Esercizi: Parallelismo e perpendicolarità tra rette e piani nello spazio

Determina la posizione reciproca della retta $r$ e del piano $\pi$ verificando la relazione tra i loro vettori caratteristici. La retta è data dall'equazione continua $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ e il piano dall'equazione generale $\pi: 2x - y + 4z - 5 = 0$.

1. a) Scrivi un vettore direttore $\vec{v}_r$ della retta e un vettore normale $\vec{n}$ del piano.

1. b) Il vettore direttore della retta è parallelo al vettore normale del piano? Giustifica la risposta.

1. c) Giustifica quale implicazione geometrica ha questo fatto per la posizione reciproca di $r$ e $\pi$.

Un braccio robotico in una fabbrica di assemblaggio si muove lungo una traiettoria rettilinea $s$. La traiettoria passa per il punto di controllo $A(2, -1, 5)$ e deve essere perpendicolare al pannello di supporto, rappresentato dal piano $\pi: x + 3y - 2z + 4 = 0$. Ottieni le equazioni parametriche della retta $s$ seguita dal braccio robotico.

Verifica se il piano $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ e il piano $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ sono paralleli. Per farlo, analizza se i loro vettori normali sono proporzionali. Nel caso siano paralleli, stabilisci se sono lo stesso piano (coincidenti) o se non hanno alcun punto in comune.

Dati il punto $Q(3, -1, 4)$ e il piano $\alpha: 2x + y = 0$, trova l'equazione della retta $r$ che passa per $Q$ ed è perpendicolare al piano $\alpha$. Presta particolare attenzione nell'individuare le coordinate del vettore normale del piano, facendo caso all'assenza della variabile $z$.

Trova il valore del parametro $k$ affinché la retta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ sia parallela al piano $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Ricorda che, perché una retta e un piano siano paralleli, il prodotto scalare dei loro vettori caratteristici deve essere uguale a zero.

In un progetto di energia solare si installa un pannello piano rappresentato dal piano $\pi \equiv 2x + y - z = 4$. Un palo di sostegno è definito dalla retta $r \equiv \{x = 1+t, y = 2-t, z = 3t\}$. A mezzogiorno i raggi del sole incidono perpendicolarmente sul pannello. Calcola l'equazione della retta $s$ che rappresenta la proiezione ortogonale del palo $r$ sul pannello solare $\pi$ (la sua «ombra» sotto incidenza perpendicolare). Determina inoltre il punto in cui il palo attraversa il pannello.

Si considera la retta $r$ che passa per i punti $A(1, 0, 2)$ e $B(2, 1, 0)$. Trova le coordinate di un punto $P$ situato nel piano $\pi \equiv x + y + z = 10$, in modo tale che il segmento che unisce il punto $P$ con la sua proiezione ortogonale sulla retta $r$ sia perpendicolare al piano $\pi$.

Sia data la famiglia di piani $\pi_a \equiv ax + y + z = a$. Determina il valore di $a$ affinché la proiezione ortogonale della retta $r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sul piano $\pi_a$ sia una retta parallela al piano coordinato $YZ$. Una volta trovato $a$, scrivi l'equazione di tale retta proiezione in forma parametrica.

Un architetto progetta una struttura piramidale con vertice in $V(2, 2, 6)$ e la cui base è contenuta nel piano $\pi \equiv x + 2y + 2z = 6$. Trova il piede dell'altezza della piramide (proiezione ortogonale di $V$ su $\pi$) e determina il volume del tetraedro formato dall'origine delle coordinate e dai punti di intersezione del piano $\pi$ con i tre assi cartesiani.

Alberto deve classificare la posizione reciproca tra la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{1}$ e il piano $\pi: 2x - y + z + 4 = 0$. Nella sua risoluzione scrive quanto segue:

«Il vettore direttore della retta è $\vec{v} = (2, -1, 1)$ e il vettore normale del piano è $\vec{n} = (2, -1, 1)$. Poiché $\vec{v} = \vec{n}$, i due vettori sono proporzionali, il che dimostra che la retta e il piano sono paralleli».

1. a) Spiega qual è l'errore concettuale di Alberto. Descrivi la posizione geometrica che una retta e un piano hanno realmente quando i loro vettori direttore e normale sono proporzionali, basandoti sul significato del vettore normale a una superficie piana.
2. b) Correggi l'esercizio: determina la vera posizione reciproca tra $r$ e $\pi$ e trova le coordinate del loro punto di intersezione, se esiste.

Si sa che la proiezione ortogonale del punto esterno $P(3, -1, 2)$ su un piano incognito $\pi$ è il punto $Q(1, 1, 0)$.

