Esercizi: Luoghi geometrici nello spazio

Dati i punti $A(2, -1, 3)$ e $B(4, 3, -1)$:

1. a) Imposta la condizione $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ per un punto generico $X(x, y, z)$.
2. b) Semplifica l'equazione ottenuta fino a ricavare l'equazione del piano assiale del segmento $AB$.
3. c) Verifica che il punto medio di $AB$ appartiene a tale piano.

1. a) Determina l'equazione del luogo geometrico dei punti dello spazio che distano $5$ unità dal punto $C(1, -2, 0)$.
2. b) Di quale superficie si tratta? Indica il suo centro e il suo raggio.
3. c) Stabilisci, senza disegnare, se il punto $P(4, 2, 0)$ appartiene a tale superficie.

Uno studente, Marco, deve risolvere il seguente esercizio: «Determina il luogo geometrico dei punti $X(x, y, z)$ dello spazio equidistanti dai piani $\pi_1: 2x - y + 2z - 3 = 0$ e $\pi_2: 3x + 4z - 5 = 0$». Marco scrive nel suo compito:

«Imposto la condizione metrica $\text{dist}(X, \pi_1) = \text{dist}(X, \pi_2)$, quindi uguaglio direttamente i valori assoluti: $|2x - y + 2z - 3| = |3x + 4z - 5|$. Eliminando le barre del valore assoluto ottengo $2x - y + 2z - 3 = 3x + 4z - 5$, da cui si deduce $-x - y - 2z + 2 = 0$. Pertanto, il luogo geometrico cercato è il piano $x + y + 2z - 2 = 0$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due gravi errori concettuali commessi da Marco nel suo ragionamento.
2. b) Correggi l'esercizio sviluppando in modo adeguato l'uguaglianza metrica fino a ottenere le equazioni generali dei due piani bisettori, $\sigma_1$ e $\sigma_2$, che costituiscono la soluzione completa.
3. c) Dimostra analiticamente, mediante il prodotto scalare dei loro vettori normali, che i due piani bisettori ottenuti sono perpendicolari tra loro, come prevede la teoria geometrica.

Il piano assiale di un segmento $AB$ è $\pi: x - 2y + z - 3 = 0$. Uno degli estremi del segmento è il punto $A(0, 3, 3)$. Si vuole ricostruire la posizione dell'altro estremo $B$ risolvendo il problema in modo inverso:

1. a) Giustifica, a partire dalla definizione geometrica di piano assiale, quale deve essere un vettore direzione della retta che unisce $A$ e $B$, e quale posizione reciproca ha tale retta rispetto al piano $\pi$.
2. b) Scrivi le equazioni parametriche della retta perpendicolare a $\pi$ passante per il punto $A$.
3. c) Calcola le coordinate del punto $M$ in cui tale retta interseca il piano $\pi$. Che significato geometrico ha $M$ rispetto al segmento $AB$?
4. d) Determina con ragionamento le coordinate dell'estremo $B$ e verifica che vale $\text{dist}(A, M) = \text{dist}(B, M)$.

Trova il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti dai piani $\pi: 2x - y + 2z - 3 = 0$ e $\pi': x + 2y - 2z + 1 = 0$.

1. a) Imposta la condizione $\text{dist}(X, \pi) = \text{dist}(X, \pi')$ usando la formula della distanza punto-piano.
2. b) Risolvi l'equazione con valore assoluto distinguendo i due casi possibili e scrivi le equazioni dei piani risultanti (piani bisettori).
3. c) Verifica che i due piani ottenuti sono perpendicolari tra loro.

Dati i punti $A(1, 0, 2)$ e $B(3, 4, -2)$, si cerca il luogo geometrico dei punti $X$ dello spazio tali che il triangolo $ABX$ è rettangolo in $X$, cioè i segmenti $AX$ e $BX$ sono perpendicolari, come illustrato in figura.

1. a) Esprimi la condizione di perpendicolarità mediante il prodotto scalare $\vv{XA} \cdot \vv{XB} = 0$.
2. b) Sviluppa la condizione fino a ottenere un'equazione in $x$, $y$, $z$ e riscrivila completando i quadrati.
3. c) Identifica la superficie ottenuta: che relazione hanno il suo centro e il suo raggio con il segmento $AB$? (È la versione spaziale del teorema di Talete.)

1. a) Giustifica che la distanza di un punto generico $X(x, y, z)$ dall'asse $OZ$ è $\sqrt{x^2 + y^2}$.
2. b) Trova l'equazione del luogo geometrico dei punti che distano $3$ unità dall'asse $OZ$ e identifica la superficie che si ottiene.
3. c) Quale figura forma l'intersezione di tale superficie con il piano $z = 2$? E con il piano $y = 0$?

