? E dopo tre?
3. c) Scrivi, in funzione di $n$, l'espressione generale della frazione che rimane dopo $n$ tempi di dimezzamento.

Dopo molti decadimenti alfa o beta, il nucleo figlio rimane in uno stato eccitato e si diseccita emettendo radiazione gamma. Osserva lo schema dei livelli:

1. a) Spiega che cos'è la radiazione gamma: in che cosa somiglia alla luce visibile e in che cosa si differenzia?
2. b) Il numero di massa $A$ o il numero atomico $Z$ del nucleo cambiano quando emette gamma? Giustifica la risposta.

L'attività di un campione radioattivo è il numero di decadimenti che avvengono in esso ogni secondo e si misura in becquerel ($1\ \text{Bq} = 1$ decadimento al secondo).

1. a) In un campione di laboratorio si contano $12000$ decadimenti in un minuto: calcola la sua attività in becquerel.
2. b) Spiega che cosa accade all'attività di un campione col passare del tempo, mettendolo in relazione con la diminuzione del numero di nuclei.

Le due vie per ottenere energia dai nuclei sono la fissione e la fusione.

1. a) Definisci con parole tue in che cosa consiste ciascuna.
2. b) Fai un esempio di dove avviene ciascuna, in modo naturale o tecnologico.
3. c) Quale dei due processi è la fonte di energia del Sole? Giustificalo.

Il torio-232 (${}^{232}_{90}\text{Th}$) emette prima una particella alfa (${}^{4}_{2}\text{He}$) e il nucleo risultante emette poi una particella beta meno (${}^{0}_{-1}\text{e}$). Osserva lo schema della catena:

1. a) Scrivi l'equazione del primo decadimento e identifica il nuclide figlio (è un isotopo del radio, di $Z = 88$).
2. b) Scrivi l'equazione del secondo decadimento e identifica il nuclide finale (è un isotopo dell'attinio, di $Z = 89$).
3. c) Verifica che in ogni passaggio si conservano il numero di massa e il numero atomico.

Lo iodio-131, impiegato in medicina nucleare, ha un tempo di dimezzamento di $8$ giorni. Un ospedale riceve un campione di $80\ \text{mg}$.

1. a) Quanti tempi di dimezzamento sono trascorsi dopo $32$ giorni?
2. b) Calcola la massa di iodio-131 che rimane non decaduta dopo $32$ giorni.
3. c) Esprimi tale massa come percentuale della massa iniziale.

Il tecnezio-99m, il radiofarmaco più utilizzato in diagnostica, ha un tempo di dimezzamento di $6\ \text{h}$. Si somministra a un paziente una dose la cui attività iniziale è di $800\ \text{MBq}$ (ricorda che il prefisso mega significa $10^{6}$).

1. a) Calcola l'attività che rimane dopo $6\ \text{h}$.
2. b) Calcola l'attività che rimane dopo un giorno intero, $24\ \text{h}$.
3. c) Spiega perché un tempo di dimezzamento così breve è un vantaggio per il paziente e, al tempo stesso, un problema logistico per l'ospedale.

In alcuni resti ossei trovati vicino alle grotte di Altamira si misura che la proporzione di carbonio-14 attuale è un quarto di quella che avevano le ossa quando l'animale morì. Il tempo di dimezzamento del carbonio-14 è di $5730$ anni. La figura mostra la curva di decadimento del carbonio-14.

1. a) Quanti tempi di dimezzamento sono trascorsi dalla morte dell'animale?
2. b) Calcola l'età dei resti.
3. c) Spiega perché il carbonio-14 di un organismo smette di essere rinnovato quando questo muore, e perché ciò permette di usarlo come «orologio».

Nel legno di una nave attribuita ai vichinghi si misura che la concentrazione di carbonio-14 è un ottavo di quella del legno attuale. Il tempo di dimezzamento del carbonio-14 è di $5730$ anni.

1. a) Esprimi la frazione $\frac{1}{8}$ come potenza di $\frac{1}{2}$ e deduci quanti tempi di dimezzamento sono trascorsi da quando l'albero fu tagliato.
2. b) Calcola l'età del legno.
3. c) I vichinghi navigarono circa $1000$ anni fa: commenta se il risultato è compatibile con quell'epoca e quali conclusioni si potrebbero trarre sulla nave.

Una delle possibili reazioni di fissione dell'uranio-235 è ${}^{235}_{92}\text{U} + {}^{1}_{0}\text{n} \rightarrow {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + x \cdot {}^{1}_{0}\text{n}$. Osserva lo schema del processo:

1. a) Applicando la conservazione del numero di massa, calcola il valore di $x$.
2. b) Verifica che si conserva anche il numero atomico.
3. c) Spiega perché il fatto che in ogni fissione vengano liberati più neutroni rende possibile una reazione a catena.

Nei reattori sperimentali a fusione si impiega la reazione tra deuterio (${}^{2}_{1}\text{H}$) e trizio (${}^{3}_{1}\text{H}$): ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{A}_{Z}\text{X}$. Osserva lo schema:

1. a) Identifica la particella ${}^{A}_{Z}\text{X}$ che viene emessa, calcolando i valori di $A$ e di $Z$.
2. b) Perché due nuclei si fondano devono avvicinarsi fino a circa $10^{-15}\ \text{m}$: spiega quale forza bisogna vincere e perché è necessario scaldare il gas a più di $10^{8}\ \text{K}$.

La radiazione alfa è la più ionizzante delle tre e, tuttavia, la meno penetrante; la gamma è la più penetrante e la meno ionizzante.

