Esercizi: Prodotto vettoriale

Dati i vettori $\vec{u} = (2, -1, 3)$ e $\vec{v} = (0, 4, 1)$, calcola il loro prodotto vettoriale $\vec{u} \times \vec{v}$ utilizzando la regola del determinante con i vettori della base canonica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Calcola un vettore che sia contemporaneamente perpendicolare a $\vec{a} = (1, 1, 1)$ e $\vec{b} = (3, 0, 2)$. Verifica il risultato eseguendo il prodotto scalare del vettore ottenuto per $\vec{a}$.

Trova l'area del parallelogramma che ha per lati i vettori $\vec{u} = (5, 0, 0)$ e $\vec{v} = (2, 3, 0)$. Quale relazione osservi tra questo risultato e l'area di un rettangolo di base 5 e altezza 3 situato nel piano $XY$?

Determina l'area del triangolo i cui vertici sono i punti dello spazio $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 2)$ e $C(1, 2, 5)$.

Verifica se i vettori $\vec{u} = (1, -2, 4)$ e $\vec{v} = (-2, 4, -8)$ sono paralleli calcolando il loro prodotto vettoriale. Spiega quale condizione deve soddisfare il risultato di un prodotto vettoriale per assicurare che due vettori abbiano la stessa direzione.

Dati i versori degli assi coordinati $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ e $\vec{k} = (0, 0, 1)$, calcola i seguenti prodotti vettoriali:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Alla luce dei risultati, stabilisci se il prodotto vettoriale gode della proprietà commutativa.

Trova un vettore perpendicolare al piano che passa per i punti $P(0, 0, 0)$, $Q(1, 2, 3)$ e $R(2, 0, 1)$.

In fisica, il momento di una forza $\vec{F}$ applicata in un punto rispetto a un'origine è dato dal prodotto vettoriale $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, dove $\vec{r}$ è il vettore posizione del punto di applicazione. Calcola il momento di una forza $\vec{F} = (0, 10, 0)$ Newton applicata nel punto di coordinate $\vec{r} = (3, 0, 0)$ metri. La figura mostra uno schema (non in scala) di $\vec{r}$ e $\vec{F}$.

Lucia deve trovare le coordinate di un vettore perpendicolare contemporaneamente a $\vec{u} = (2, -1, 3)$ e $\vec{v} = (1, 4, -2)$. Per risolverlo, imposta il determinante con i vettori della base canonica e scrive nel compito:

Dopo i calcoli, conclude che il vettore richiesto è $\vec{w} = (-10, -7, 9)$.

1. a) Senza ricalcolare l'intero prodotto vettoriale, usa il prodotto scalare per dimostrare che il vettore $\vec{w}$ ottenuto da Lucia non è perpendicolare a $\vec{u}$.
2. b) Individua e spiega con precisione l'errore concettuale o algebrico commesso da Lucia nello sviluppo del determinante.
3. c) Correggi il calcolo e scrivi le coordinate corrette del vettore $\vec{u} \times \vec{v}$.

Nello spazio tridimensionale si considerano i vertici di un triangolo: $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$ e $C(2, 5, 1)$ (con coordinate misurate in metri).

1. a) Prima di calcolare qualsiasi determinante o prodotto vettoriale, osserva la posizione geometrica dei punti: il lato $AB$ giace sull'asse $X$ e il vertice $C$ si trova in $y = 5$ con una piccola quota verticale ($z = 1$). A partire dall'area della proiezione del triangolo sul piano orizzontale $XY$, fai una stima motivata dell'area del triangolo $ABC$ nello spazio e indica tra quali due numeri interi consecutivi deve trovarsi il suo valore.
2. b) Calcola l'area esatta del triangolo mediante il modulo del prodotto vettoriale $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
3. c) Confronta il valore esatto ottenuto con la tua stima precedente e spiega perché l'area reale nello spazio è leggermente superiore a quella del triangolo proiettato sul piano orizzontale.

Dati i vettori $\vec{u} = (1, -2, 3)$ e $\vec{v} = (0, 1, 4)$, calcola le coordinate di un vettore $\vec{w}$ che sia perpendicolare contemporaneamente a $\vec{u}$ e a $\vec{v}$, e che abbia modulo uguale a $\sqrt{130}$ unità. Quante soluzioni possibili esistono per questo vettore?

Un gruppo di topografi sta misurando un terreno triangolare su un suolo accidentato. Hanno determinato che i vertici del triangolo, riferiti a un sistema di coordinate cartesiane in metri, sono $A(1, 0, 2)$, $B(3, 4, 0)$ e $C(5, 1, -3)$. Calcola l'area di tale terreno utilizzando il prodotto vettoriale.

Determina il valore del parametro reale $k$ affinché l'area del parallelogramma definito dai vettori $\vec{a} = (k, 1, 2)$ e $\vec{b} = (1, k, 0)$ sia esattamente $\sqrt{21}$ unità quadrate.