Si considerano i punti $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 2)$. Si vuole determinare la retta $r$ formata da tutti i punti dello spazio equidistanti contemporaneamente da $A$, $B$ e $C$. Due studenti propongono due strategie diverse:

• Strategia A (analitica): Impostare le uguaglianze di distanze $\text{dist}(X, A)^2 = \text{dist}(X, B)^2$ e $\text{dist}(X, B)^2 = \text{dist}(X, C)^2$ per ottenere due piani assiali e ricavare la retta come loro intersezione.

• Strategia B (sintetico-vettoriale): Trovare il piano $\pi$ che contiene $A$, $B$ e $C$, dedurre il vettore direttore di $r$ dalla perpendicolarità con $\pi$, e determinare il circocentro del triangolo $ABC$ come punto di passaggio sfruttando la simmetria del problema.

1. a) Applica la Strategia A: sviluppa algebricamente le due equazioni delle distanze, scrivi le equazioni generali dei due piani assiali e ricava le equazioni cartesiane o parametriche della retta $r$.
2. b) Applica la Strategia B: determina l'equazione del piano $\pi$ passante per $A$, $B$ e $C$, deduci con ragionamento le coordinate del suo circocentro $G$ e scrivi direttamente la retta $r$ usando un punto e il suo vettore direzione.
3. c) Confronta i due percorsi: quale risulta più economico in termini di calcoli per questo caso simmetrico? In quali circostanze (per esempio, se i punti non presentassero simmetrie evidenti) consiglieresti di usare la Strategia A rispetto alla B?

In una zona boschiva delle Alpi viene installata una torre di avvistamento verticale che coincide con l'asse $OZ$, dove il terreno pianeggiante è modellizzato dal piano coordinato $z = 0$ (le coordinate sono espresse in ettometri, in modo che $1\text{ unità} = 100\text{ m}$).

Per motivi di sicurezza, la normativa stabilisce un perimetro di esclusione cilindrico di raggio $R = 2\text{ hm}$ ($200\text{ m}$) intorno alla torre. Inoltre, sulla superficie del terreno si trovano due sensori sismici nei punti $A(3, 1, 0)$ e $B(1, 3, 0)$.

1. a) Modellizza analiticamente il luogo geometrico che definisce la superficie cilindrica limite della zona di esclusione intorno all'asse $OZ$.
2. b) Un drone da ispezione segue una traiettoria rettilinea parametrizzata da $X(t) = (2 - t, \, t, \, 1)$, con $t \in \mathbb{R}$. Imposta la condizione sulla distanza dall'asse $OZ$ per verificare se il drone invade la zona di esclusione. In caso affermativo, calcola gli istanti $t$ e i punti dello spazio di ingresso e di uscita.
3. c) Un secondo drone di sorveglianza deve spostarsi mantenendosi sempre alla stessa distanza dal sensore $A$ e dal sensore $B$. Determina l'equazione generale del piano in cui è obbligato a volare. Questo piano contiene la torre di avvistamento (asse $OZ$)? Motiva la risposta interpretando geometricamente il risultato.

Due boe sonar sono installate sul fondo di un porto, nei punti $A(0, 0, 0)$ e $B(6, 2, 4)$ (coordinate in ettometri). Un sommergibile riceve il segnale di entrambe con la stessa intensità, il che significa che è equidistante dalle due boe, come suggerisce la figura.

1. a) Imposta la condizione $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ per un punto generico $X(x, y, z)$ e dimostra che il luogo geometrico delle posizioni del sommergibile è un piano, trovandone l'equazione.
2. b) Un sommergibile si trova nel punto $P(4, 2, 1)$. Riceve i due segnali con la stessa intensità? Da quale boa è più vicino?
3. c) Interpreta il piano ottenuto come «confine di copertura» tra le due boe.

Tre sensori sismici sono collocati nei punti $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ e $C(0, 2, 0)$. Si vuole installare un'antenna equidistante dai tre.

1. a) Trova il piano assiale del segmento $AB$.
2. b) Trova il piano assiale del segmento $AC$.
3. c) Deduci che il luogo geometrico dei punti equidistanti da $A$, $B$ e $C$ è una retta, e scrivine le equazioni parametriche. Come è tale retta rispetto al piano che contiene i tre sensori?

Indica se le seguenti affermazioni sui luoghi geometrici nello spazio sono vere o false, giustificando ciascuna risposta:

1. a) «Il luogo geometrico dei punti equidistanti da due piani paralleli distinti è un unico piano, parallelo a entrambi e situato alla stessa distanza da ciascuno.»
2. b) «Il luogo geometrico dei punti equidistanti da due piani incidenti è un unico piano.»
3. c) «Il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre assi coordinati è un'unica retta.»

Si considerano i piani $\pi_1: x + z = 0$ e $\pi_2: y + z = 0$, che determinano quattro angoli diedri nello spazio.

