Esercizi: Rapporti trigonometrici di un angolo

Trasforma in radianti gli angoli di $135^\circ$ e $330^\circ$, ed esprimi in gradi sessagesimali gli angoli di $\frac{5\pi}{6}$ rad e $\frac{7\pi}{4}$ rad.

Calcola il valore esatto di seno, coseno e tangente dell'angolo più piccolo di un triangolo rettangolo, sapendo che i suoi cateti misurano $5$ cm e $12$ cm.

Sapendo che $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ e che $\alpha$ è un angolo acuto, trova il valore esatto di $\sin \alpha$ e $\tan \alpha$ usando le identità trigonometriche fondamentali.

Calcola la seguente espressione sostituendo i rapporti trigonometrici con i loro valori esatti, senza usare la calcolatrice:

$\sin^2(30^\circ) + \cos^2(45^\circ) - \tan(60^\circ) \cdot \sin(60^\circ)$

Determina in quale quadrante si trova l'angolo $\beta$ se valgono contemporaneamente $\sin \beta < 0$ e $\tan \beta > 0$.

Trova l'angolo equivalente nel primo giro (compreso tra $0^\circ$ e $360^\circ$) per l'angolo di $1950^\circ$ e determina il segno della sua secante e della sua cotangente.

In un triangolo rettangolo, la tangente di uno dei suoi angoli acuti è $\frac{3}{4}$. Determina il valore esatto della secante e della cosecante di tale angolo.

Calcola il valore numerico della seguente espressione trigonometrica relativa ad angoli situati sugli assi:

$3\sin(90^\circ) - 2\cos(180^\circ) + 4\sin(270^\circ) - \cos(360^\circ)$

Lucia deve calcolare i rapporti trigonometrici dell'angolo $\alpha$, sapendo che appartiene al secondo quadrante e che $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Nel compito scrive:

e poi conclude che $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

1. a) Indica con precisione l'errore concettuale commesso da Lucia e spiega, aiutandoti con la circonferenza goniometrica, perché il suo risultato per il segno di $\cos\alpha$ e di $\tan\alpha$ è incoerente con il quadrante indicato.
2. b) Correggi la risoluzione e calcola il valore numerico esatto di $\cos\alpha$ e di $\tan\alpha$.

Considera l'angolo $\alpha = 210^\circ$.

1. a) Senza ricorrere alla calcolatrice né a calcoli analitici preliminari, fai una stima ragionata collocando l'angolo sulla circonferenza goniometrica: indica a quale quadrante appartiene, deduci il segno di $\sin 210^\circ$, $\cos 210^\circ$ e $\tan 210^\circ$, e giustifica quale delle due quantità in valore assoluto deve essere maggiore, $|\sin 210^\circ|$ o $|\cos 210^\circ|$, a seconda che il raggio sia più vicino all'asse orizzontale o a quello verticale.
2. b) Deduci ora i valori numerici esatti di $\sin 210^\circ$, $\cos 210^\circ$ e $\tan 210^\circ$ mettendo in relazione questo angolo con il corrispondente angolo notevole del primo quadrante ($30^\circ$).
3. c) Verifica se i valori esatti ottenuti confermano la stima dei segni e delle grandezze relative formulata nel punto a).

Sapendo che $\tan \gamma = -\frac{12}{5}$ e che $\gamma$ appartiene al secondo quadrante, calcola il valore esatto di $\sin \gamma$ e $\sec \gamma$.

Un edificio proietta un'ombra di $24$ metri quando l'angolo di elevazione del sole sull'orizzonte è di $53^\circ$. Scrivi l'espressione trigonometrica per calcolare l'altezza dell'edificio e determinane il valore. Se l'angolo di elevazione si dimezza, la lunghezza dell'ombra raddoppia? Giustifica la risposta basandoti sulla non linearità del rapporto tangente.