Nella progettazione di un pezzo industriale, serve conoscere la direzione della retta $r$ ottenuta dall'intersezione di due piani le cui normali sono $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ e $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$. Sapendo che il vettore direzione della retta è perpendicolare a entrambe le normali, utilizza il prodotto vettoriale per trovarlo.

Dimostra, utilizzando le proprietà del prodotto vettoriale, che per ogni coppia di vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dello spazio vale la seguente uguaglianza:

Quindi verifica il risultato per i vettori $\vec{u} = (1, 0, -1)$ e $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Un ingegnere ambientale sta calcolando l'efficienza di un pannello solare piano. Il pannello è definito dai punti $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, 1)$ e $R(1, 2, 4)$. Per massimizzare la captazione di energia, ha bisogno di conoscere il vettore normale unitario alla superficie del pannello. Trova tale vettore.

Dati i vettori $\vec{a} = (2, -1, 0)$ e $\vec{b} = (1, 2, -2)$, trova un terzo vettore $\vec{c}$ in modo che l'insieme $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ formi una base ortogonale dello spazio (cioè che siano perpendicolari tra loro a due a due).

In un esperimento di fisica, una particella carica si muove in un campo magnetico. Il momento della forza $\vec{M}$ rispetto all'origine è dato dal prodotto vettoriale $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, dove $\vec{r}$ è il vettore posizione del punto di applicazione e $\vec{F}$ è la forza applicata. Se $\vec{r} = (2, -3, 1)$ metri e la forza è $\vec{F} = (4, 1, 2)$ Newton (la figura è uno schema della situazione):

1. a) Calcola il vettore momento $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$.

1. b) Calcola il suo modulo $|\vec{M}|$ e indica la sua unità di misura fisica (N·m).

Nel cortile di un liceo di Napoli si vuole installare una vela ombreggiante triangolare per creare una zona d'ombra contro le alte temperature. Il telo viene ancorato a tre punti di sostegno fissati ai muri circostanti, le cui coordinate spaziali riferite al suolo orizzontale (piano $XY$, in metri) sono $A(0, 0, 3)$, $B(4, 0, 4)$ e $C(0, 6, 5)$.

1. a) Modella la superficie tesa come il triangolo di vertici $A$, $B$ e $C$, e calcola la sua area esatta (in $\text{m}^2$) utilizzando il prodotto vettoriale.
2. b) Per evitare che si accumuli acqua durante piogge intense, occorre controllare l'inclinazione del telo. Ottieni un vettore perpendicolare alla superficie della vela e calcola l'angolo che esso forma con la verticale $\vec{k} = (0, 0, 1)$, deducendo da questo la pendenza della vela rispetto al piano orizzontale del suolo.

Sono noti i vettori $\vec{u} = (1, 2, 2)$ e $\vec{w} = (-6, 6, -3)$, e si vuole determinare un vettore incognito $\vec{v}$ tale che $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.

1. a) Spiega perché è una condizione geometrica necessaria che $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ affinché esista una soluzione, e verifica numericamente se tale condizione è soddisfatta in questo caso.
2. b) Dimostra formalmente che la soluzione di questa equazione vettoriale non è mai unica: se $\vec{v}_0$ è una soluzione particolare, dimostra che anche ogni vettore della forma $\vec{v} = \vec{v}_0 + \lambda\vec{u}$ (con $\lambda \in \mathbb{R}$) soddisfa l'uguaglianza $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.
3. c) Se imponiamo la condizione aggiuntiva che $\vec{v}$ sia strettamente perpendicolare a $\vec{u}$, imposta le equazioni corrispondenti e determina le coordinate dell'unico vettore $\vec{v}$ che soddisfa contemporaneamente $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$ e $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Dati i vettori $\vec{u} = (1, -1, 2)$ e $\vec{v} = (3, 1, -1)$, si chiede di trovare un vettore $\vec{w}$ che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. È perpendicolare ai vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

2. La sua norma o modulo è esattamente uguale a $\sqrt{750}$.

3. La sua componente sull'asse $Z$ (quota) è un numero negativo.

Considera un triangolo i cui vertici sono i punti $A(k, 0, 1)$, $B(1, 2, 1)$ e $C(0, -1, k)$, dove $k$ è un parametro reale.

1. a) Determina l'espressione dell'area del triangolo in funzione di $k$.
2. b) Trova i valori di $k$ per i quali l'area del triangolo è esattamente $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ unità quadrate.

Si vuole progettare un pezzo strutturale metallico a forma di parallelogramma. I lati sono definiti dai vettori $\vec{a} = (2, m, 1)$ e $\vec{b} = (1, 2, 2)$.

1. a) Calcola il valore del parametro $m$ sapendo che l'area di tale pezzo è di $\sqrt{26}$ unità quadrate.
2. b) Per i valori di $m$ trovati, i vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ sono perpendicolari? Giustifica la risposta senza eseguire il prodotto scalare.