1. a) Stima prima di calcolare:

1. Osserva che le equazioni di $\pi_1$ e $\pi_2$ sono formalmente simmetriche scambiando le variabili $x$ e $y$. Basandoti esclusivamente su questa simmetria geometrica, stima con un ragionamento l'equazione implicita di uno dei piani bisettori senza sviluppare la formula delle distanze.

2. In base alle proprietà dei piani bisettori di due piani incidenti, quale angolo devono formare tra loro i due bisettori risultanti?

1. b) Calcola:

1. Imposta in modo rigoroso la condizione metrica $\text{dist}(X, \pi_1) = \text{dist}(X, \pi_2)$ per un punto generico $X(x, y, z)$ e deduci le equazioni generali di entrambi i piani bisettori, $\sigma_1$ e $\sigma_2$.

2. Verifica se il piano che hai stimato nel punto precedente coincide con uno di quelli calcolati.

3. Verifica mediante il prodotto scalare dei loro vettori normali che $\sigma_1$ e $\sigma_2$ sono rigorosamente perpendicolari.

1. c) Verifica e valuta:

Considera la retta $r$ lungo cui si intersecano i due piani originali $\pi_1$ e $\pi_2$.

1. Spiega se tale retta di intersezione $r$ debba essere geometricamente contenuta in entrambi i piani bisettori contemporaneamente.

2. Trova le equazioni della retta $r$ e verifica algebricamente se tutti i suoi punti soddisfano le equazioni di $\sigma_1$ e $\sigma_2$. Valuta la coerenza del risultato con la struttura spaziale degli angoli diedri.

Il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti contemporaneamente da tre punti $A$, $B$ e $C$ è la retta:

Si sa che i tre punti appartengono al piano coordinato orizzontale $\pi: z = 0$. Inoltre, il punto $A$ è l'origine del sistema di coordinate, $A(0, 0, 0)$, e il punto $B$ si trova sul semiasse positivo delle ascisse, $B(b, 0, 0)$ con $b > 0$.

1. a) Spiega la relazione geometrica tra la retta $r$, il piano $\pi$ che contiene i punti e il circocentro del triangolo $ABC$. Da tale proprietà, deduci senza calcolare prima i piani assiali le coordinate del circocentro $K$ del triangolo.
2. b) Poiché la retta $r$ è l'intersezione dei piani assiali del triangolo, deduci con un ragionamento l'equazione del piano assiale del segmento $AB$ e determina il valore esatto della coordinata $b$ del punto $B$.
3. c) Anche il terzo vertice $C(x_0, y_0, 0)$ si trova nel piano $z = 0$. Dimostra che la posizione di $C$ non è unica: deduci l'equazione del luogo geometrico nel piano $z = 0$ su cui deve trovarsi $C$ affinché l'enunciato sia soddisfatto, e precisa quali punti concreti di tale luogo devono essere necessariamente esclusi affinché esista il triangolo $ABC$.
4. d) Scegli delle coordinate intere per $C$ con $y_0 \neq 0$ che appartengano al luogo ottenuto nel punto precedente. Per un punto generico della retta, $P(1, 2, \lambda)$ con $\lambda \in \mathbb{R}$, verifica algebricamente che l'uguaglianza $\text{dist}(P, A) = \text{dist}(P, B) = \text{dist}(P, C)$ è soddisfatta con assoluta esattezza.

Sfida del tema. Progetta l'installazione ottimale di un faretto e di un pannello riflettente nella tua camera mediante la geometria metrica 3D.

1. Rilevazione di misure reali: Stabilisci un sistema di riferimento fissando l'origine $(0,0,0)$ in un angolo del pavimento. Misura in metri (con precisione al centimetro, usando la virgola decimale) le dimensioni della tua stanza e individua le coordinate del faretto $F$, di due angoli della tua scrivania e del piano $\pi$ che conterrà il pannello riflettente.

2. Risoluzione analitica e GeoGebra 3D: Modellizza lo spazio in GeoGebra e calcola:

3. L'angolo tra il fascio di luce (retta $r$) e il pannello $\pi$.

4. La proiezione ortogonale del faretto sul piano della scrivania e il suo punto simmetrico rispetto alla parete principale.

5. La distanza minima tra due canaline per cavi sghembe mediante la perpendicolare comune.

6. L'equazione del luogo geometrico dei punti del pavimento equidistanti da un punto di riferimento della scrivania e da uno della porta (retta intersezione del piano assiale con il pavimento).

7. Relazione tecnica finale: Consegna una proposta argomentata (1-2 pagine) con la vista 3D di GeoGebra, la discussione di parallelismo/perpendicolarità applicata e gli sviluppi analitici completi.

Sarà oggetto di valutazione:

• Precisione nella rilevazione dei dati reali e coerenza del modello in GeoGebra.

• Correttezza algebrica nel calcolo di angoli, distanze, simmetrie e luoghi geometrici.

• Giustificazione geometrica delle scelte progettuali nella relazione.