Esercizi: Interazione con cariche in movimento

Una carica elettrica è ferma in un campo magnetico uniforme. Il modulo della forza di Lorentz è $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$.

1. a) Agisce una forza magnetica su di essa? Giustificalo con la formula.
2. b) La carica si mette in moto esattamente nella direzione del campo ($\alpha = 0^\circ$). La risposta cambia? Perché?

Il modulo della forza di Lorentz è $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ e la sua direzione è data dal prodotto vettoriale $\vv{F} = q\cdot(\vv{v}\wedge\vv{B})$, che si determina con la regola della mano destra. Un protone si muove orizzontalmente verso est in un campo magnetico uniforme diretto anch'esso orizzontalmente verso nord. La situazione, vista dall'alto, è rappresentata nella figura.

1. a) Determina la direzione e il verso della forza sul protone.
2. b) Quale sarebbe il verso della forza se la particella fosse un elettrone? Giustifica la differenza.

Un protone ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) si muove a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ in direzione perpendicolare a un campo magnetico $B = 0,5\ \text{T}$. Calcola il modulo della forza di Lorentz su di esso, $F = q\cdot v\cdot B$.

La forza di Lorentz su una carica in movimento è sempre perpendicolare alla sua velocità.

1. a) Tenendo conto che il lavoro dipende dalla componente della forza nella direzione dello spostamento, spiega perché la forza magnetica non compie lavoro sulla carica.
2. b) Che cosa accade allora al modulo della velocità della carica?
3. c) E alla sua energia cinetica?

Due conduttori rettilinei paralleli sono percorsi da correnti dello stesso verso.

1. a) Disegna sul quaderno il campo magnetico generato dal primo conduttore nella posizione del secondo (regola della mano destra) e la forza che questo subisce.
2. b) Si attraggono o si respingono?
3. c) Che cosa cambia se si inverte il verso di una delle correnti?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un elettrone ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 1\cdot10^{7}\ \text{m/s}$, perpendicolarmente, in un campo magnetico uniforme $B = 1\cdot10^{-3}\ \text{T}$, come mostrato nella figura.

Il raggio della sua traiettoria circolare è $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$. Calcola il suo valore ed esprimilo in centimetri.

Una particella carica entra con velocità $\vv{v}$ perpendicolare a un campo magnetico uniforme.

1. a) Spiega perché la forza di Lorentz agisce come forza centripeta e scrivi l'uguaglianza $q\cdot v\cdot B = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Ricava il raggio $r$ e commenta da quali grandezze dipende: aumenta o diminuisce se la particella è più veloce? E se il campo è più intenso?

A partire dall'espressione del modulo della forza di Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B$ (caso perpendicolare):

1. a) Ricava $B$ e deduci a quale combinazione di unità del Sistema Internazionale equivale un tesla.
2. b) Usando il fatto che $1\ \text{C/s} = 1\ \text{A}$, esprimi il tesla come $\text{T} = \frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}$ e spiega con parole tue quale campo serve perché una carica di $1\ \text{C}$ a $1\ \text{m/s}$ subisca una forza di $1\ \text{N}$.

Un protone ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ in un campo magnetico uniforme $B = 0,8\ \text{T}$, formando con esso un angolo $\alpha = 30^\circ$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola il modulo della forza di Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ ($\sen 30^\circ = 0,5$).
2. b) Per quale angolo la forza sarebbe massima? E per quale sarebbe nulla?

Un protone ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, perpendicolarmente, in un campo magnetico uniforme $B = 0,2\ \text{T}$.

1. a) Calcola il raggio della sua traiettoria circolare, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$, ed esprimilo in centimetri.
2. b) Che cosa accadrebbe al raggio se il protone entrasse con metà della velocità? Ragiona usando la formula.

Un elettrone ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) ruota in un campo magnetico uniforme $B = 2\cdot10^{-3}\ \text{T}$, con velocità perpendicolare al campo.

1. a) Uguaglia la forza di Lorentz alla forza centripeta e, usando $v = \frac{2\pi\cdot r}{T}$, dimostra che il periodo di rotazione è $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$.
2. b) Calcola il suo valore.
3. c) Il risultato non contiene $v$ né $r$: spiega che cosa significa fisicamente.