1. a) Giustifica geometricamente perché il vettore $\vec{QP}$ è un vettore normale al piano $\pi$ e scrivi l'equazione generale di tale piano.
2. b) Scrivi l'equazione continua di una retta $r$ che passi per il punto $P$ e sia strettamente parallela al piano $\pi$. Quante rette distinte soddisfano contemporaneamente queste due condizioni? Giustifica la risposta descrivendo quale figura geometrica formano tutte queste rette nello spazio.

Un architetto sta progettando una rampa modellata come un piano $\pi$ di equazione generale $x + y + z - 6 = 0$. Per installare un sensore di illuminazione, deve conoscere la proiezione ortogonale del punto $P(1, 2, 5)$ su tale piano. Calcola le coordinate del punto $Q$ che rappresenta tale proiezione (detto piede della perpendicolare).

Determina la proiezione ortogonale del punto $A(2, 0, -1)$ sulla retta $r$ data dalla sua equazione in forma continua:

Suggerimento: ricorda che puoi costruire un piano ausiliario perpendicolare alla retta che passi per il punto $A$.

Si proietta la retta $r$, che passa per i punti $A(1, 0, 0)$ e $B(1, 1, 1)$, sul piano $\pi: x = 0$.

1. Determina la proiezione ortogonale dei punti $A$ e $B$ sul piano.

2. Scrivi l'equazione della retta proiettata $r'$ che passa per questi nuovi punti.

Un ingegnere sta progettando il percorso di un cavo in fibra ottica che deve essere parallelo a un pannello di protezione. Il pannello è rappresentato dal piano $\pi: 2x - 3y + az = 5$ e la traiettoria del cavo dalla retta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$.

1. a) Determina il valore del parametro $a \in \mathbb{R}$ affinché la traiettoria del cavo sia parallela al pannello.
2. b) Per il valore di $a$ trovato, verifica se il cavo è contenuto nel pannello o se tra loro esiste una distanza costante.

Calcola l'equazione del piano $\alpha$ che passa per il punto $P(1, 0, -2)$ ed è perpendicolare alla retta $s$ definita dall'intersezione dei piani:

$s: \begin{cases} x + y - z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Determina inoltre il punto di intersezione tra la retta $s$ e il piano $\alpha$ trovato (proiezione ortogonale di $P$ su $s$).

Data la retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ e il piano $\pi: 3x + y - z = 4$, trova l'equazione del piano $\beta$ che soddisfa contemporaneamente:

1. Contiene la retta $r$.

2. È perpendicolare al piano $\pi$.

Considera i piani $\pi_1: x - 2y + z = 0$ e $\pi_2: 3x + y - z = 5$.

1. a) Determina l'equazione della retta $r$ che risulta dall'intersezione dei due piani.
2. b) Trova l'equazione di un piano $\pi_3$ che passi per il punto $Q(0, 0, 1)$ e sia perpendicolare alla retta $r$.

Si vuole collocare un'antenna in un punto $M$ di un pendio piano rappresentato dal piano $\pi: x + 2y + 2z = 9$. L'antenna deve essere il più vicino possibile a una stazione base situata nel punto $P(5, 4, 10)$.

1. a) Calcola le coordinate del punto $M$ (proiezione ortogonale di $P$ su $\pi$).
2. b) Se l'antenna deve essere collegata alla stazione mediante un cavo rettilineo, determina le equazioni parametriche della retta seguita da tale cavo.

Determina la posizione reciproca del piano $\pi: mx + y - z = 1$ e della retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ in funzione del parametro reale $m$. Specifica per quali valori sono perpendicolari e per quali la retta è parallela al piano.

Due rette nello spazio, $a$ e $b$, sono sghembe. Se la retta $a$ è parallela a un piano orizzontale $\pi$ e la retta $b$ è perpendicolare a quello stesso piano $\pi$:

1. a) Quale angolo formano le direzioni delle rette $a$ e $b$?
2. b) È possibile trovare un piano che contenga entrambe le rette? Perché?
3. c) Possiamo affermare che le due rette sono perpendicolari anche se non hanno alcun punto in comune?

Osserva l'angolo di una stanza dove si incontrano due pareti e il pavimento. Questo insieme forma un angoloide triedro nel vertice dello spigolo inferiore.

1. a) Quanto misurano i tre angoli piani che definiscono le facce di questo triedro?
2. b) Quanto vale la somma delle misure dei tre angoli diedri formati tra le pareti e il pavimento?
3. c) Se una mosca vola seguendo una traiettoria parallela alla linea del battiscopa di una parete, tale traiettoria è parallela anche al piano dell'altra parete? Spiega perché.

