Esercizi: Nuclei atomici e stabilità degli isotopi

Il potassio delle banane contiene una piccola frazione dell'isotopo potassio-40, il cui nucleo ha numero atomico $Z = 19$ e numero di massa $A = 40$.

1. a) Indica quanti protoni e quanti neutroni ha quel nucleo.
2. b) Scrivi il suo simbolo con la notazione ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
3. c) Quanti elettroni ha l'atomo neutro di potassio-40? Giustifica la risposta.

In un nucleo di elio ci sono due protoni confinati in una regione di circa $10^{-15}\ \text{m}$ di diametro. Poiché entrambi hanno carica positiva, si respingono elettricamente con una forza considerevole; eppure il nucleo non si disgrega.

1. a) Spiega che cos'è la forza nucleare forte e perché riesce a mantenere unito il nucleo.
2. b) Ragiona sul perché, pur esistendo tale forza, i nuclei con troppi protoni finiscono per essere instabili.

Il carbonio ha tre isotopi naturali: carbonio-12, carbonio-13 e carbonio-14, tutti con $Z = 6$.

1. a) Spiega che cosa significa che due nuclei sono isotopi.
2. b) Calcola il numero di neutroni del nucleo di ciascuno dei tre isotopi.
3. c) I tre isotopi hanno le stesse proprietà chimiche? Rispondi ragionando sui loro elettroni.

L'unità di massa atomica (u) è definita come la dodicesima parte della massa di un atomo di carbonio-12 ed equivale a $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) La massa del nucleo di ossigeno-16 è di circa $16\ \text{u}$: esprimila in chilogrammi, in notazione scientifica.
2. b) Spiega perché in fisica nucleare è più comodo lavorare in unità u che in chilogrammi.

Dei circa $3000$ nuclidi conosciuti, solo circa $250$ sono stabili; gli altri prima o poi decadono.

1. a) Spiega che cosa significa che un nucleo è stabile e che cosa accade a un nucleo instabile.
2. b) Nei nuclei leggeri stabili il numero di neutroni $N$ e quello di protoni $Z$ sono quasi uguali: indica quanto vale, approssimativamente, il rapporto $\frac{N}{Z}$ in tali nuclei.

Il raggio di un atomo è dell'ordine di $10^{-10}\ \text{m}$, mentre quello del suo nucleo è dell'ordine di $10^{-15}\ \text{m}$, come mostrato nella figura.

1. a) Calcola quante volte il raggio dell'atomo è maggiore di quello del nucleo.
2. b) Il volume di una sfera è proporzionale al cubo del raggio: stima quante volte il volume dell'atomo è maggiore di quello del nucleo.
3. c) Alla luce del risultato, spiega perché si dice che l'atomo è quasi vuoto.

Le misure di precisione mostrano che la massa di un nucleo di elio-4 è minore della somma delle masse dei suoi due protoni e due neutroni misurati separatamente.

1. a) Spiega che cos'è il difetto di massa di un nucleo.
2. b) In che cosa si è trasformata la massa che «manca»? Nella tua spiegazione cita la relazione di Einstein $E = \Delta m \cdot c^2$.

L'energia di legame per nucleone è l'energia media necessaria per estrarre un nucleone da un nucleo.

1. a) Definisci che cos'è l'energia di legame di un nucleo.
2. b) L'energia di legame per nucleone è massima nei nuclei di massa intermedia, come il ferro, ed è minore in quelli molto leggeri e in quelli molto pesanti: ragiona su quali nuclei saranno i più stabili.

Considera questi cinque nuclidi: ${}^{14}_{6}\text{C}$, ${}^{14}_{7}\text{N}$, ${}^{12}_{6}\text{C}$, ${}^{16}_{8}\text{O}$ e ${}^{15}_{7}\text{N}$.

1. a) Calcola il numero di protoni e di neutroni di ciascuno.
2. b) Indica quali coppie sono isotopi (stesso $Z$) e quale coppia è isobara (stesso $A$).
3. c) Indica due nuclidi che hanno lo stesso numero di neutroni (isotoni).

Dati: massa del protone $m_p = 1,0073\ \text{u}$, massa del neutrone $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa del nucleo di elio-4 $m_{\alpha} = 4,0015\ \text{u}$ e $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la somma delle masse dei due protoni e dei due neutroni che formano il nucleo di elio-4, misurati separatamente.
2. b) Calcola il difetto di massa $\Delta m$ del nucleo, in unità u.
3. c) Esprimi tale difetto di massa in chilogrammi, in notazione scientifica.