In una dimostrazione di laboratorio, due fili paralleli distanti $d = 10\ \text{cm}$ sono percorsi da correnti nello stesso verso $I_1 = 20\ \text{A}$ e $I_2 = 30\ \text{A}$. La forza per unità di lunghezza tra di essi è $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Osserva lo schema:

1. a) Calcola la forza per unità di lunghezza.
2. b) I fili si attraggono o si respingono? Giustificalo.
3. c) Calcola la forza totale su un tratto di $1\ \text{m}$ di ciascun filo.

Un conduttore rettilineo di $L = 40\ \text{cm}$, posto perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, è percorso da una corrente $I = 5\ \text{A}$. La forza magnetica su di esso è $F = B\cdot I\cdot L$.

1. a) Calcola il suo modulo.
2. b) Rappresenta la situazione sul quaderno e determina, con la regola della mano destra, la direzione e il verso della forza rispetto alla corrente e al campo.
3. c) Se il conduttore formasse $30^\circ$ con il campo, la forza sarebbe $F = B\cdot I\cdot L\cdot\sen 30^\circ$; calcolala.

In uno spettrometro di massa, uno ione di $\text{He}^+$ ($m = 6,64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) descrive un arco circolare di raggio $r = 12\ \text{cm}$ in un campo $B = 0,5\ \text{T}$ perpendicolare alla sua velocità. La situazione è rappresentata nella figura.

1. a) Ricava la velocità dall'espressione $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) Calcola il suo valore in notazione scientifica.

Un protone ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) e un elettrone ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$) entrano con la stessa velocità, perpendicolarmente, nello stesso campo magnetico uniforme.

1. a) Scrivi il rapporto $\frac{r_p}{r_e}$ dei raggi delle loro traiettorie e calcola il suo valore.
2. b) Tenendo conto che $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, calcola anche il rapporto dei loro periodi e commenta quale particella compie i giri più velocemente.

Un selettore di velocità ha un campo elettrico $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ e un campo magnetico $B = 0,05\ \text{T}$, perpendicolari tra loro e alla velocità degli ioni. Le forze elettrica e magnetica si compensano quando $q\cdot E = q\cdot v\cdot B$.

1. a) Ricava la velocità degli ioni che attraversano il selettore senza deviare e calcolala.
2. b) Questa velocità dipende dalla carica o dalla massa dello ione? Commenta a che cosa serve questo dispositivo prima di una regione di deflessione.

Uno spettrometro di massa è costituito da un selettore di velocità (campo elettrico $E = 5\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ e campo magnetico $B_1 = 0,1\ \text{T}$, perpendicolari) seguito da una regione con un altro campo magnetico $B_2 = 0,2\ \text{T}$, perpendicolare alla velocità, in cui gli ioni descrivono semicirconferenze. Entrano ioni di carbonio-12 e carbonio-14, entrambi con carica $q = e$ ($e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; unità di massa atomica $u = 1,66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$). Lo schema dell'apparecchio è mostrato nella figura.

1. a) Calcola la velocità con cui gli ioni escono dal selettore ($q\cdot E = q\cdot v\cdot B_1$).
2. b) Calcola il raggio della traiettoria di ciascun isotopo nella regione di deflessione (prendi le masse $12\cdot u$ e $14\cdot u$).
3. c) Gli ioni colpiscono una lastra fotografica a una distanza dal punto di ingresso pari al diametro della loro semicirconferenza: calcola la separazione tra i due segni che lasciano.

Un protone ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ in un campo magnetico uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, formando con esso un angolo di $60^\circ$, in modo da descrivere una traiettoria elicoidale ($\sen 60^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$). Osserva lo schema:

1. a) Scomponi la velocità nelle sue componenti parallela e perpendicolare al campo.
2. b) Calcola il raggio dell'elica, determinato dalla componente perpendicolare.
3. c) Calcola il periodo di rotazione, $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, e il passo dell'elica (la distanza percorsa nella direzione del campo in ogni giro).

Un ciclotrone accelera deutoni ($m = 3,34\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) con un campo magnetico $B = 1,2\ \text{T}$ perpendicolare al piano delle traiettorie. Lo schema del ciclotrone è mostrato nella figura.

