Esercizi: Campi di fili, spire, solenoidi e toroidi

In un cavo verticale scorre una corrente elettrica diretta verso l'alto.

1. a) Enuncia con parole tue la regola della mano destra che collega il verso della corrente al verso delle linee del campo magnetico che essa genera.
2. b) Applicala: viste dall'alto, le linee di campo ruotano in senso orario o antiorario? Disegna la situazione sul quaderno.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un filo rettilineo molto lungo scorre una corrente $I = 10\ \text{A}$. Il campo magnetico che genera a una distanza $r$ è $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$, con $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$. Calcola il campo a $r = 5\ \text{cm}$ dal filo. Ricorda di convertire la distanza in metri.

Una spira circolare di raggio $R = 10\ \text{cm}$ è percorsa da una corrente $I = 2\ \text{A}$. Il campo magnetico nel suo centro è $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$, con $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Calcola il suo valore.
2. b) Esprimi il risultato in notazione scientifica, arrotondato a due cifre significative.

Il campo generato da un filo rettilineo molto lungo è $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$. Senza fare calcoli numerici, ragiona con la formula:

1. a) Che cosa accade a $B$ se si raddoppia la corrente mantenendo la distanza?
2. b) E se si raddoppia la distanza mantenendo la corrente?
3. c) Dove è più intenso il campo, vicino o lontano dal filo? Mettilo in relazione con il modo in cui le linee di campo si allontanano tra loro.

Un solenoide ha $n = 1000\ \text{spire/m}$ ed è percorso da una corrente $I = 0,5\ \text{A}$. Il campo magnetico al suo interno è $B = \mu_0\cdot n\cdot I$, con $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Calcola il suo valore.
2. b) Esprimilo in millitesla ($1\ \text{mT} = 10^{-3}\ \text{T}$).

Descrivi il campo magnetico all'interno di un solenoide lungo percorso da corrente:

1. a) Come sono le linee di campo nella zona centrale interna: curve, parallele o convergenti?
2. b) Spostandosi all'interno, il campo aumenta, diminuisce o resta praticamente costante?
3. c) Che cosa accade al campo all'esterno, rispetto all'interno?

In una spira circolare posta in orizzontale scorre una corrente in senso antiorario, vista dall'alto. La spira, vista dall'alto, è rappresentata nella figura.

1. a) Applica la regola della mano destra e indica il verso del campo magnetico nel centro della spira: verso l'alto o verso il basso?
2. b) Spiega quale faccia della spira (quella superiore o quella inferiore) si comporta come polo nord.

Un toroide è una bobina avvolta a forma di anello. Il campo al suo interno, a una distanza $r$ dall'asse, è $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$, dove $N$ è il numero totale di spire. Un toroide di $N = 500$ spire è percorso da una corrente $I = 2\ \text{A}$. Calcola il campo nei punti a $r = 10\ \text{cm}$ dall'asse ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Una sonda da laboratorio misura il campo magnetico a $r = 4\ \text{cm}$ da un filo rettilineo molto lungo e ottiene $B = 2\cdot10^{-4}\ \text{T}$.

1. a) Ricava la corrente dall'espressione $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcola il suo valore ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Il cavo del pantografo di un treno elettrico può essere percorso da correnti di $I = 500\ \text{A}$.

1. a) Ricava la distanza $r$ dalla formula del campo del filo, $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcola a quale distanza dal cavo il campo che genera uguaglia il campo magnetico terrestre, $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Calcola il campo a $10\ \text{m}$ dal cavo e commenta se potrebbe influenzare una bussola posta a quella distanza.

Una bobina piana di $N = 50$ spire ha raggio $R = 8\ \text{cm}$ ed è percorsa da una corrente $I = 0,3\ \text{A}$. Il campo nel suo centro è $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\cdot R}$.

1. a) Calcola il suo valore ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) Quante volte è maggiore del campo di una singola spira dello stesso raggio con la stessa corrente? Giustifica la risposta con la formula.

In laboratorio si avvolgono $N = 400$ spire su un tubo lungo $L = 20\ \text{cm}$ e vi si fa circolare una corrente $I = 1,5\ \text{A}$.

1. a) Calcola la densità di spire $n = \frac{N}{L}$, in spire al metro.
2. b) Calcola il campo all'interno del solenoide, $B = \mu_0\cdot n\cdot I$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Si vuole costruire un solenoide che generi al suo interno un campo di $B = 2,5\cdot10^{-3}\ \text{T}$ con una corrente massima di $I = 2\ \text{A}$.

1. a) Ricava la densità di spire $n$ dall'espressione $B = \mu_0\cdot n\cdot I$.
2. b) Calcola quante spire al metro servono ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Se il tubo su cui si avvolge è lungo $40\ \text{cm}$, quante spire occorrerà avvolgere in totale?

Per il filo A, percorso da una corrente $I_A = 5\ \text{A}$, misuriamo il campo a una distanza di $10\ \text{cm}$; per il filo B, percorso da $I_B = 20\ \text{A}$, lo misuriamo a $40\ \text{cm}$.

1. a) Calcola entrambi i campi con $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) Spiega, a partire dalla dipendenza $B \propto \frac{I}{r}$, perché i due risultati sono uguali.

Un toroide di $N = 1000$ spire ha un raggio medio di $15\ \text{cm}$.

1. a) Ricava la corrente dall'espressione $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcola quale corrente serve perché il campo all'interno valga $B = 4\cdot10^{-3}\ \text{T}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Di che raggio dovrebbe essere una spira percorsa da una corrente $I = 1\ \text{A}$ perché il campo nel suo centro uguagli il campo magnetico terrestre, $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$?

