Esercizi: Dualismo onda-particella: De Broglie ed effetto fotoelettrico

La luce produce figure di interferenza e di diffrazione, come qualsiasi onda, ma urtando contro un metallo strappa elettroni come se fosse un getto di particelle (i fotoni).

1. a) Spiega con parole tue in che cosa consiste il dualismo onda-particella della luce.
2. b) Cita un fenomeno che si spiega solo con il comportamento ondulatorio e uno che si spiega solo con il comportamento corpuscolare.
3. c) Nel $1924$, De Broglie estese l'idea alla materia: quale ipotesi formulò sugli elettroni e sulle altre particelle?

Un laser dermatologico emette luce di frequenza $f = 4,5\cdot10^{14}\ \text{Hz}$. L'energia di un fotone è $E_{fotón} = h\cdot f$, con $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola l'energia di ciascun fotone.
2. b) Se aumentiamo l'intensità del laser senza cambiare la sua frequenza, aumenta l'energia di ciascun fotone? Che cosa aumenta in realtà?

Un puntatore laser emette luce verde di lunghezza d'onda $\lambda = 550\ \text{nm}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la sua frequenza, $f = \frac{c}{\lambda}$.
2. b) Calcola l'energia di ciascun fotone, $E_{fotón} = h\cdot f$.

In laboratorio, una lastra di zinco carica negativamente è collegata a un elettroscopio. Illuminandola con luce ultravioletta, l'elettroscopio si scarica; con luce rossa molto intensa, no. La figura mostra l'apparato.

1. a) Che cos'è l'effetto fotoelettrico?
2. b) Che cosa sono i fotoelettroni?
3. c) Spiega, con l'idea che la luce arriva in fotoni, perché la luce rossa non scarica la lastra per quanto intensa sia.

I lampioni a vapori di sodio emettono luce di $\lambda_{Na} = 589\ \text{nm}$ e un LED blu emette a $\lambda_{az} = 470\ \text{nm}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. La figura confronta le due onde.

1. a) Calcola l'energia di un fotone di ciascuna luce.
2. b) Quale dei due fotoni è più energetico? Quante volte di più?

Ogni particella ha associata una lunghezza d'onda di De Broglie, $\lambda = \frac{h}{m\cdot v}$, con $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. Una pallina da tennis di $58\ \text{g}$ parte da un servizio a $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la sua lunghezza d'onda di De Broglie.
2. b) Confronta il risultato con la dimensione di un atomo ($10^{-10}\ \text{m}$) e spiega perché quest'onda non ha alcuna conseguenza osservabile.

In un tubo a raggi catodici, gli elettroni si muovono a $v = 10^{6}\ \text{m/s}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e massa dell'elettrone $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la lunghezza d'onda di De Broglie associata a ciascun elettrone, $\lambda = \frac{h}{m_e\cdot v}$.
2. b) Confronta il risultato con la dimensione tipica di un atomo ($10^{-10}\ \text{m}$) e commenta perché l'onda associata all'elettrone è invece rilevante nel mondo atomico.

Nell'effetto fotoelettrico, ogni metallo ha un lavoro di estrazione $W$ (detto anche funzione lavoro) e una frequenza di soglia $f_0$ che soddisfano $W = h\cdot f_0$.

1. a) Spiega che cosa significa il lavoro di estrazione: quale energia rappresenta?
2. b) Che cos'è la frequenza di soglia e che cosa accade quando la luce incidente ha $f < f_0$?
3. c) Se $f > f_0$, in che cosa si trasforma l'energia del fotone che avanza dopo aver estratto l'elettrone?

Un laser a fibra ottica per telecomunicazioni emette a $\lambda = 1,55\ \mu\text{m}$ con una potenza di $10\ \text{mW}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola l'energia di ciascun fotone.
2. b) Calcola quanti fotoni emette il laser ogni secondo (ricorda che la potenza è l'energia emessa per unità di tempo).

Una fotocellula al potassio ha un lavoro di estrazione $W = 2,3\ \text{eV}$ e viene illuminata con luce ultravioletta di $\lambda = 250\ \text{nm}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. La figura mostra lo schema del processo.

1. a) Esprimi il lavoro di estrazione in joule.
2. b) Calcola l'energia di ciascun fotone della luce ultravioletta.
3. c) Applica $E_{fotón} = W + E_{c,máx}$ e calcola l'energia cinetica massima dei fotoelettroni, in joule e in elettronvolt.