Data la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{-1}$ e il piano $\pi: x + y + z - 4 = 0$:

1. a) Verifica che la retta $r$ non è perpendicolare al piano $\pi$ e trova il loro punto di intersezione $I$.
2. b) Per determinare la proiezione ortogonale di $r$ su $\pi$, due studenti valutano due metodi diversi:

• Metodo A (proiezione di punti): poiché $I$ appartiene già al piano, basta proiettare ortogonalmente un altro punto qualsiasi $P \in r$ ($P \neq I$) per ottenere $P'$, e la retta proiettata sarà quella che passa per $I$ e $P'$.

• Metodo B (piano proiettante): trovare l'equazione del piano $\pi'$ che contiene $r$ ed è perpendicolare a $\pi$, ed esprimere la proiezione come retta intersezione $\pi' \cap \pi$.

Applica uno dei due metodi per calcolare la retta proiettata. Poi spiega quale metodo risulta computazionalmente più agile in questo caso e quale dei due resterebbe applicabile se la retta $r$ fosse strettamente parallela al piano $\pi$.

Considera la retta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$ e il punto esterno $P(1, 2, 7)$.

1. a) Stima: il punto $A(1, 2, 1)$ appartiene alla retta $r$. Osserva che $P$ si trova esattamente sulla verticale di $A$, ma a quota maggiore ($z = 7$). Sapendo che il vettore direttore $\vec{v} = (1, 1, 2)$ procede contemporaneamente verso valori positivi di $x$, $y$ e $z$, ragiona qualitativamente prima di fare i calcoli:

• Se la quota $z$ del piede della perpendicolare $P'$ (proiezione ortogonale di $P$ su $r$) sarà compresa strettamente tra $1$ e $7$.

• Se le coordinate $x$ e $y$ di tale punto $P'$ saranno maggiori o minori di quelle di $A$.

1. b) Verifica: ottieni algebricamente le coordinate di $P'$ mediante l'intersezione di $r$ con il piano perpendicolare a essa passante per $P$. Controlla se i valori ottenuti confermano le tue deduzioni geometriche precedenti.

Calcola le coordinate del punto $Q$, che è la proiezione ortogonale del punto $P(3, -1, 5)$ sulla retta $r$ definita dalla seguente equazione continua:

Trova il punto $P'$ che rappresenta la proiezione ortogonale del punto $P(1, 0, -3)$ sul piano $\pi$ di equazione:

Una sorgente di luce posta in un punto molto lontano proietta raggi paralleli alla direzione del vettore $\vec{v} = (0, 0, -1)$. Se un cavo d'acciaio segue la traiettoria della retta $r$, determina l'equazione dell'ombra che proietta su un tetto piano rappresentato da $\pi$:

Ottieni l'equazione cartesiana del piano proiettante della retta $r$ sul piano $\pi$. Ricorda che il piano proiettante è il piano perpendicolare a $\pi$ che contiene la retta $r$.

Un raggio laser parte dal punto $P(1, -2, 3)$ e si dirige verso uno specchio piano rappresentato dall'equazione $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. Il raggio si riflette sullo specchio secondo le leggi della riflessione ottica (il raggio incidente, la normale al piano nel punto di incidenza e il raggio riflesso giacciono nello stesso piano, e gli angoli di incidenza e di riflessione sono uguali).

Determina:

1. a) le coordinate del punto di incidenza $Q$, sapendo che il raggio incidente è perpendicolare al piano $\pi$.
2. b) l'equazione della retta che contiene il raggio riflesso se, invece di essere perpendicolare, il raggio partisse da $P$ e incidesse sul piano nel punto $A(1, 0, 3)$.
3. c) Giustifica con un ragionamento la relazione di parallelismo o perpendicolarità tra il raggio incidente del punto a) e il vettore normale del piano.

Nella progettazione di una struttura metallica per un festival musicale si devono collocare due travi rappresentate dalle rette:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$ e $s: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

Un ingegnere deve installare una terza trave di rinforzo, $t$, che soddisfi contemporaneamente:

1. Che sia perpendicolare alle travi $r$ e $s$.

2. Che passi per il punto di intersezione della retta $r$ con il piano $XY$.

Ottieni l'equazione della retta $t$ in forma continua e determina se esiste un punto in cui questa nuova trave $t$ interseca la trave $s$.

Date le rette $r$ e $s$ definite da:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ e $s: \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$

1. a) Calcola il valore del parametro $a$ affinché le rette $r$ e $s$ siano perpendicolari.
2. b) Per il valore di $a$ ottenuto, le rette sono incidenti o sghembe?
3. c) Trova l'equazione del piano parallelo a $s$ che contiene la retta $r$.

Considera il piano $\pi: x + y + z = 2$ e la famiglia di rette $r_m$ date da:

$r_m: \begin{cases} x - 2y + z = m \\ mx + y - z = 1 \end{cases}$

1. a) Trova il valore di $m$ affinché la retta $r_m$ sia parallela al piano $\pi$.
2. b) Per quel valore di $m$, studia se la retta è contenuta nel piano.
3. c) Calcola l'equazione di un piano $\pi'$ perpendicolare a $\pi$ e contenente la retta $r_m$ quando $m = 0$.

