Esercizi: Teorema dei seni

In un triangolo $ABC$ sono noti gli angoli $A = 45^\circ$ e $B = 60^\circ$ e la lunghezza del lato $a = 12$ cm. Calcola la lunghezza del lato $b$ utilizzando il teorema dei seni.

Dato un triangolo $ABC$ di cui sono noti i lati $a = 15$ cm, $b = 10$ cm e l'angolo ottuso $A = 120^\circ$. Determina il valore dell'angolo $B$.

In un triangolo qualsiasi il lato $c$ misura $24$ cm e l'angolo opposto $C$ misura $30^\circ$. Calcola il raggio $R$ della circonferenza circoscritta a tale triangolo.

Nel triangolo $ABC$ si sa che la lunghezza del lato $a$ è il doppio di quella del lato $b$ ($a = 2b$). Se $\sin A = 0,8$, trova il valore esatto di $\sin B$.

Un triangolo $PQR$ ha gli angoli $P = 50^\circ$ e $Q = 75^\circ$. Se il lato $r = 20$ m, calcola la lunghezza del lato $p$.

Determina se è possibile costruire un triangolo $ABC$ con i seguenti dati: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm e $A = 45^\circ$. Giustifica matematicamente la risposta usando il teorema dei seni.

In un triangolo isoscele l'angolo al vertice misura $40^\circ$ e i lati uguali misurano $15$ cm. Calcola la lunghezza della base applicando direttamente il teorema dei seni.

I lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. Se il rapporto tra due lati è $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ e l'angolo $B = 30^\circ$, trova la misura dell'angolo $A$, sapendo in anticipo che è un angolo acuto.

In una verifica di Trigonometria, Marco deve risolvere un triangolo di cui sono noti $a = 14\text{ cm}$, $b = 9\text{ cm}$ e $A = 35^\circ$. Per trovare l'angolo $B$, Marco scrive:

E conclude: «Poiché la funzione seno è positiva sia nel primo quadrante sia nel secondo, esistono due soluzioni possibili: $B_1 = \arcsin(0,3687) \approx 21,63^\circ$ e $B_2 = 180^\circ - 21,63^\circ = 158,37^\circ$. Quindi ci sono due triangoli distinti che soddisfano i dati». Individua l'errore concettuale commesso da Marco, spiega con due argomenti geometrici diversi perché la soluzione $B_2$ è impossibile in questo triangolo e calcola la misura corretta degli angoli restanti $B$ e $C$.

In un triangolo $ABC$ sono noti gli angoli $A = 70^\circ$ e $B = 30^\circ$, nonché la lunghezza del lato $a = 20\text{ m}$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo numerico, stima con ragionamento se il lato $b$ misurerà più o meno della metà del lato $a$. Basa la tua stima confrontando il valore esatto di $\sin 30^\circ$ con il comportamento della funzione seno quando l'angolo si avvicina a $90^\circ$.
2. b) Applica il teorema dei seni per calcolare la lunghezza esatta di $b$, arrotondando il risultato a due cifre decimali.
3. c) Verifica se il valore ottenuto conferma la tua stima iniziale e rifletti: perché in un triangolo i lati non sono proporzionali agli angoli, ma ai loro seni?

Nel triangolo $ABC$ sono noti i lati $a = 10$ cm, $b = 14$ cm e l'angolo $A = 30^\circ$. Calcola i due possibili valori dell'angolo $B$ e le corrispondenti lunghezze del lato $c$ per ciascun caso.

Due stazioni della guardia costiera, $A$ e $B$, distano $50$ km lungo una costa rettilinea. Una nave $S$ emette un segnale di soccorso. La stazione $A$ rileva il segnale con un angolo di $40^\circ$ rispetto alla linea di costa, mentre la stazione $B$ lo rileva con un angolo di $65^\circ$. Calcola la distanza in linea retta da ciascuna stazione alla nave.

Una torre antica si è inclinata e ora forma un angolo di $85^\circ$ con il suolo orizzontale. Un topografo si colloca a $40$ m dalla base della torre, esattamente nella direzione verso cui essa si inclina. Da quel punto misura l'angolo di elevazione fino alla sommità della torre, ottenendo $50^\circ$. Calcola la lunghezza totale della torre dalla base alla sommità.