1. a) Ricava il raggio dall'espressione $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$.
2. b) Calcola il suo valore ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$) ed esprimilo in centimetri.

Due conduttori rettilinei e paralleli, distanti $20\ \text{cm}$, sono percorsi da correnti dello stesso verso $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Il montaggio, nel piano perpendicolare ai fili, è mostrato nella figura.

1. a) Calcola il modulo del campo generato da ciascun filo nel punto medio del segmento che li unisce.
2. b) Con la regola della mano destra, determina il verso di ciascuno di questi campi nel punto medio e giustifica che il campo totale lì è nullo.
3. c) Se le correnti fossero diverse, il campo nel punto medio sarebbe ancora nullo? Giustifica la risposta.

Due conduttori rettilinei, molto lunghi e paralleli, perpendicolari al piano del foglio e distanti $20\ \text{cm}$, sono percorsi da correnti di versi opposti, $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). La situazione è rappresentata nella figura.

1. a) Determina con la regola della mano destra il verso del campo magnetico creato da ciascun filo nel punto medio e verifica che, essendo le correnti opposte, lì si sommano.
2. b) Calcola il campo magnetico totale nel punto medio.
3. c) Calcola il campo magnetico totale nel punto $P$ della retta che unisce i fili, situato fuori dal segmento, a $10\ \text{cm}$ dal filo 2 e a $30\ \text{cm}$ dal filo 1, indicando se lì i campi si sommano o si sottraggono.

Due conduttori rettilinei paralleli, distanti $d = 40\ \text{cm}$, sono percorsi da correnti dello stesso verso $I_1 = 30\ \text{A}$ e $I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Osserva lo schema:

1. a) Spiega, con la regola della mano destra, in quale zona (tra i fili o fuori da essi) i campi dei due fili hanno versi opposti.
2. b) Imposta la condizione $B_1 = B_2$ per un punto situato a una distanza $x$ dal primo filo, all'interno del segmento che li unisce, e risolvi l'equazione ottenuta.
3. c) Verifica la coerenza del risultato: il punto si trova più vicino al filo con la corrente minore? Perché deve essere così?

Un filo rettilineo molto lungo, contenuto nel piano di una spira circolare di raggio $R = 10\ \text{cm}$, passa a $d = 5\ \text{cm}$ dal suo centro. Nel filo scorrono $I_1 = 10\ \text{A}$ e nella spira $I_2 = 4\ \text{A}$, con versi scelti in modo che i loro campi nel centro della spira abbiano versi opposti ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Calcola il modulo del campo del filo nel centro della spira.
2. b) Calcola il modulo del campo della spira nel suo centro.
3. c) Giustifica perché entrambi i campi sono perpendicolari al piano della spira e calcola il campo totale nel centro.

I magneti di un apparecchio per la risonanza magnetica (RM) sono solenoidi percorsi da correnti intense. Considera un solenoide con $n = 2000\ \text{spire/m}$ e $I = 15\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$; campo magnetico terrestre $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$).

1. a) Calcola il campo all'interno del solenoide.
2. b) Quante volte è maggiore del campo magnetico terrestre?
3. c) Gli apparecchi reali usano bobine superconduttrici al posto di bobine normali. Commenta quale vantaggio offre il fatto che il superconduttore non presenti resistenza elettrica quando servono correnti grandi e permanenti.

In laboratorio si misura il campo magnetico generato da un filo molto lungo a varie distanze, con questi risultati: a $r = 20\ \text{cm}$ si ottiene $B = 2\cdot10^{-5}\ \text{T}$; a $r = 10\ \text{cm}$, $B = 4\cdot10^{-5}\ \text{T}$; a $r = 5\ \text{cm}$, $B = 8\cdot10^{-5}\ \text{T}$.

1. a) Rappresenta sul quaderno $B$ in funzione di $\frac{1}{r}$ e spiega che tipo di relazione compare.
2. b) Il coefficiente angolare della retta precedente è $\frac{\mu_0\cdot I}{2\pi}$; stimalo a partire dai dati e ricava il valore della corrente $I$ che percorre il filo ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Un toroide di $N = 600$ spire ha raggio interno $8\ \text{cm}$ e raggio esterno $12\ \text{cm}$, ed è percorso da una corrente $I = 5\ \text{A}$. Il campo al suo interno, a una distanza $r$ dall'asse, è $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Osserva la sezione del toroide nella figura.

1. a) Calcola il campo vicino al bordo interno ($r = 8\ \text{cm}$) e vicino al bordo esterno ($r = 12\ \text{cm}$).
2. b) Calcola il campo al raggio medio ($r = 10\ \text{cm}$) e verifica che si trova tra i due valori precedenti.
3. c) Alla luce dei risultati, il campo all'interno di un toroide è uniforme? Perché allora si usa l'approssimazione del raggio medio?

Un solenoide lungo ha nel suo centro interno un campo $B = 8\cdot10^{-3}\ \text{T}$.

1. a) Spiega, immaginando il solenoide come l'unione di due solenoidi semi-infiniti, che il campo al centro di una delle sue estremità deve essere circa la metà del campo interno. Quanto vale questo campo all'estremità?
2. b) Quanto vale approssimativamente il campo in un punto esterno vicino al punto medio del solenoide? Giustificalo pensando a che cosa accade alle linee di campo all'uscita.