Il difetto di massa del nucleo di elio-4 è $\Delta m = 0,0305\ \text{u}$, equivalente a $5,06 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$. Dati: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcola l'energia di legame del nucleo con la relazione di Einstein, $E = \Delta m \cdot c^2$, espressa in joule.
2. b) Converti il risultato in $\text{MeV}$ (tieni conto che $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Calcola l'energia di legame per nucleone dell'elio-4.

Nelle tabelle dei nuclidi si legge che l'energia di legame per nucleone del ferro-56 vale $8,8\ \text{MeV}$ e quella dell'uranio-235 $7,6\ \text{MeV}$, come mostrato nella figura.

1. a) Calcola l'energia di legame totale di ciascuno di questi due nuclei.
2. b) Spiega perché il ferro-56 è più stabile dell'uranio-235 anche se la sua energia di legame totale è minore.
3. c) Collega il risultato al fatto che l'uranio-235 libera energia quando fissiona.

Due protoni all'interno di un nucleo sono separati da una distanza di $10^{-15}\ \text{m}$, come mostrato nella figura. Dati: costante di Coulomb $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ e carica del protone $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcola la forza elettrica di repulsione tra di essi applicando la legge di Coulomb, $F = K \cdot \frac{e^2}{r^2}$.
2. b) Il valore ottenuto è enorme per una forza tra particelle: spiega quale conclusione se ne ricava sull'intensità della forza nucleare forte che le tiene unite.

Il rapporto $\frac{N}{Z}$ dei nuclei stabili vale circa $1$ in quelli leggeri e cresce fino a circa $1,5$ in quelli più pesanti, come mostra la figura.

Calcola il rapporto $\frac{N}{Z}$ di ciascuno di questi nuclidi e prevedi, confrontando con tale tendenza, se è lecito aspettarsi che siano stabili o instabili:

1. a) ${}^{12}_{6}\text{C}$
2. b) ${}^{14}_{6}\text{C}$
3. c) ${}^{206}_{82}\text{Pb}$
4. d) ${}^{238}_{92}\text{U}$

Marie Curie isolò il radio nel $1898$, e per decenni l'attività di $1\ \text{g}$ di radio-226 servì come unità di misura, il curie. Dati: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ e massa molare del radio-226: $226\ \text{g/mol}$.

1. a) Calcola quanti nuclei di radio-226 ci sono in un campione di $1\ \text{mg}$.
2. b) Calcola quanti nuclei ci sono in $1\ \text{g}$, la quantità che definiva il curie.

In fisica nucleare si usa l'equivalenza tra massa ed energia $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Il difetto di massa del deuterio (nucleo di idrogeno-2) è $\Delta m = 0,0024\ \text{u}$: calcola la sua energia di legame in $\text{MeV}$.
2. b) Calcola la sua energia di legame per nucleone e confrontala con quella del ferro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ per nucleone): ragiona su quale dei due nuclei è più stabile.

Dati: massa del protone $m_p = 1,0073\ \text{u}$, massa del neutrone $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa del nucleo di ferro-56 $m(\text{Fe}) = 55,9207\ \text{u}$ e $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Il ferro-56 ha $Z = 26$: indica quanti protoni e quanti neutroni contiene il suo nucleo.
2. b) Calcola il suo difetto di massa, in unità u.
3. c) Calcola la sua energia di legame totale e la sua energia di legame per nucleone, in $\text{MeV}$.
4. d) Sapendo che l'energia di legame per nucleone del carbonio-12 è di $7,7\ \text{MeV}$, ragiona su quale dei due nuclei è più stabile e quale processo, fusione o fissione, potrebbe liberare energia partendo da ciascuno.

La curva dell'energia di legame per nucleone in funzione del numero di massa $A$ cresce rapidamente a partire dai nuclei più leggeri, raggiunge un massimo intorno al ferro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ per nucleone) e poi scende dolcemente fino a circa $7,6\ \text{MeV}$ per l'uranio-235.