Semplifica al massimo la seguente espressione trigonometrica usando le identità fondamentali, esprimendo il risultato in funzione di un solo rapporto trigonometrico:

$\frac{\sin^3 x + \sin x \cdot \cos^2 x}{\cos x}$

Un disco di una smerigliatrice ruota a $7200$ giri al minuto. Esprimi questa velocità angolare in radianti al secondo e calcola l'angolo esatto (in radianti) spazzato da una particella del suo bordo esterno in $0,15$ secondi.

Trova il valore esatto della seguente espressione riducendo prima tutti gli angoli al primo quadrante:

$\cos(120^\circ) \cdot \sin(225^\circ) - \tan(330^\circ) \cdot \cos(210^\circ)$

Un pendolo lungo $80$ cm si sposta dalla sua posizione verticale di equilibrio fino a formare un angolo di $18^\circ$ con la verticale. Calcola lo spostamento orizzontale esatto della massa del pendolo e l'altezza di cui si è sollevata rispetto al suo punto più basso. Esprimi i risultati in funzione dei rapporti trigonometrici di $18^\circ$.

Calcola i valori esatti di $\cot \alpha$ e $\csc \alpha$ sapendo che $\sec \alpha = 3$ e che il seno dell'angolo è negativo.

Per ottimizzare la captazione di energia solare in inverno, un pannello rettangolare lungo $2$ metri viene sollevato appoggiando uno dei lati minori sul suolo piano, in modo che il lato opposto si trovi esattamente a $1,2$ metri di altezza. Determina il valore esatto del coseno e della tangente dell'angolo di inclinazione del pannello.

Si sa che un angolo $\alpha$ appartiene al secondo quadrante e che $\tan\alpha = -\frac{4}{3}$. Per calcolare i valori esatti di $\cos\alpha$ e $\sin\alpha$, due compagni di classe propongono due strategie diverse:

• Metodo A (Rachele): applica l'identità $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, ricava $\cos\alpha$ scegliendo il segno adatto al quadrante e poi ottiene $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$.

• Metodo B (Sergio): imposta un sistema di equazioni con la definizione $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{4}{3}$ e la relazione fondamentale $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, ricavando un'incognita in funzione dell'altra per sostituirla.

1. a) Confronta i due metodi analizzando quale risulta più diretto, quale comporta meno calcoli algebrici e in quale è più facile sbagliare nella scelta dei segni.
2. b) Applica il metodo che ritieni più efficiente per trovare i valori esatti di $\cos\alpha$ e $\sin\alpha$, giustificando la scelta del segno in ogni passaggio a partire dal quadrante di $\alpha$.

Scrivi un'equazione polinomiale di secondo grado nell'incognita $\cos x$, della forma $a\cos^2 x + b\cos x + c = 0$ con coefficienti interi ($a, b, c \in \mathbb{Z}$ e $a > 0$), le cui soluzioni nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$ siano unicamente i quattro angoli:

Per costruirla e giustificarla:

1. a) Determina il valore numerico esatto che assume $\cos x$ in ciascuno di questi quattro angoli utilizzando la simmetria della circonferenza goniometrica.
2. b) Costruisci l'equazione in funzione di $\cos x$ a partire da tali valori e semplifica i coefficienti in modo che siano numeri interi.
3. c) Giustifica perché la tua equazione garantisce che non esista alcun altro angolo nel primo giro completo $[0^\circ, 360^\circ)$ che soddisfi l'uguaglianza.

Dimostra la seguente identità trigonometrica, indicando i passaggi algebrici e le relazioni fondamentali utilizzate. Supponi che $\alpha$ sia un angolo per cui tutti i rapporti sono definiti:

$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = 2\sec \alpha$

Dimostra che l'area di un poligono regolare di $n$ lati inscritto in una circonferenza di raggio $R$ è data dall'espressione $A = \frac{n \cdot R^2}{2} \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$. Applica poi la formula per calcolare l'area esatta di un ottagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $10$ cm.

Data la relazione $5\sin \theta - 2\cos \theta = 0$, determina tutti i valori esatti possibili di $\sin \theta$, $\cos \theta$ e $\tan \theta$. Discuti con argomentazioni in quali quadranti può trovarsi l'angolo $\theta$.