Trova l'equazione della retta $t$ che interseca perpendicolarmente le rette $r$ e $s$, essendo:

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{2}$ e $s: \begin{cases} x = 3 + 2\mu \\ y = 1 \\ z = \mu \end{cases}$

Questo esercizio richiede di determinare la direzione della «perpendicolare comune» e i piani ausiliari che permettono di individuare i punti di intersezione su ciascuna retta.

Dati i punti $A(1, 2, 3)$ e $B(3, 2, 1)$, si chiede di:

1. a) Determinare l'equazione del piano $\pi$ perpendicolare al segmento $AB$ e passante per il suo punto medio (piano assiale).
2. b) Data la retta $r: \begin{cases} x - y = 0 \\ z = 4 \end{cases}$, studia la sua posizione rispetto al piano $\pi$ trovato.
3. c) Trova un punto $C$ sulla retta $r$ in modo che il triangolo $ABC$ sia isoscele con il lato diverso $AB$.

Un'antenna per telecomunicazioni è collocata nel punto $A(5, 4, 3)$. Si vuole tendere un cavo d'acciaio perpendicolare a una parete laterale rappresentata dal piano $\pi: x + y = 10$.

1. a) Ottieni l'equazione della retta $r$ che contiene il cavo.
2. b) Il cavo deve essere ancorato a una guida metallica posta sulla parete, la cui equazione è la retta $s: \begin{cases} x + y = 10 \\ x - z = 2 \end{cases}$. Verifica se il cavo (retta $r$) e la guida (retta $s$) sono incidenti o sghembi.
3. c) Calcola la distanza minima tra il cavo e la guida se questi non si intersecassero.

In una sala espositiva a forma di parallelepipedo rettangolo di dimensioni $10 \times 6 \times 4$ metri, viene teso un cavo che unisce un vertice del pavimento con il punto medio dello spigolo superiore opposto. Un secondo cavo unisce il centro del soffitto con il punto medio dello spigolo verticale opposto a tale vertice.

1. a) Determina se esiste un punto in cui i cavi si toccano (rette incidenti) o se, al contrario, sono sghembi nello spazio senza toccarsi.
2. b) Esiste un piano parallelo a entrambi i cavi contemporaneamente? Giustifica la risposta basandoti sulle direzioni dei cavi.

In un lavoro di stabilizzazione geologica di una trincea ferroviaria (RFI), i topografi modellizzano la scarpata rocciosa mediante il piano $\pi: 2x - 2y + z - 6 = 0$ (in metri). Una perforatrice per ancoraggi avanza secondo la retta direttrice $r: \frac{x-4}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-8}{-2}$.

1. a) Dimostra che la perforazione non incide perpendicolarmente sulla scarpata e trova le coordinate del punto di impatto $P_0$ sulla roccia.
2. b) Per installare una fila di testimoni di monitoraggio nella roccia occorre tracciare la proiezione ortogonale della retta $r$ sulla scarpata $\pi$. Ottieni, motivando, l'equazione generale del piano proiettante di $r$ su $\pi$ e scrivi le equazioni della traiettoria proiettata come intersezione di due piani. Spiega il significato fisico di questa retta proiettata in relazione all'ombra che proietterebbe l'asta di perforazione se fosse illuminata da una sorgente lontana orientata perpendicolarmente alla superficie della scarpata.

Si cerca un piano incognito $\pi$ che passa per l'origine del sistema di coordinate $O(0, 0, 0)$ e soddisfa contemporaneamente due condizioni geometriche:

• Condizione 1: il piano $\pi$ è perpendicolare al piano $\pi_1: x - y + 2z - 1 = 0$.

• Condizione 2: la proiezione ortogonale della retta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{0}$ sul piano $\pi$ si riduce a un unico punto.

1. a) Partendo esclusivamente dalla Condizione 2, deduci con un ragionamento la direzione del vettore normale $\vec{n}_\pi$ del piano cercato, senza calcolare piani proiettanti.
2. b) Verifica se la Condizione 1 è compatibile con la direzione dedotta nel punto a). In caso affermativo, scrivi l'equazione generale del piano $\pi$; in caso negativo, spiega con un ragionamento quale impossibilità geometrica si verificherebbe.
3. c) Ottieni le equazioni continue di una retta $s$ che passi per il punto $A(2, 3, -1)$ e sia parallela contemporaneamente a entrambi i piani, $\pi$ e $\pi_1$. Giustifica perché il vettore direttore di $s$ deve coincidere con la direzione della retta di intersezione tra $\pi$ e $\pi_1$.