Calcola il perimetro di un ettagono regolare (poligono di 7 lati) inscritto in una circonferenza di raggio $R = 10$ cm. Utilizza il teorema dei seni nei triangoli isosceli che si formano a partire dal centro del poligono.

Un appezzamento di terreno di forma triangolare ha due angoli che misurano $60^\circ$ e $75^\circ$. Il lato compreso tra questi due angoli è delimitato da un muro rettilineo lungo $120$ m. Calcola l'area totale dell'appezzamento.

In un triangolo $ABC$ vale la proporzione $\frac{a}{\sin A} = 24$. Se la somma degli angoli $A + B = 120^\circ$ e il lato $a = 12\sqrt{3}$ cm, determina la lunghezza esatta del lato $c$.

Una funivia sale in linea retta da una stazione a valle $A$ fino alla cima $C$ di una montagna. Da un punto $D$, situato $200$ m dietro $A$ sullo stesso piano orizzontale, l'angolo di elevazione verso $C$ è di $22^\circ$. Dalla stazione $A$, l'angolo di elevazione verso la cima è di $35^\circ$. Calcola la lunghezza del cavo $AC$ della funivia risolvendo il triangolo $ADC$.

Due osservatori $A$ e $B$ distano $1200$ km sulla superficie terrestre (distanza che considereremo rettilinea per questo calcolo locale). Entrambi osservano un satellite $S$ che transita nello stesso piano verticale che li contiene, in modo che la sua proiezione al suolo cada tra $A$ e $B$. L'angolo di elevazione misurato da $A$ è di $82^\circ$ e quello misurato da $B$ è di $85^\circ$. Calcola la distanza esatta dall'osservatore $A$ al satellite.

Il servizio di avvistamento degli incendi boschivi dispone di due postazioni di osservazione, la Postazione $A$ e la Postazione $B$, situate in una pianura e distanti in linea retta $6\text{ km}$. Entrambe individuano una stessa colonna di fumo in un punto $C$.

Dalla Postazione $A$ la visuale verso l'incendio forma un angolo di $42^\circ$ con il segmento $AB$. Dalla Postazione $B$ la visuale verso il fuoco forma un angolo di $68^\circ$ con lo stesso segmento $AB$.

1. a) Modella la situazione mediante un triangolo e calcola, usando il teorema dei seni, a quale distanza si trova il focolaio dell'incendio da ciascuna delle postazioni di avvistamento (arrotonda i risultati a due cifre decimali).
2. b) Se si invia un elicottero con base adiacente alla Postazione $B$ che vola in linea retta verso il fuoco a una velocità media di $150\text{ km/h}$, calcola quanti minuti impiegherà per raggiungere il luogo dell'incendio.

Per costruire un pezzo triangolare $ABC$, un operaio fissa il lato $b = 10\text{ cm}$ e l'angolo $A = 30^\circ$, ma può variare a piacere la lunghezza del lato opposto $a$.

1. a) A partire dal teorema dei seni, scrivi l'espressione che permette di calcolare $\sin B$ in funzione della lunghezza $a$.
2. b) Determina con ragionamento per quali valori esatti o intervalli della lunghezza $a$ si verifica ciascuno dei seguenti casi:

i) Non è possibile costruire alcun triangolo con tali misure.

ii) Si può costruire esattamente un triangolo e questo è rettangolo.

iii) Si possono costruire due triangoli distinti non congruenti.

iv) Si può costruire un unico triangolo e questo non è rettangolo.

1. c) Interpreta geometricamente che cosa rappresenta il valore critico di $a$ trovato nel caso ii) in relazione all'altezza condotta dal vertice $C$.

Dimostra, partendo dal teorema dei seni, che in qualsiasi triangolo $ABC$ vale la seguente identità trigonometrica che mette in relazione i suoi lati e angoli:

$a \sin(B - C) + b \sin(C - A) + c \sin(A - B) = 0$

In un triangolo $ABC$ la bisettrice interna dell'angolo $A$ interseca il lato opposto $BC$ nel punto $D$. Applica il teorema dei seni nei triangoli $ABD$ e $ACD$ per dimostrare formalmente il teorema della bisettrice, cioè che vale la proporzione:

$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$

Dimostra che il raggio $R$ della circonferenza circoscritta a un triangolo $ABC$ è direttamente legato all'area del triangolo $S$ mediante la formula:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$

(Suggerimento: esprimi l'area del triangolo usando il seno di uno dei suoi angoli e combinala con il teorema dei seni).