Semplifica al massimo la seguente espressione trigonometrica, supponendo che $x$ sia un angolo del primo quadrante. Presta particolare attenzione ai segni nella riduzione a tale quadrante:

$\frac{\sin(\pi - x) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cdot \tan(2\pi - x)}{\cos(\pi + x) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)}$

Trova tutti gli angoli $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ che soddisfano la seguente equazione trigonometrica:

$2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha = 0$

(Suggerimento: esprimi l'intera equazione in funzione di un solo rapporto trigonometrico usando l'identità fondamentale).

Un raggio di luce passa da un mezzo liquido con indice di rifrazione $n_1 = 1,33$ a un cristallo con indice $n_2 = 1,52$. La legge di Snell stabilisce che $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$, dove $\theta_1$ e $\theta_2$ sono gli angoli di incidenza e di rifrazione misurati rispetto alla normale alla superficie. Se il raggio incide con un angolo $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ rad, determina il valore esatto del coseno dell'angolo di rifrazione $\theta_2$.

Due pulegge circolari di raggi $R = 15$ cm e $r = 5$ cm sono collegate da una cinghia tesa che si incrocia tra di esse. La distanza tra i centri delle pulegge è di $40$ cm. Se $\alpha$ è l'angolo che il tratto rettilineo della cinghia forma con la retta immaginaria che unisce i centri, calcola il valore esatto di $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ e la lunghezza totale del tratto rettilineo della cinghia compreso tra i due punti di tangenza.

Dimostra che se $\alpha$ e $\beta$ sono due angoli acuti complementari (cioè $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ rad), allora vale sempre la seguente relazione trigonometrica:

$\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\sec \alpha \cdot \sec \beta} = 1$

In un parco eolico della Toscana, un aerogeneratore ha il mozzo (centro di rotazione delle pale) situato a $90\text{ m}$ dal suolo e le sue pale sono lunghe $50\text{ m}$. La posizione dell'estremo di una pala è modellizzata da una circonferenza di raggio $50\text{ m}$ centrata in $(0, 90)$, dove l'angolo $\alpha$ si misura in senso antiorario a partire dalla posizione orizzontale a destra ($3$ in punto su un orologio).

A causa di una raffica di vento, il sistema di controllo blocca la pala quando l'angolo $\alpha$ si trova nel secondo quadrante e l'anemometro registra che $\tan\alpha = -\frac{7}{24}$.

1. a) Deduci, mediante le identità trigonometriche fondamentali e giustificando il segno in base al quadrante, i valori esatti di $\cos\alpha$ e $\sin\alpha$.
2. b) Calcola le coordinate esatte $(x, y)$ dell'estremo della pala rispetto al suolo (prendendo l'origine alla base del palo verticale), indicando la sua altezza dal terreno e il suo scostamento orizzontale.
3. c) Basandoti sulle proprietà di simmetria della circonferenza goniometrica, determina quale altro angolo $\beta \in [0^\circ, 360^\circ)$ porterebbe l'estremo della pala esattamente alla stessa altezza dal suolo e calcola il valore esatto di $\sin\beta$, $\cos\beta$ e $\tan\beta$.

In una prova scritta si chiede di semplificare la seguente espressione per tutti gli angoli $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ in cui è definita:

Carlo consegna la seguente risposta:

«Poiché $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, si ha che $\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \cos\alpha$ e che $\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sin\alpha$. Sostituendo nell'espressione:

Quindi il risultato vale $0$ per qualsiasi angolo in cui esista».

1. a) Spiega con rigore algebrico l'errore commesso da Carlo nell'estrarre le radici quadrate ed enuncia la proprietà generale $(\sqrt{u^2})$ che ha omesso.
2. b) Indica con ragionamento per quali angoli $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ l'espressione $E(\alpha)$ non è definita.
3. c) Svolgi uno studio per quadranti del valore costante che $E(\alpha)$ assume in ciascuno di essi.
4. d) A partire dal tuo studio, determina se è possibile trovare un angolo $\alpha$ tale che $E(\alpha) = 2$ e descrivi quale posizione occupa tale angolo sulla circonferenza goniometrica.