Esercizi: Modulo e direzione di un vettore. Applicazioni

Calcola il modulo del vettore $\vec{v} = (3, -4)$.

Trova la distanza esatta tra i punti $A(-2, 5)$ e $B(4, -3)$.

Ottieni un vettore unitario che abbia la stessa direzione e lo stesso verso del vettore $\vec{w} = (-5, 12)$.

Determina il coefficiente angolare (che indica la direzione) del vettore che unisce i punti $P(1, -4)$ e $Q(3, 8)$.

Un drone si sposta in linea retta secondo il vettore $\vec{d} = (k, 6)$. Se la distanza totale percorsa è di $10$ metri, calcola i possibili valori del parametro $k$.

Verifica analiticamente se i vettori $\vec{u} = (2, -5)$ e $\vec{v} = (-4, 10)$ hanno la stessa direzione. In caso affermativo, indica se hanno lo stesso verso o versi opposti.

Trova le componenti di un vettore di modulo $7$ che abbia la direzione dell'asse delle ordinate e verso negativo.

Un giocatore di scacchi muove il suo pedone dalla casella rappresentata dal punto $(1, 2)$ alla casella $(1, 4)$, e poi muove un cavallo da $(1, 4)$ a $(3, 5)$. Calcola il modulo del vettore spostamento totale del pezzo dalla posizione iniziale a quella finale.

Per calcolare il modulo del vettore risultante dello spostamento totale dopo due tappe consecutive descritte da $\vec{u} = (3, -4)$ e $\vec{v} = (-3, 0)$, Lucia scrive nel suo compito:

1. a) Individua e spiega i due errori commessi da Lucia: uno algebrico-geometrico relativo al modulo della somma di vettori e uno concettuale sulla differenza tra la distanza totale percorsa sulla traiettoria e il modulo del vettore spostamento risultante.
2. b) Calcola correttamente le componenti del vettore risultante $\vec{u} + \vec{v}$ e il suo modulo esatto. Interpreta geometricamente perché questo risultato è strettamente minore del valore ottenuto da Lucia.

Considera il vettore $\vec{w} = (-8, 15)$.

1. a) Senza usare la calcolatrice né risolvere la radice quadrata, stima in modo motivato tra quali due numeri interi deve trovarsi il valore di $|\vec{w}|$. Appoggiati a due proprietà geometriche del triangolo rettangolo formato dalle sue componenti: l'ipotenusa è sempre maggiore di ciascun cateto, ma minore della loro somma. Motiva inoltre se ti aspetti che il modulo sia più vicino al limite inferiore o a quello superiore.
2. b) Calcola il valore esatto di $|\vec{w}|$ applicando la formula del modulo e verifica se conferma la stima che hai effettuato.

Trova le coordinate di un vettore $\vec{v}$ sapendo che il suo modulo è $5\sqrt{2}$ e che ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore $\vec{u} = (-1, 1)$.

Un'imbarcazione si trova nel punto $A(2, -1)$ e si sposta in linea retta per una distanza di $13$ miglia nautiche. Se il vettore direttore della sua traiettoria è proporzionale a $\vec{d} = (5, 12)$ e si muove nello stesso verso di $\vec{d}$, determina le coordinate esatte del punto di arrivo.

Su un corpo agiscono due forze complanari rappresentate dai vettori $\vec{F}_1 = (30, -40)$ N e $\vec{F}_2 = (-15, 20)$ N. Calcola il modulo della forza risultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ e determina un vettore unitario nella direzione di tale risultante.

Calcola il perimetro esatto del triangolo i cui vertici si trovano nelle coordinate $A(-1, 2)$, $B(3, 5)$ e $C(5, -1)$.

In una simulazione di fisica, una particella parte dall'origine del sistema di coordinate e si muove con un vettore velocità costante $\vec{v} = (3, 4)$ m/s per $2$ secondi. Subito dopo, cambia la sua velocità in $\vec{w} = (-1, 2)$ m/s e mantiene questo moto per altri $3$ secondi. Calcola a quale distanza dall'origine si trova la particella al termine del suo percorso.

