Esercizi: Esercizi sul prodotto scalare

Calcola il prodotto scalare dei vettori $\vec{u} = (3, -2)$ e $\vec{v} = (-1, 5)$.

Sapendo che i moduli di due vettori sono $|\vec{a}| = 4$ e $|\vec{b}| = 6$ e che l'angolo da essi formato è $60^\circ$, determina il loro prodotto scalare.

Trova il modulo del vettore $\vec{w} = (-5, 12)$.

Stabilisci, giustificando la risposta con un'operazione matematica, se i vettori $\vec{p} = (4, 6)$ e $\vec{q} = (-3, 2)$ sono ortogonali.

Calcola il valore del parametro $k$ affinché i vettori $\vec{u} = (k, 3)$ e $\vec{v} = (2, -4)$ siano perpendicolari.

Calcola l'angolo formato dai vettori $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ e $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Trova le coordinate di un vettore perpendicolare a $\vec{v} = (-7, 2)$ e avente esattamente il suo stesso modulo.

Calcola la distanza tra i punti $A(2, -1)$ e $B(5, 3)$ determinando prima le componenti del vettore $\vec{AB}$.

Lucia vuole trovare un vettore perpendicolare a $\vec{u} = (4, -3)$ che abbia esattamente il suo stesso modulo. Nel suo compito scrive: «Perché due vettori siano perpendicolari basta cambiare il segno delle loro coordinate, quindi il vettore cercato è $\vec{v} = (-4, 3)$».\na) Spiega in dettaglio l'errore concettuale di Lucia calcolando il prodotto scalare $\vec{u} \cdot \vec{v}$ e indica quale relazione geometrica esiste in realtà tra $\vec{u}$ e $\vec{v}$.\nb) Scrivi le componenti dei due vettori che sono effettivamente perpendicolari a $\vec{u}$ e hanno il suo stesso modulo, dimostrando mediante il prodotto scalare perché la regola della rotazione delle componenti $(-u_2, u_1)$ garantisce la perpendicolarità.

Determina le componenti di un vettore $\vec{w}$ che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:\n1) È perpendicolare al vettore $\vec{u} = (3, -4)$.\n2) La sua prima componente (ascissa) è strettamente positiva.\n3) Il suo modulo è esattamente $15$.\nPer risolverlo, ricava prima un versore perpendicolare a $\vec{u}$ e spiega come trasformarlo affinché raggiunga il modulo richiesto senza modificarne direzione né verso.

In fisica, il lavoro $W$ compiuto da una forza costante $\vec{F}$ nello spostare un oggetto lungo un vettore spostamento $\vec{d}$ si calcola mediante il prodotto scalare $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Se una gru applica una forza $\vec{F} = (150, -40)$ newton per spostare un container dal punto $A(2, 5)$ al punto $B(12, 5)$ (coordinate espresse in metri), calcola il lavoro totale compiuto.

Calcola il vettore proiezione ortogonale del vettore $\vec{u} = (4, -3)$ sul vettore $\vec{v} = (1, 2)$.

Determina i possibili valori del parametro $m$ affinché i vettori $\vec{u} = (m, 1)$ e $\vec{v} = (2, m)$ formino un angolo di $30^\circ$.

Nel motore fisico di un videogioco, un personaggio situato nella coordinata $P(10, 15)$ deve sparare un proiettile nella direzione del vettore $\vec{d} = (3, -4)$ a una velocità costante di $20$ unità di distanza per fotogramma. Determina il vettore velocità $\vec{v}$ esatto del proiettile, sapendo che deve avere la stessa direzione e lo stesso verso di $\vec{d}$ ma modulo $20$.

Trova le coordinate di un vettore $\vec{w} = (x, y)$ sapendo che il suo modulo è $\sqrt{13}$ e che il suo prodotto scalare con il vettore $\vec{v} = (2, 3)$ dà come risultato $13$.

Verifica, utilizzando esclusivamente il prodotto scalare, se il triangolo definito dai vertici $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ e $C(3, -1)$ è un triangolo rettangolo. In caso affermativo, indica in quale vertice si trova l'angolo retto.

Dati i vettori $\vec{a} = (3, -1)$ e $\vec{b} = (1, 3)$, esprimi il vettore $\vec{c} = (7, 1)$ come combinazione lineare di $\vec{a}$ e $\vec{b}$. Una volta risolto, calcola il prodotto scalare di $\vec{a}$ e $\vec{b}$ e interpreta geometricamente il risultato.

