Esercizi: Definizioni

Classifica le seguenti grandezze utilizzate in fisica e in geometria in scalari o vettoriali, giustificando brevemente la tua risposta in base alla loro definizione:

• Temperatura di un server di dati ($45^\circ \text{C}$).

• Velocità del vento in un parco eolico ($20 \text{ km/h}$ in direzione Nord-Ovest).

• Massa di un satellite artificiale ($1200 \text{ kg}$).

• Spostamento di un drone dalla sua base fino a un punto di consegna.

Un braccio robotico in una catena di montaggio si sposta in un piano cartesiano bidimensionale. Se la sua posizione iniziale è il punto $A(3, -2)$ e la sua posizione finale dopo un movimento è $B(-1, 5)$, determina le componenti del vettore spostamento $\vec{AB}$.

Un peschereccio si trova alle coordinate $P(-4, 2)$ di una carta nautica. Se il capitano programma il pilota automatico per effettuare uno spostamento rettilineo definito dal vettore $\vec{v} = (8, -3)$, determina le coordinate del punto di destinazione $Q$.

Nella progettazione di un videogioco, la velocità di un personaggio è data dal vettore $\vec{v} = (-6, 8)$ in pixel per frame. Calcola il modulo di tale vettore per determinare la velocità reale del personaggio sullo schermo.

Due aerei di aeromodellismo seguono traiettorie definite dai vettori $\vec{u} = (4, -6)$ e $\vec{v} = (-2, 3)$. Verifica, utilizzando la definizione di vettori paralleli, se i due aerei volano nella stessa direzione. Hanno lo stesso verso?

Per installare un cavo in fibra ottica tra due edifici, i topografi segnano su una mappa le posizioni dei collegamenti come $A(-3, 5)$ e $B(2, -7)$, con le unità in metri. Calcola la distanza in linea retta tra i due punti.

Si deve collocare un pilastro di sostegno esattamente al centro di una trave d'acciaio. Se gli estremi della trave si trovano alle coordinate $M(-1, 4)$ e $N(7, -2)$, determina le coordinate del punto in cui deve andare il pilastro.

Osserva i vettori rappresentati nella seguente griglia. Individua quali coppie di vettori sono equipollenti (uguali), quali hanno lo stesso modulo ma direzione diversa e quali hanno la stessa direzione ma verso opposto.

Nel calcolare le componenti e la lunghezza (modulo) del vettore applicato che unisce il punto $A(3, -2)$ con il punto $B(-1, 4)$, Marco commette diversi errori nella verifica. Scrive quanto segue:

1. Componenti: $\vec{AB} = (3 - (-1),\ -2 - 4) = (4,\ -6)$.

2. Modulo: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 - 6^2} = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20}$ (concludendo che il vettore non può esistere perché una distanza non può essere la radice di un numero negativo).

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Marco e spiega perché contraddicono la definizione di vettore applicato e la deduzione del modulo a partire dal teorema di Pitagora.
2. b) Correggi il procedimento calcolando le componenti corrette di $\vec{AB}$ e il suo modulo esatto e semplificato.
3. c) Quale vettore ha calcolato in realtà Marco nel primo passaggio?

Un sentiero escursionistico nelle Dolomiti collega un rifugio situato nel punto $A(1, 2)$ con un belvedere nel punto $B(6, 14)$ (coordinate espresse in chilometri).

1. a) Prima di calcolare la distanza esatta, fai una stima ragionata: deduci mentalmente la lunghezza degli spostamenti orizzontale e verticale (cateti) e determina tra quali due valori interi deve trovarsi il modulo $|\vec{AB}|$ applicando la disuguaglianza triangolare.
2. b) Calcola in modo esatto le componenti del vettore $\vec{AB}$ e il suo modulo mediante il teorema di Pitagora.
3. c) Verifica se il valore ottenuto è compatibile con la tua stima precedente e spiega geometricamente perché la distanza in linea retta percorsa non può mai superare la somma dei valori assoluti delle sue componenti.

Tre vertici consecutivi di un giardino urbano si trovano alle coordinate $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ e $C(6, 7)$, espresse in decametri. Si vuole che il giardino abbia la forma di un parallelogramma $ABCD$. Determina le coordinate in cui deve trovarsi il quarto vertice $D$.

La forza applicata a un oggetto è data dal vettore $\vec{F} = (5, k)$ in Newton. Se un sensore indica che l'intensità totale della forza è $13 \text{ N}$, determina i possibili valori del parametro $k$.