Determina le coordinate dei punti situati sull'asse delle ascisse che si trovano a una distanza esatta di $5$ unità dal punto $P(-2, 3)$.

Un architetto sta progettando un tetto inclinato. Il profilo del tetto segue la direzione del vettore $\vec{u} = (4, 3)$. Se per vincoli della struttura la lunghezza totale del profilo deve essere di $8,5$ metri, trova le componenti del vettore che rappresenta questo profilo.

Due cavi tirano la parte superiore di un palo. Il primo cavo esercita una forza rappresentata dal vettore $\vec{T}_1 = (120, 160)$ N. Il secondo cavo esercita una forza $\vec{T}_2$ di modulo $150$ N, che ha la stessa direzione ma verso opposto a $\vec{T}_1$. Trova le componenti esatte del vettore $\vec{T}_2$.

Un'imbarcazione della Guardia Costiera con base a Messina parte verso una zona di intervento seguendo la direzione e il verso del vettore $\vec{d} = (12, 5)$ (coordinate misurate in miglia nautiche). Per ragioni di protocollo e di carburante, le viene ordinato di avanzare in quella direzione esatta fino a completare un percorso di $7,8$ miglia nautiche.

1. a) Modella lo spostamento della motovedetta trovando le componenti esatte di un vettore $\vec{r}$ che abbia modulo $7,8$ miglia nautiche e la stessa direzione e lo stesso verso di $\vec{d}$.
2. b) Durante il tragitto, le correnti dello Stretto provocano una deriva descritta dal vettore $\vec{c} = (-1,2;\, 1,0)$ miglia nautiche. Calcola il vettore posizione finale reale rispetto alla base di Messina e determina a quale distanza in linea retta si trova l'imbarcazione dal suo punto di partenza (arrotonda il risultato a due cifre decimali).

Dato il punto $A(2, -1)$, si vogliono determinare le coordinate di un punto $B$ che appartenga all'asse delle ascisse (cioè la cui ordinata sia nulla) in modo che la distanza tra $A$ e $B$ sia esattamente $\sqrt{26}$ unità.

1. a) Imposta l'equazione del modulo del vettore $\vec{AB}$ in funzione dell'ascissa incognita di $B$ e trova tutte le soluzioni possibili per tale punto.
2. b) Per ciascuna delle posizioni di $B$ trovate, calcola il vettore unitario che ha la stessa direzione e lo stesso verso di $\vec{AB}$, e spiega la relazione di simmetria geometrica che esiste tra i vettori unitari ottenuti.

Tre forze complanari mantengono un oggetto in equilibrio statico nell'origine del sistema di coordinate (cioè la forza risultante è il vettore nullo). Sono note le componenti di due di esse: $\vec{F}_1 = (40, 30)$ N e $\vec{F}_2 = (-20, 50)$ N. Calcola le componenti della terza forza $\vec{F}_3$ e il suo modulo esatto.

Un aereo vola con una velocità rispetto all'aria data dal vettore $\vec{v}_a = (250, 150)$ km/h. In quella zona, il vento soffia con una velocità rappresentata da $\vec{v}_v = (k, -50)$ km/h. Se sappiamo che la velocità reale dell'aereo rispetto al suolo, calcolata come $\vec{v}_r = \vec{v}_a + \vec{v}_v$, ha un modulo esatto di $300$ km/h, determina i possibili valori del parametro $k$.

Dati i punti $A(1, 2)$ e $B(m, m-1)$, trova il valore o i valori reali di $m$ affinché la distanza rettilinea tra $A$ e $B$ sia esattamente di $5$ unità.

Un robot esploratore si trova inizialmente nel punto $A(-3, 2)$. Viene programmato per avanzare in linea retta nella direzione e nel verso del vettore $\vec{u} = (2, -1)$ fino a raggiungere un punto $B$, in modo che la distanza $AB$ sia uguale a $4\sqrt{5}$. Subito dopo, gira e avanza nella direzione e nel verso del vettore $\vec{w} = (1, 2)$ per una distanza di $3\sqrt{5}$ fino a fermarsi nel punto $C$. Calcola le coordinate esatte dei punti $B$ e $C$.