Per stabilizzare il palo di un'antenna per telecomunicazioni, si tendono due cavi ancorati nello stesso punto del palo e fissati al suolo. I vettori che rappresentano la direzione dei cavi dall'ancoraggio superiore verso il suolo sono $\vec{T_1} = (-4, -5)$ e $\vec{T_2} = (6, -3)$. Calcola l'angolo di separazione formato dai due cavi nel punto di ancoraggio superiore.

Per verificare se il triangolo di vertici $A(1, 2)$, $B(5, 5)$ e $C(-2, 6)$ è rettangolo, due compagni di classe propongono strategie diverse:\n- Irene propone di calcolare i vettori dei lati che condividono ciascun vertice e di verificare se il prodotto scalare di qualche coppia di essi è uguale a $0$.\n- Davide propone di calcolare la lunghezza dei tre lati mediante le distanze tra punti e di verificare se le misure ottenute soddisfano il teorema di Pitagora ($a^2 + b^2 = c^2$).\na) Applica il metodo di Irene calcolando i vettori corrispondenti e determina in quale vertice si trova l'angolo retto, se esiste.\nb) Analizza e giustifica quale dei due metodi è più vantaggioso in geometria analitica, considerando il numero di operazioni richieste e la gestione delle radici quadrate.

In un parco eolico della Puglia, i tecnici monitorano lo spostamento di un carrello di manutenzione lungo una guida rettilinea dal punto $A(1, 4)$ al punto $B(7, 12)$, con coordinate espresse in metri. Durante questo tragitto, il vento esercita sul carrello una forza costante registrata dai sensori come $\vec{F} = (80, -30)$ newton.\na) Determina il vettore spostamento $\vec{d} = \vec{AB}$ e calcola il lavoro meccanico $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ esercitato dal vento.\nb) Interpreta il segno del lavoro ottenuto: il vento favorisce o ostacola l'avanzamento del carrello?\nc) Calcola l'angolo $\alpha$ formato dal vettore forza $\vec{F}$ e dal vettore spostamento $\vec{d}$ (arrotondando ai decimi di grado) e giustifica se tale angolo è coerente con la tua interpretazione del segno del lavoro.

Dei vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sappiamo che $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ e che formano un angolo di $120^\circ$. Applicando le proprietà del prodotto scalare, calcola il valore esatto dell'espressione $(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$.

Un braccio robotico industriale si muove in un piano bidimensionale. La sua pinza si trova inizialmente nel punto $P(2, 5)$ e deve muoversi in linea retta fino a un punto $Q$ situato su un nastro trasportatore, la cui traiettoria è definita dalla retta $x - 2y + 4 = 0$. Se il vettore spostamento $\vec{PQ}$ deve essere ortogonale alla direzione del nastro trasportatore, determina le coordinate esatte del punto $Q$.

Dimostra in forma vettoriale, utilizzando le proprietà del prodotto scalare, che le diagonali di un qualsiasi rombo si intersecano perpendicolarmente. A tal fine, considera un rombo generato da due vettori liberi $\vec{u}$ e $\vec{v}$ che partono dallo stesso vertice e tali che $|\vec{u}| = |\vec{v}|$.

Trova le coordinate di tutti i vettori $\vec{a} = (x, y)$ che formano un angolo esatto di $45^\circ$ con il vettore $\vec{b} = (2, -2)$ e il cui modulo sia esattamente la metà del modulo di $\vec{b}$.

Nell'installazione di un pannello solare, il vettore normale (perpendicolare alla superficie del pannello) è dato da $\vec{n} = (k, \sqrt{3})$. I raggi del sole incidono sul pannello secondo il vettore $\vec{s} = (1, -1)$. Calcola il valore positivo del parametro $k$ affinché l'angolo di incidenza (l'angolo formato dal vettore normale $\vec{n}$ e dal vettore opposto ai raggi del sole $-\vec{s}$) sia di $60^\circ$.

Dati i punti $A(-2, 1)$ e $B(4, 5)$, trova le coordinate di un punto $C$ situato sull'asse delle ascisse in modo che il triangolo $ABC$ sia rettangolo con l'angolo retto nel vertice $C$. Quante soluzioni possibili esistono per il punto $C$?

Sapendo che $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sono due versori, determina l'angolo che devono formare tra loro affinché il vettore somma $\vec{u} + \vec{v}$ abbia modulo uguale a $\sqrt{3}$.

Calcola l'area esatta del triangolo determinato dai vertici $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ e $C(3, 6)$. A tal fine, utilizza la proiezione ortogonale del vettore $\vec{AC}$ sul vettore $\vec{AB}$ per determinare l'altezza del triangolo, e il modulo di $\vec{AB}$ come base.