1. a) Spiega che cosa significa che una radiazione è ionizzante.
2. b) Giustifica perché la radiazione alfa, pur avendo una grande capacità di ionizzare, attraversa appena lo strato esterno della pelle.
3. c) L'americio-241 dei rivelatori di fumo emette alfa: spiega perché non costituisce un pericolo finché rimane dentro il suo involucro, ma lo sarebbe se venisse inalato o ingerito.

Una sorgente di cobalto-60 di un'apparecchiatura per radioterapia ha un tempo di dimezzamento di $5,27$ anni e un'attività iniziale di $3,7 \cdot 10^{11}\ \text{Bq}$.

1. a) Esprimi il $12,5\ \%$ dell'attività iniziale come potenza di $\frac{1}{2}$.
2. b) Calcola quanti tempi di dimezzamento devono trascorrere perché la sorgente si riduca a quel valore e il tempo totale che ciò comporta.
3. c) Calcola l'attività della sorgente in quel momento.

L'attività del carbonio-14 negli organismi viventi è di circa $15$ disintegrazioni al minuto per grammo di carbonio. In un tessuto umano preistorico si misura un'attività di appena $1$ disintegrazione al minuto per grammo; considerala pari a $\frac{1}{16}$ di quella iniziale. Il tempo di dimezzamento del carbonio-14 è di $5730$ anni.

1. a) Calcola l'età del tessuto.
2. b) Stima l'attività che misureremmo in un campione di circa $60000$ anni (circa $10$ tempi di dimezzamento) e spiega perché il metodo del carbonio-14 non è più affidabile per età così grandi.

Nella serie radioattiva dell'uranio, il nucleo di radio-226 (${}^{226}_{88}\text{Ra}$) si trasforma alla fine in piombo-206 (${}^{206}_{82}\text{Pb}$) emettendo soltanto particelle alfa e beta meno. Osserva lo schema:

1. a) Ogni emissione alfa riduce $A$ di $4$ unità e ogni beta meno non lo modifica: calcola quante particelle alfa vengono emesse in totale per passare da $A = 226$ a $A = 206$.
2. b) Tenendo conto che ogni alfa riduce $Z$ di $2$ unità e ogni beta meno lo aumenta di $1$, calcola quante emissioni beta meno servono per arrivare a $Z = 82$.
3. c) Verifica che il bilancio finale delle due leggi di conservazione sia coerente.

In laboratorio si studia una sorgente radioattiva di isotopo sconosciuto: si verifica che in $24$ giorni la sua attività si è ridotta a un quarto di quella iniziale.

1. a) Esprimi la frazione rimasta come potenza di $\frac{1}{2}$ e deduci quanti tempi di dimezzamento sono trascorsi.
2. b) Calcola il tempo di dimezzamento dell'isotopo.
3. c) Prevedi quale frazione dell'attività iniziale rimarrà dopo altri $24$ giorni, e verificalo con il calcolo.

In ogni fissione di un nucleo di uranio-235 vengono liberati circa $200\ \text{MeV}$. Dati: $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ e massa molare dell'uranio-235: $235\ \text{g/mol}$.

1. a) Esprimi in joule l'energia liberata in una sola fissione.
2. b) Calcola quanti nuclei ci sono in $1\ \text{kg}$ di uranio-235.
3. c) Calcola l'energia totale liberata dalla fissione completa di quel chilogrammo e confrontala con la benzina, che libera circa $4,6 \cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$: quanti chilogrammi di benzina servirebbero per eguagliarla?

Nel Sole, il bilancio netto della catena protone-protone è l'unione di quattro protoni a formare un nucleo di elio-4, con un difetto di massa di $\Delta m = 0,0287\ \text{u}$ per ogni elio formato. Dati: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$ e potenza irradiata dal Sole: $P = 3,8 \cdot 10^{26}\ \text{W}$.

1. a) Calcola l'energia liberata alla formazione di ogni nucleo di elio, prima in $\text{MeV}$ e poi in joule.
2. b) Calcola quanti nuclei di elio si formano ogni secondo all'interno del Sole per sostenere quella potenza.
3. c) Giustifica, sapendo che la massa del Sole è di circa $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$, perché può brillare così da miliardi di anni.

Un appassionato di paleontologia propone di datare con il carbonio-14 un femore di dinosauro vecchio di $66$ milioni di anni. Il tempo di dimezzamento del carbonio-14 è di $5730$ anni e quello del potassio-40 di $1,25 \cdot 10^{9}$ anni.

1. a) Calcola a quanti tempi di dimezzamento del carbonio-14 corrispondono quei $66$ milioni di anni.
2. b) Stima quale frazione di carbonio-14 rimarrebbe nell'osso e spiega perché in questo caso il metodo è inutile.
3. c) Giustifica quale condizione deve soddisfare il tempo di dimezzamento di un isotopo perché serva a datare un campione di una data età, e spiega perché per rocce vecchie di milioni di anni si usano isotopi a lungo tempo di dimezzamento come il potassio-40.

Nel decadimento alfa del radio-226 in radon-222 si libera energia perché la massa del radio è maggiore della somma delle masse dei prodotti. Dati: $m(\text{Ra}) = 226,0254\ \text{u}$, $m(\text{Rn}) = 222,0176\ \text{u}$, $m_{\alpha} = 4,0026\ \text{u}$ e $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Calcola il difetto di massa del processo, in unità u.
2. b) Calcola l'energia liberata in ogni decadimento, in $\text{MeV}$.
3. c) Spiega in che cosa si trasforma quell'energia e giustifica perché quasi tutta compare come energia cinetica della particella alfa.