Trova analiticamente tutti i vettori $\vec{v} = (x, y)$ di modulo $\sqrt{10}$ che soddisfino la condizione che la somma delle loro due componenti sia esattamente $4$.

In un piano di coordinate di un videogioco, il personaggio principale si trova nella posizione $P(-4, 1)$. Deve raccogliere una moneta situata in un punto $Q$ che appartiene alla retta passante per i punti $R(0, 5)$ e $S(2, 7)$. Se il personaggio si sposta esattamente di $3\sqrt{2}$ unità in linea retta per arrivare a $Q$, trova le possibili coordinate in cui si trova la moneta.

Considera un parallelogramma $ABCD$ di cui sono noti tre vertici: $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ e $D(2, 4)$. Calcola le coordinate del vertice $C$, ottieni il modulo delle sue due diagonali e giustifica analiticamente se si tratta o no di un rombo (cioè se ha tutti i lati uguali).

Un segnale luminoso parte dal punto $A(0, 4)$ con un vettore direttore $\vec{d} = (2, -1)$. Arrivato all'asse delle ascisse in un punto $P$, si riflette cambiando direzione e verso secondo il nuovo vettore direttore $\vec{d}' = (2, 1)$. Se il segnale continua la sua traiettoria fino a urtare la retta verticale $x = 12$ in un punto $Q$, calcola la distanza totale percorsa dalla luce da $A$ a $Q$.

Si vogliono determinare le coordinate di un punto $P$ situato a una distanza di $15$ unità dal punto $A(-1, 3)$, in modo che il vettore $\vec{AP}$ abbia la stessa direzione e lo stesso verso del vettore $\vec{v} = (-6, 8)$. Due studenti della classe propongono strade diverse:

• Metodo di Marco: scrive le coordinate parametriche dei punti della retta passante per $A$ con vettore direttore $\vec{v}$, $P(-1 - 6t,\, 3 + 8t)$, imposta l'equazione della distanza euclidea $d(A, P) = 15$ e ricava il parametro $t$.

• Metodo di Sara: ottiene il vettore unitario $\vec{u}$ nella direzione e nel verso di $\vec{v}$, scala questo vettore per la distanza voluta calcolando $\vec{w} = 15\cdot\vec{u}$, e trova $P$ sommando $\vec{w}$ alla posizione di $A$.

1. a) Applica passo dopo passo entrambi i metodi e verifica che si arriva esattamente allo stesso punto $P$.
2. b) Confronta criticamente i due procedimenti: giustifica quale dei due risulta più diretto e con minore costo algebrico. Spiega inoltre quale modifica concreta andrebbe introdotta in ciascuno dei due metodi se si chiedesse di collocare il punto alla stessa distanza ma in verso opposto.

In una prova strutturale di ingegneria civile, una cerniera situata nell'origine sopporta l'azione complanare di due forze, $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$, i cui moduli noti sono $|\vec{F}_1| = 6\text{ N}$ e $|\vec{F}_2| = 8\text{ N}$.

1. a) Dimostra formalmente, a partire dalle proprietà geometriche dei vettori, che il modulo della forza risultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ non può assumere un valore qualsiasi, ma deve necessariamente soddisfare la disuguaglianza $2\text{ N} \le |\vec{R}| \le 14\text{ N}$. Descrivi con precisione quale orientamento relativo devono avere $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ affinché il modulo raggiunga ciascuno di tali valori estremi.
2. b) Se la forza $\vec{F}_1$ agisce orizzontalmente in verso positivo, cioè $\vec{F}_1 = (6, 0)\text{ N}$, e il sensore di carico registra che il modulo della risultante totale è esattamente $|\vec{R}| = 10\text{ N}$, imposta un sistema con le equazioni dei moduli di $\vec{F}_2$ e di $\vec{R}$ per calcolare algebricamente le componenti di tutte le possibili forze $\vec{F}_2$ compatibili con la misura. Ottieni, per ciascun caso, il corrispondente vettore unitario.