In uno studio di robotica, il braccio di un robot esercita una forza $\vec{F} = (2, -3, 1)$ newton su un bullone situato nel punto $P(1, 1, 4)$. Il momento di una forza rispetto a un punto $O$ si definisce come il prodotto vettoriale $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, dove $\vec{r}$ è il vettore posizione del punto di applicazione della forza rispetto al centro di rotazione.

Se il centro di rotazione si trova nell'origine delle coordinate $O(0, 0, 0)$, calcola:

1. a) Il vettore momento $\vec{M}$.
2. b) L'area del triangolo che ha per lati i vettori $\vec{r}$ e $\vec{F}$.

Dati i vettori $\vec{u} = (2, 1, -1)$ e $\vec{v} = (1, 0, 3)$, trova tutti i vettori $\vec{x}$ che soddisfano contemporaneamente le equazioni seguenti:

1. $\vec{x} \times \vec{u} = \vec{u} \times \vec{v}$

2. $\vec{x} \cdot \vec{v} = 0$

(Suggerimento: utilizza le proprietà distributive del prodotto vettoriale e la condizione di linearità).

Sia $V$ il volume del parallelepipedo definito dai vettori $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$.

Se $\vec{a} = (1, 1, 0)$, $\vec{b} = (0, 2, 1)$ e $\vec{c} = (m, 0, 1)$:

1. a) Trova i valori di $m$ affinché il volume sia di 4 unità cubiche.
2. b) Per ciascuno di tali valori di $m$, calcola l'area della faccia del parallelepipedo definita dai vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$, e usa questo dato per trovare l'altezza del parallelepipedo rispetto a tale base.

Dimostra in modo analitico l'identità di Lagrange per i vettori $\vec{u} = (x, 1, 0)$ e $\vec{v} = (0, y, 1)$, verificando che:

Quindi utilizza questa identità per trovare l'area del parallelogramma formato da $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sapendo che $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 3$ e il loro prodotto scalare è $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{8}$.

Un pannello solare quadrangolare ha i vertici nei punti $P(1, 0, 0)$, $Q(3, 2, 1)$, $R(2, 5, 3)$ e $S(0, 3, 2)$.

1. a) Verifica se i quattro punti sono complanari (giacciono nello stesso piano).
2. b) Se sono complanari, calcola l'area totale del pannello solare scomponendolo in due triangoli e usando il prodotto vettoriale.

Si vuole calcolare la distanza del punto $P(3, 1, -2)$ dalla retta $r$ che passa per il punto $A(1, 0, 1)$ e ha vettore direzione $\vec{d} = (1, 2, -1)$. Due studenti propongono strategie diverse:

• Metodo di Alba (vettoriale): interpreta che il vettore $\vec{AP}$ e il vettore direzione $\vec{d}$ determinano un parallelogramma nello spazio la cui base è $|\vec{d}|$ e la cui altezza è la distanza cercata, perciò applica la formula $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$.

• Metodo di Bruno (analitico): trova l'equazione generale del piano $\pi$ perpendicolare alla retta $r$ passante per $P$, calcola il punto $M$ di intersezione tra la retta $r$ e il piano $\pi$ (proiezione ortogonale di $P$ su $r$), e ottiene la distanza calcolando il modulo $|\vec{PM}|$.

1. a) Giustifica in dettaglio, con argomenti geometrici, perché la formula usata nel metodo di Alba fornisce con rigore la distanza minima di $P$ dalla retta $r$.
2. b) Sviluppa entrambi i metodi passo dopo passo e verifica che portano esattamente allo stesso risultato numerico.
3. c) Confronta criticamente i due percorsi: quale è più diretto e con minor rischio di errore algebrico se ti chiedono soltanto il valore numerico della distanza? In quale successivo problema geometrico sarebbe indispensabile aver ottenuto il punto $M$ con il metodo di Bruno invece di limitarsi al calcolo di Alba?

Tre vettori non nulli $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$ soddisfano contemporaneamente le due uguaglianze vettoriali seguenti:

1. a) Dimostra rigorosamente, ricorrendo alla definizione e alle proprietà geometriche del prodotto vettoriale, che i tre vettori $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ sono perpendicolari a due a due.
2. b) Partendo dalla formula del modulo $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\theta$, dimostra che il modulo del vettore $\vec{v}$ è univocamente determinato da queste due condizioni e calcola il suo valore esatto.
3. c) Deduci la relazione matematica esistente tra i moduli $|\vec{u}|$ e $|\vec{w}|$.
4. d) Costruisci un esempio numerico concreto proponendo coordinate semplici per $\vec{u}$ e $\vec{v}$ che soddisfino le condizioni dell'enunciato, calcola il vettore $\vec{w}$ che ne risulta e verifica che le due uguaglianze vettoriali sono soddisfatte esattamente.