Per tracciare una strada rettilinea, gli ingegneri devono assicurarsi che tre punti di controllo siano perfettamente allineati. I primi due punti sono in $A(-1, 3)$ e $B(2, 5)$. Se il terzo punto ha coordinata $y = 9$, trova la sua coordinata $x$ utilizzando il concetto di vettori paralleli.

Un architetto progetta una scala rettilinea che collega il punto $P(-2, 1)$ del suolo con il punto $Q(7, -5)$ di una piattaforma. Se vuole collocare due sostegni intermedi che dividano la scala in tre tratti di uguale lunghezza, calcola le coordinate in cui devono essere ancorati tali sostegni.

In un simulatore di fisica, la direzione del vento è data dal vettore $\vec{w} = (-3, 4)$. Per applicare correttamente le formule aerodinamiche, il motore del gioco ha bisogno di un versore che mantenga esattamente la stessa direzione e lo stesso verso di $\vec{w}$. Calcolalo.

Trova un vettore $\vec{v}$ che sia parallelo al vettore $\vec{u} = (1, -2)$, che abbia verso opposto a $\vec{u}$ e il cui modulo sia esattamente $10$.

Dato l'esagono regolare $ABCDEF$ in figura, il cui centro è l'origine del sistema di coordinate $O(0,0)$ e il cui vertice $A$ ha coordinate $(2,0)$, esprimi i vettori $\vec{AC}$ e $\vec{AD}$ come combinazione lineare dei vettori posizione dei vertici (ad esempio, operando con i punti o sommando vettori noti della figura).

Un robot per l'esplorazione di Marte compie due spostamenti consecutivi. Prima si muove dalla sua base $O(0,0)$ fino al punto $P$ definito dal vettore $\vec{v_1} = (12, 5)$. Poi, da $P$, compie un secondo spostamento $\vec{v_2} = (-4, 10)$ fino a raggiungere il punto $Q$. Calcola le coordinate del punto $Q$ e la distanza totale in linea retta dalla base $O$ a $Q$.

Nel centro di controllo dell'aeroporto di Roma Fiumicino si monitora la posizione di due velivoli. In un dato istante, un aereo di linea si trova nella posizione $A(8, 15)$ e si sposta in linea retta fino al punto di controllo $B(20, 20)$ (coordinate in chilometri rispetto al radar centrale $O(0, 0)$). Contemporaneamente, un aereo leggero di emergenza parte dal punto $C(-6, -4)$ e compie uno spostamento equipollente a quello dell'aereo di linea fino a una posizione $D$.

1. a) Scrivi il vettore posizione $\vec{OA}$ del primo aereo e ottieni le componenti e il modulo del vettore spostamento $\vec{AB}$. Che cosa rappresenta geometricamente tale modulo?
2. b) Applicando la definizione di vettori equipollenti, calcola le coordinate della posizione finale $D$ dell'aereo leggero.
3. c) Nel bollettino meteorologico si legge: «Vento costante nel settore di Fiumicino a $45\text{ km/h}$ lungo l'asse Nord-Sud». Giustifica se questa affermazione definisce una grandezza scalare o una grandezza vettoriale completa, spiegando quale elemento manca per determinare il vettore vento senza ambiguità.

Si vogliono determinare le coordinate di un punto $Q(q_1, q_2)$ nel piano sapendo che il vettore applicato $\vec{PQ}$, con origine in $P(-4, 1)$, soddisfa le seguenti condizioni:

1. Il suo modulo è esattamente uguale a $13$.

2. La sua componente verticale $v_2$ è positiva e la sua componente orizzontale $v_1$ supera di $7$ unità tale componente verticale ($v_1 - v_2 = 7$).

1. a) Imposta l'equazione del modulo a partire dalla definizione pitagorica, risolvila algebricamente e deduci le componenti del vettore $\vec{PQ}$.
2. b) Utilizzando la relazione tra estremi e componenti di un vettore applicato, determina le coordinate esatte del punto $Q$.
3. c) Scrivi le componenti di un vettore $\vec{w}$ che abbia la stessa direzione di $\vec{PQ}$, verso opposto e modulo esattamente pari alla metà.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ sapendo che i vettori $\vec{u} = (a, 3)$ e $\vec{v} = (-2, b)$ hanno la stessa direzione (sono paralleli), verso opposto, e inoltre il modulo di $\vec{u}$ è $5$.

Dato un quadrilatero qualsiasi di vertici $A, B, C$ e $D$, siano $M, N, P$ e $Q$ rispettivamente i punti medi dei lati $AB, BC, CD$ e $DA$. Dimostra, utilizzando esclusivamente operazioni con vettori e coordinate di punti, che il quadrilatero $MNPQ$ è sempre un parallelogramma.