Nella costruzione di un triangolo $ABC$ si fissano il lato $a = 10$ cm e l'angolo $A = 45^\circ$. Il lato $b$ ha una lunghezza variabile $x$ cm. Determina, con ragionamento, l'intervallo stretto di valori reali di $x$ per i quali esistono esattamente due triangoli distinti che soddisfano contemporaneamente queste condizioni.

Il versante di una montagna presenta un'inclinazione costante di $15^\circ$ rispetto al piano orizzontale. Due punti $A$ e $B$ si trovano sul versante, con $B$ situato $50$ m più in alto di $A$ lungo il pendio. Nel punto $B$ è stato installato un palo verticale per telecomunicazioni. Dal punto $A$ l'angolo di elevazione fino all'estremità superiore del palo è di $42^\circ$, misurato dall'orizzontale. Calcola l'altezza esatta del palo.

In un triangolo $ABC$ l'angolo $A$ è esattamente il doppio dell'angolo $B$ ($A = 2B$). Dimostra, usando il teorema dei seni e le formule di duplicazione, che le lunghezze dei lati soddisfano la relazione $a = 2b \cos B$.

In un triangolo $ABC$ le lunghezze dei lati $a$, $b$ e $c$ sono in progressione aritmetica, e vale la relazione $2b = a + c$. Dimostra che i seni degli angoli opposti soddisfano una relazione analoga: $\sin A + \sin C = 2 \sin B$.

Un aereo vola in linea retta a quota costante. Un osservatore fermo a terra lo scorge inizialmente con un angolo di elevazione di $30^\circ$. Esattamente $10$ secondi dopo, l'aereo, che vola direttamente verso la verticale dell'osservatore, viene scorto con un angolo di elevazione di $45^\circ$. Se la velocità costante dell'aereo è di $600$ km/h, calcola la quota a cui vola risolvendo il triangolo formato dall'osservatore e dalle due posizioni dell'aereo mediante il teorema dei seni.

Si vuole calcolare il perimetro di un'aiuola triangolare $ABC$ inscritta in una rotatoria circolare di raggio $R = 8\text{ m}$. Sono noti gli angoli interni $A = 45^\circ$ e $B = 60^\circ$.

Per risolvere il problema si propongono due strategie:

• Strategia 1: tracciare l'altezza dal vertice $C$ per dividere il triangolo in due triangoli rettangoli, calcolare altezze e proiezioni usando la trigonometria elementare degli angoli notevoli e ricavare i lati mediante sistemi di equazioni.

• Strategia 2: calcolare il terzo angolo $C$ e applicare la relazione estesa del teorema dei seni ($\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$).

1. a) Confronta con ragionamento i due metodi valutandone l'efficienza operativa (numero di passaggi di calcolo) e il rischio di propagazione degli errori di arrotondamento. Giustifica quale dei due è preferibile.
2. b) Applica la strategia più vantaggiosa per trovare il valore esatto del perimetro in funzione di radicali (usa che $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$) e ottieni il suo valore numerico approssimato in metri con due cifre decimali.

Un'azienda di telecomunicazioni installa una struttura triangolare rigida $ABC$ i cui tre vertici devono appoggiarsi su una guida circolare di raggio $R = 10\text{ m}$. Per vincoli tecnici delle barre disponibili, si stabilisce che il lato $a$ debba misurare $14\text{ m}$ e il lato $b$ debba misurare $18\text{ m}$.

1. a) Usa la relazione estesa del teorema dei seni per ottenere tutti i possibili valori angolari per i vertici $A$ e $B$ (arrotondati a due decimali di grado).
2. b) Analizza in modo esaustivo le quattro possibili combinazioni di coppie di angoli $(A, B)$ e determina quanti triangoli geometricamente realizzabili e non congruenti si possono costruire. Per ogni triangolo valido, calcola la misura dell'angolo $C$ e la lunghezza del lato rimanente $c$.
3. c) La normativa tecnica richiede che la struttura sia strettamente acutangola per distribuire in modo omogeneo le tensioni del vento. Giustifica se qualcuno dei triangoli realizzabili soddisfa questo requisito e, in caso affermativo, calcola l'area della superficie delimitata da tale struttura utilizzando la formula dell'area che lega due lati e il seno dell'angolo compreso.