1. a) Il generatore alternato deve essere sincronizzato con la frequenza di rotazione, $f = \frac{q\cdot B}{2\pi\cdot m}$; calcolala ed esprimila in megahertz.
2. b) Le particelle escono quando il loro raggio raggiunge il raggio dell'apparecchio, $R = 0,5\ \text{m}$; calcola la loro velocità massima con $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
3. c) Calcola l'energia cinetica con cui escono i deutoni.

La vecchia definizione di ampere (in vigore fino al 2019) diceva: un ampere è l'intensità di corrente che, mantenuta in due conduttori paralleli, rettilinei, di lunghezza infinita e distanti $1\ \text{m}$ nel vuoto, produce tra di essi una forza di $2\cdot10^{-7}\ \text{N}$ per ogni metro di conduttore ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Scrivi l'espressione della forza per unità di lunghezza quando entrambi i conduttori sono percorsi dalla stessa corrente, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I^2}{2\pi\cdot d}$.
2. b) Sostituisci $d = 1\ \text{m}$ e $\frac{F}{L} = 2\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$ e verifica che si ottiene $I = 1\ \text{A}$.
3. c) Commenta le difficoltà pratiche di questa definizione (conduttori «infiniti», misurare forze così piccole) rispetto alla definizione attuale, che fissa il valore della carica elementare.

Un'asta orizzontale di $L = 50\ \text{cm}$ e massa $m = 25\ \text{g}$ si trova in un campo magnetico orizzontale uniforme $B = 0,5\ \text{T}$, perpendicolare all'asta. Si vuole che la forza magnetica sull'asta, $F = B\cdot I\cdot L$, compensi esattamente il suo peso (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). La situazione è rappresentata nella figura.

1. a) Imposta la condizione di equilibrio tra la forza magnetica e il peso e calcola la corrente necessaria.
2. b) Determina, con la regola della mano destra, quale orientamento relativo devono avere la corrente e il campo perché la forza sia verticale verso l'alto.
3. c) Ragiona su che cosa accadrebbe se la corrente aumentasse del $10\ \%$: l'asta si muoverebbe? In quale direzione e con quale forza netta iniziale?

Le linee ad alta tensione trasportano la corrente di andata e di ritorno su cavi paralleli. Due di essi, distanti $d = 2\ \text{m}$, sono percorsi da $I = 800\ \text{A}$ in versi opposti ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Indica, giustificandolo con la regola della mano destra, se la forza tra i cavi è attrattiva o repulsiva.
2. b) Calcola la forza per unità di lunghezza tra di essi, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$.
3. c) In un cortocircuito la corrente può raggiungere $10^{4}\ \text{A}$; calcola la nuova forza per unità di lunghezza e spiega perché i cavi devono essere saldamente ancorati ai tralicci.

Le fasce di Van Allen intrappolano particelle cariche nel campo magnetico terrestre, molto più debole dei campi di laboratorio. Un elettrone ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) si muove a $v = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ nella regione equatoriale, dove $B = 3\cdot10^{-5}\ \text{T}$, con velocità perpendicolare al campo.

1. a) Calcola il raggio della sua traiettoria, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) A latitudini prossime ai poli il campo è il doppio, $B = 6\cdot10^{-5}\ \text{T}$; calcola lì il raggio.
3. c) Collega i risultati al fatto che le traiettorie delle particelle intrappolate si «avvolgono» più strettamente avvicinandosi ai poli.

Un protone ($m_p$, $q_p = e$) e una particella alfa ($m_\alpha = 4\cdot m_p$, $q_\alpha = 2\cdot e$) entrano con la stessa velocità, perpendicolarmente, nello stesso campo magnetico uniforme.

1. a) Calcola il rapporto $\frac{r_\alpha}{r_p}$ dei raggi delle loro traiettorie.
2. b) Calcola il rapporto $\frac{T_\alpha}{T_p}$ dei loro periodi di rotazione.
3. c) Ripeti il rapporto dei raggi supponendo che entrambe le particelle entrino con la stessa energia cinetica (usa $v = \sqrt{\frac{2\cdot E_c}{m}}$ nell'espressione del raggio) e commenta se uno spettrometro di massa potrebbe separarle in ciascuno dei due casi.