Il rivelatore di luce di un telescopio usa una cellula al cesio, il cui lavoro di estrazione è $W = 2,1\ \text{eV}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcola la frequenza di soglia del cesio, $f_0 = \frac{W}{h}$.
2. b) Calcola la lunghezza d'onda di soglia, $\lambda_0 = \frac{c}{f_0}$.
3. c) Una luce rossa di $\lambda = 650\ \text{nm}$ strapperà elettroni? Calcolalo confrontando le energie e motiva la risposta.

Su una lastra di calcio, con lavoro di estrazione $W = 2,9\ \text{eV}$, incide luce di $\lambda = 350\ \text{nm}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcola l'energia del fotone in joule ed esprimila in elettronvolt.
2. b) Stabilisci se avviene l'emissione di fotoelettroni.
3. c) In caso affermativo, calcola l'energia cinetica massima degli elettroni emessi.

In un esperimento di microscopia elettronica, un elettrone ha un'energia cinetica di $100\ \text{eV}$. Dati: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Esprimi la sua energia cinetica in joule.
2. b) Calcola la sua velocità a partire da $E_c = \frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v^2$.
3. c) Calcola la sua lunghezza d'onda di De Broglie.

In un acceleratore, un elettrone e un protone si muovono con la stessa velocità, $v = 10^{5}\ \text{m/s}$. Dati: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ e $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola la lunghezza d'onda di De Broglie dell'elettrone.
2. b) Calcola quella del protone.
3. c) Calcola il rapporto $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ e spiega, a partire dalla formula di De Broglie, perché a parità di velocità la particella più massiva ha una lunghezza d'onda associata minore.

Il pannello solare di un satellite riceve $200\ \text{W}$ di potenza luminosa dal Sole. Per semplificare, supponi che tutta la luce abbia $\lambda = 550\ \text{nm}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola l'energia di ciascun fotone.
2. b) Calcola quanti fotoni arrivano al pannello ogni secondo.
3. c) Se, a parità di potenza, la luce fosse più rossa ($\lambda$ maggiore), arriverebbero più o meno fotoni al secondo? Motiva la risposta con la formula $E_{fotón} = \frac{h\cdot c}{\lambda}$.

Per un certo esperimento di diffrazione si richiede che gli elettroni abbiano una lunghezza d'onda di De Broglie di $1\ \text{nm}$. Dati: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Ricava la velocità da $\lambda = \frac{h}{m_e\cdot v}$ e calcola a quale velocità devono muoversi.
2. b) Calcola l'energia cinetica che possiedono, in joule e in elettronvolt.

Un metallo con lavoro di estrazione $W = 2,25\ \text{eV}$ viene illuminato con luce di $\lambda = 300\ \text{nm}$. I fotoelettroni vengono frenati da una differenza di potenziale finché nemmeno il più veloce raggiunge il collettore (potenziale di arresto $V_f$, con $E_{c,máx} = e\cdot V_f$). Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. La figura mostra l'apparato con il potenziale di arresto.

1. a) Calcola l'energia del fotone e l'energia cinetica massima dei fotoelettroni, in elettronvolt.
2. b) Calcola il potenziale di arresto.
3. c) Ripeti il calcolo con luce di $\lambda = 250\ \text{nm}$: come cambiano l'energia cinetica massima e il potenziale di arresto?
4. d) Spiega perché raddoppiare l'intensità della luce, senza cambiare la sua lunghezza d'onda, non cambia il potenziale di arresto, anche se aumenta il numero di fotoelettroni.

Un gruppo di laboratorio misura l'effetto fotoelettrico in un metallo e ottiene due dati: con luce di frequenza $f_1 = 6,0\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ non c'è alcuna emissione (è la frequenza di soglia) e con $f_2 = 1,0\cdot10^{15}\ \text{Hz}$ i fotoelettroni escono con $E_{c,máx} = 2,65\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. La figura mostra i due dati dell'esperimento.

1. a) Calcola il lavoro di estrazione del metallo a partire da $W = h\cdot f_1$ ed esprimilo in elettronvolt.
2. b) Rappresenta mentalmente $E_{c,máx}$ in funzione di $f$: usando $E_{c,máx} = h\cdot f - W$, calcola il coefficiente angolare della retta con i due punti e verifica che coincide con il valore di $h$.
3. c) Prevedi, senza misurare di nuovo, l'energia cinetica massima per luce di $f = 1,2\cdot10^{15}\ \text{Hz}$.
4. d) Spiega quale grandezza rappresenta l'intersezione della retta con l'asse verticale e perché è negativa.