Dati i punti $A(1, -2)$ e $B(6, 3)$, trova le coordinate di un punto $P$ situato sul segmento che li unisce, tale che sia soddisfatta la relazione vettoriale $2\vec{PA} + 3\vec{PB} = \vec{0}$.

Trova le coordinate di tutti i punti situati sull'asse delle ascisse (asse $X$) la cui distanza dal punto $A(-2, 3)$ sia esattamente uguale a $5$ unità.

Una barca cerca di attraversare un fiume perpendicolarmente alle rive con una velocità propria data dal vettore $\vec{v_b} = (0, 12)$ km/h. Tuttavia, la corrente del fiume esercita una velocità costante rappresentata dal vettore $\vec{v_c} = (5, 0)$ km/h. Calcola il vettore velocità reale della barca rispetto a un osservatore sulla riva e determina la sua rapidità reale (modulo del vettore risultante).

Sono dati i punti $A(1, 1)$, $B(4, 2)$, $C(3, 5)$ e $D(0, 4)$. Calcola i vettori che formano i lati del quadrilatero $ABCD$ e le lunghezze delle sue diagonali. Sulla base di questi calcoli (e senza usare il prodotto scalare), giustifica se la figura è un rombo, un quadrato, un rettangolo o nessuna di queste figure regolari.

Trova le coordinate del punto simmetrico $A'$ del punto $A(3, -1)$ rispetto al punto $P(1, 2)$. Imposta la risoluzione utilizzando la definizione di vettore che unisce due punti e indica la relazione geometrica tra i vettori $\vec{AP}$ e $\vec{PA'}$.

Dati i vettori $\vec{u} = (4, 0)$ e $\vec{v} = (0, 3)$, si vuole trovare un vettore $\vec{w}$ che sia la bisettrice dell'angolo formato da $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Sapendo che la somma di due vettori unitari dà come risultato un vettore nella direzione della bisettrice, calcola le coordinate esatte di un vettore direttore $\vec{w}$ di tale bisettrice.

Per trovare le coordinate del quarto vertice $D$ di un parallelogramma i cui altri tre vertici consecutivi sono $A(-2, 1)$, $B(3, -2)$ e $C(7, 4)$, tre studenti di quarta liceo propongono strategie diverse:

• Elena propone il Percorso 1: usare l'equipollenza di vettori liberi nei lati opposti, imponendo che $\vec{AB} = \vec{DC}$.

• Guglielmo propone il Percorso 2: calcolare il vettore posizione del punto medio della diagonale $AC$, $\vec{OM} = \dfrac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2}$, e uguagliarlo a $\dfrac{\vec{OB}+\vec{OD}}{2}$ per ricavare $D$.

• Sara propone il Percorso 3: impostare un sistema di due equazioni quadratiche uguagliando i moduli dei lati opposti: $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$ e $|\vec{BC}| = |\vec{DA}|$.

1. a) Applica sia il Percorso 1 sia il Percorso 2 per trovare le coordinate di $D$, verificando che entrambi i metodi conducono allo stesso risultato.
2. b) Spiega in dettaglio perché il Percorso 3 di Sara è carente e inadeguato: quali altre configurazioni geometriche non parallelogrammiche soddisfano quelle uguaglianze di distanze e quale problema algebrico comporta risolvere quel sistema?
3. c) Argomenta quale dei primi due metodi risulta concettualmente più diretto e generalizzabile a tre dimensioni senza dover ricorrere a distanze né ad angoli.

Un'imbarcazione della Guardia Costiera con base a Messina deve posizionare due boe intermedie, $P$ e $Q$, lungo il segmento rettilineo che unisce due boe principali situate in $A(1, 3)$ e $B(19, 27)$ (coordinate in miglia nautiche riferite a una stazione costiera $O(0, 0)$). Le boe intermedie devono dividere il percorso orientato $\vec{AB}$ in tre tratti uguali con lo stesso verso, verificando $\vec{AP} = \vec{PQ} = \vec{QB}$.

1. a) Dimostra formalmente, utilizzando la relazione tra punti e vettori posizione ($\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$), che il vettore posizione della boa $P$ è dato da $\vec{OP} = \dfrac{2\vec{OA}+\vec{OB}}{3}$ e ottieni in modo motivato l'espressione analoga per $\vec{OQ}$.
2. b) Calcola le coordinate esatte di $P$ e $Q$, e calcola la distanza totale tra $A$ e $B$.
3. c) Un elicottero di soccorso effettua un volo di ricognizione secondo il vettore $\vec{CD} = (12, 16)$. Giustifica con rigore matematico se i vettori $\vec{AB}$ e $\vec{CD}$ hanno la stessa direzione, lo stesso verso e se sono o no equipollenti.