Si considerano i vettori fissi del piano $\vec{u} = (1, 5)$ e $\vec{v} = (2, 1)$. Per ogni valore del parametro reale $t$, si definisce il vettore combinato $\vec{w}(t) = \vec{u} + t\vec{v}$. Si cerca il valore esatto di $t$ per cui $\vec{w}(t)$ risulta perpendicolare a $\vec{v}$.\na) Prima di calcolare, fai una stima qualitativa motivata: disegna la posizione relativa di $\vec{u}$ e $\vec{v}$ nel primo quadrante. Dato che formano un angolo acuto, il parametro $t$ deve essere positivo o negativo affinché la combinazione lineare abbia una direzione ortogonale a $\vec{v}$? Stima, motivando, tra quali due numeri interi consecutivi deve trovarsi $t$.\nb) Imposta la condizione algebrica mediante il prodotto scalare $\vec{w}(t) \cdot \vec{v} = 0$ e trova il valore esatto di $t$.\nc) Verifica se il risultato numerico conferma la tua stima precedente e spiega geometricamente perché questo vettore $\vec{w}(t)$ rappresenta il segmento di lunghezza minima che unisce l'estremo di $\vec{u}$ con la retta che contiene $\vec{v}$.

Nello spazio aereo vicino a Roma-Fiumicino, la traiettoria di partenza di un aeromobile segue il vettore direzione $\vec{d} = (12, 5)$ in miglia nautiche. Per motivi di separazione del traffico, si deve programmare una manovra di fuga descritta da un vettore $\vec{v} = (x, y)$ che soddisfi contemporaneamente tre condizioni:\n1) Deve essere strettamente perpendicolare alla traiettoria $\vec{d}$.\n2) Il suo modulo deve essere esattamente di $39$ miglia nautiche.\n3) Deve avere una componente a favore del vento dominante $\vec{w} = (1, 2)$, il che richiede che $\vec{v} \cdot \vec{w} > 0$.\na) Determina le componenti cartesiane esatte del vettore di fuga $\vec{v}$ dopo aver valutato quale dei due orientamenti perpendicolari possibili soddisfa la restrizione imposta dal vento.\nb) Dimostra analiticamente che, per qualsiasi vettore generico non nullo $\vec{u} = (u_1, u_2)$, i due soli vettori perpendicolari ad esso che hanno un modulo fissato $m > 0$ sono dati dall'espressione $\vec{p} = \pm m \cdot \dfrac{(-u_2, u_1)}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}}$, giustificando ogni passaggio a partire dal prodotto scalare e dal concetto di versore.

Sfida del tema. Come orientare un pannello solare per massimizzare l'energia captata nella tua località?

1. Raccolta dei dati: Consulta il sito dell'Aeronautica Militare o di PVGIS e rileva l'altezza e l'azimut del Sole nel tuo comune in quattro momenti di una giornata soleggiata. Scrivi le coordinate del versore solare $\vec{s}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ per ciascun istante misurato.

2. Modellizzazione con il prodotto scalare: Definisci il versore perpendicolare al pannello $\vec{n}$, dipendente dall'angolo di inclinazione $\theta$. La potenza relativa captata è data dal prodotto scalare $P(\theta) = \vec{s} \cdot \vec{n} = |\vec{s}| |\vec{n}| \cos(\alpha)$ (se risulta negativo, il Sole è dietro il pannello e si pone $P = 0$). Inserisci i dati in GeoGebra o in un foglio di calcolo e calcola $P(\theta)$ per diversi angoli (con incrementi di $5^\circ$ o $0,1$ rad).

3. Ottimizzazione con le derivate: Modellizza la funzione dell'energia totale captata in funzione dell'angolo $\theta$, $E(\theta)$. Applica le derivate: trova il tasso di variazione istantaneo $E'(\theta)$ e individua l'angolo ottimale risolvendo $E'(\theta) = 0$.

Consegna una breve relazione tecnica con i tuoi dati, la tabella dei valori, le derivate calcolate e la tua proposta motivata di inclinazione.

Verranno valutati:

• Precisione nel ricavare i dati reali e nel formulare i vettori direttori.

• Applicazione rigorosa del prodotto scalare per modellizzare l'energia proiettata.

• Abilità nel calcolo e nell'interpretazione geometrica delle derivate per ottimizzare l'angolo.

• Chiarezza e giustificazione formale nella relazione finale.