1. a) Disegna sul quaderno tale curva, indicando il massimo e le zone dei nuclei leggeri e pesanti.
2. b) Spiega, a partire dalla forma della curva, perché la fusione di nuclei leggeri libera energia.
3. c) Spiega, con lo stesso argomento, perché anche la fissione di nuclei molto pesanti libera energia.
4. d) Ragiona sul perché non si può ottenere energia né fondendo né fissionando nuclei di ferro.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

L'energia di legame totale del trizio (nucleo di idrogeno-3) è di $8,48\ \text{MeV}$. Dati: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $m_p = 1,0073\ \text{u}$ e $m_n = 1,0087\ \text{u}$.

1. a) Calcola il difetto di massa del trizio, in unità u.
2. b) Sapendo che il trizio ha un protone e due neutroni, calcola la massa del suo nucleo.
3. c) Calcola la sua energia di legame per nucleone e, confrontandola con quella dell'elio-4 ($7,1\ \text{MeV}$), spiega perché la fusione di deuterio e trizio per formare elio libera energia.

L'ossigeno ha solo tre isotopi stabili: ${}^{16}_{8}\text{O}$, ${}^{17}_{8}\text{O}$ e ${}^{18}_{8}\text{O}$. Gli isotopi con un eccesso di neutroni tendono a decadere per emissione beta meno ($\beta^{-}$: un neutrone si trasforma in protone), e quelli con un difetto di neutroni per emissione beta più ($\beta^{+}$: un protone si trasforma in neutrone).

1. a) Calcola il rapporto $\frac{N}{Z}$ di ${}^{14}_{8}\text{O}$ e di ${}^{21}_{8}\text{O}$ e confrontalo con quello di ${}^{16}_{8}\text{O}$.
2. b) Prevedi che tipo di decadimento subirà ciascuno di questi due isotopi instabili, giustificando la risposta.
3. c) Scrivi l'equazione di ciascun processo e identifica il nuclide figlio che si forma in ogni caso.

Poco dopo il Big Bang, i protoni e i neutroni dell'universo primordiale si unirono formando deuterio, e a ogni unione veniva emesso un fotone gamma. Dati: $m_p = 1,0073\ \text{u}$, $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa del nucleo di deuterio $m_d = 2,0136\ \text{u}$ e $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Calcola il difetto di massa del processo in cui un protone e un neutrone formano un nucleo di deuterio.
2. b) Calcola l'energia liberata nella formazione di ciascun nucleo di deuterio, in $\text{MeV}$.
3. c) Dove va a finire quell'energia? Spiega il ruolo del fotone gamma emesso.

Il raggio di un nucleo si può stimare con l'espressione $R = R_0 \cdot A^{1/3}$, dove $R_0 = 1,2 \cdot 10^{-15}\ \text{m}$ e $A$ è il numero di massa. Per il ferro-56 prendi $A^{1/3} \approx 3,8$ e una massa nucleare di $9,3 \cdot 10^{-26}\ \text{kg}$. Il volume di una sfera è $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$, con $\pi \approx 3,14$.

1. a) Calcola il raggio del nucleo di ferro-56.
2. b) Calcola il suo volume e la sua densità, in $\text{kg/m}^3$.
3. c) La materia di una stella di neutroni ha una densità simile a quella nucleare: calcola la massa che avrebbe un cucchiaino di $5\ \text{cm}^3$ di tale materia e commenta il risultato.

Quando una stella massiccia esaurisce il combustibile del suo nucleo, finisce per produrre ferro-56, un nuclide situato praticamente al massimo dell'energia di legame per nucleone.

1. a) Spiega, a partire dalla curva dell'energia di legame per nucleone, perché fondere il ferro non libera energia, ma la consuma.
2. b) Ragiona su quale conseguenza ha ciò per la stella, che non ha più una fonte di energia nel suo nucleo.
3. c) Gli elementi più pesanti del ferro si formano soprattutto per cattura di neutroni durante le esplosioni di supernova: spiega perché questi elementi sono molto più scarsi nell'universo del ferro.

Tutta l'elettricità consumata in Italia in un anno è dell'ordine di $9 \cdot 10^{17}\ \text{J}$. Dati: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Supponi che tale energia si ottenesse convertendo direttamente massa in energia, con un rendimento del $100\ \%$: calcola, con $E = \Delta m \cdot c^2$, la massa che si dovrebbe convertire.
2. b) Commenta il risultato: ti sembra tanta o poca massa per rifornire di elettricità un intero paese per un anno?
3. c) Uno studente afferma: «nelle reazioni nucleari la massa si conserva, come nelle reazioni chimiche». Correggi la sua affermazione e spiega che cosa si conserva invece in una reazione nucleare.