Una lastra di zinco, con lavoro di estrazione $W = 4,3\ \text{eV}$, viene illuminata a turno con luce rossa di $650\ \text{nm}$ e con luce ultravioletta di $250\ \text{nm}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcola l'energia di ciascun tipo di fotone e stabilisci, giustificandolo, quale luce produce emissione.
2. b) Per la luce che emette, calcola l'energia cinetica massima dei fotoelettroni e il corrispondente potenziale di arresto.
3. c) Se moltiplichiamo per mille l'intensità della luce rossa, riusciremo a strappare elettroni dallo zinco? Spiega la risposta con il modello del fotone: in che cosa differiscono mille fotoni rossi da uno ultravioletto?
4. d) Se aumentiamo l'intensità della luce ultravioletta, che cosa cambia e che cosa non cambia nell'emissione?

Una cellula al cesio, con lavoro di estrazione $W = 2,1\ \text{eV}$, viene illuminata con luce di $\lambda = 400\ \text{nm}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcola l'energia cinetica massima dei fotoelettroni, in joule.
2. b) Calcola la velocità di quegli elettroni più veloci.
3. c) Calcola la lunghezza d'onda di De Broglie associata a quegli elettroni.
4. d) I piani atomici di un cristallo sono distanziati di circa $10^{-10}\ \text{m}$: stabilisci se quel cristallo potrebbe fungere da reticolo di diffrazione per questi elettroni e quale prova fornirebbe un esperimento di diffrazione di elettroni su un cristallo.

In un microscopio elettronico a trasmissione, gli elettroni vengono accelerati con una differenza di potenziale $V = 10\ \text{kV}$, così da acquisire un'energia cinetica $E_c = e\cdot V$ (trascura le correzioni relativistiche). Dati: $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcola l'energia cinetica che acquisisce ciascun elettrone, in joule.
2. b) Calcola la sua velocità.
3. c) Calcola la sua lunghezza d'onda di De Broglie.
4. d) Il potere risolutivo di un microscopio migliora quanto minore è la lunghezza d'onda impiegata: confronta la lunghezza d'onda ottenuta con quella della luce visibile ($\lambda \approx 500\ \text{nm}$) e spiega perché il microscopio elettronico può vedere i virus e quello ottico no.

Una cella fotovoltaica riceve $5\ \text{mW}$ di luce di $\lambda = 600\ \text{nm}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ e $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcola quanti fotoni arrivano alla cella ogni secondo.
2. b) Supponendo che ogni fotone liberi un elettrone che arriva al circuito esterno, calcola la corrente massima teorica (la corrente è la carica che passa per secondo).
3. c) In pratica la corrente è minore: indica due ragioni che spieghino la differenza.
4. d) Se la cella ricevesse la stessa potenza ma con luce di $\lambda = 400\ \text{nm}$, la corrente massima teorica sarebbe maggiore, minore o uguale? Motiva la risposta contando i fotoni.

Una pallina da tennis di $58\ \text{g}$ parte da un servizio a $40\ \text{m/s}$; in un acceleratore, un elettrone si muove a $10^{6}\ \text{m/s}$. Dati: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ e $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la lunghezza d'onda di De Broglie della pallina e quella dell'elettrone.
2. b) Per osservare la diffrazione, l'apertura deve essere confrontabile con la lunghezza d'onda: indica quale dimensione di fenditura servirebbe in ciascun caso.
3. c) I piani di un cristallo sono distanziati di circa $10^{-10}\ \text{m}$: stabilisci quale dei due oggetti può essere diffratto da un cristallo.
4. d) Concludi perché negli oggetti macroscopici gli effetti ondulatori non sono osservabili nella pratica, basandoti sui numeri precedenti.

In un esperimento di doppia fenditura con elettroni, questi si muovono a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, le fenditure sono separate da $d = 0,5\ \mu\text{m}$ e lo schermo si trova a $L = 1\ \text{m}$. La distanza tra massimi consecutivi della figura è $\Delta y = \frac{\lambda\cdot L}{d}$. Dati: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ e $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. La figura mostra l'apparato della doppia fenditura.

1. a) Calcola la lunghezza d'onda di De Broglie degli elettroni.
2. b) Calcola la distanza tra i massimi sullo schermo ed esprimila in millimetri.
3. c) Se gli elettroni vengono inviati uno alla volta, col tempo si forma comunque la figura di interferenza: spiega che cosa significa questo risultato riguardo al dualismo onda-particella e al carattere probabilistico della fisica quantistica.
4. d) Prevedi che cosa accade alla distanza tra i massimi se gli elettroni vengono accelerati al doppio della velocità.