Esercizi: L'equazione d'onda e il suo legame con il MAS

In un laboratorio si genera in una corda tesa un'onda trasversale la cui equazione, in unità del Sistema Internazionale, è $y(x, t) = 0,05 \cdot \sen(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$. La figura mostra il profilo della corda in un istante.

1. a) Indica i valori dell'ampiezza $A$, del numero d'onda $k$ e della pulsazione $\omega$.
2. b) Ragiona, a partire dal segno che accompagna il termine in $t$ all'interno della fase, in quale verso dell'asse $x$ si propaga l'onda.

Un diapason vibra e genera nell'aria un'onda armonica di pulsazione $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcola il suo periodo $T$, ricordando che $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$.
2. b) Calcola la sua frequenza $f$, in $\text{Hz}$.

In una vasca per onde del laboratorio si generano onde sulla superficie dell'acqua con un numero d'onda $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$. La figura mostra il profilo della superficie in un istante.

1. a) Calcola la lunghezza d'onda $\lambda$, ricordando che $\lambda = \frac{2 \cdot \pi}{k}$.
2. b) Spiega con parole tue che cosa rappresenta fisicamente la lunghezza d'onda osservando il profilo della superficie.

L'orecchio umano percepisce suoni tra $20\ \text{Hz}$ e $20\ \text{kHz}$, e il suono viaggia nell'aria a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la lunghezza d'onda del suono più grave che possiamo udire usando $v = \lambda \cdot f$.
2. b) Calcola la lunghezza d'onda del suono più acuto che possiamo udire, esprimendo prima $20\ \text{kHz}$ in hertz.
3. c) Ragiona, alla luce dei risultati, come varia la lunghezza d'onda quando aumenta la frequenza se la velocità non cambia.

L'equazione $y(x, t) = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$ descrive una perturbazione doppiamente periodica: nel tempo e nello spazio. I due grafici della figura rappresentano questa doppia periodicità.

1. a) Se scegliamo un punto fisso del mezzo (fissiamo $x$), con quale periodo oscilla? Esprimilo in funzione di $\omega$.
2. b) Se osserviamo il profilo della perturbazione in un istante fisso (fissiamo $t$), ogni quale distanza si ripete? Esprimilo in funzione di $k$.
3. c) Spiega, a partire da quanto sopra, perché si dice che il moto ondulatorio combina un'oscillazione nel tempo con una periodicità nello spazio.

Lungo una molla a spirale tesa si propaga un'onda longitudinale la cui equazione, in unità del Sistema Internazionale, è $y(x, t) = 0,04 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcola la sua frequenza $f$ e il suo periodo $T$.
2. b) Calcola la sua lunghezza d'onda $\lambda$.
3. c) Calcola la sua velocità di propagazione usando $v = \frac{\omega}{k}$.

Quando un'onda armonica attraversa un mezzo, ogni punto del mezzo oscilla con un moto armonico semplice (MAS).

1. a) Indica quali grandezze del MAS di ciascun punto coincidono con quelle dell'onda: pensa all'ampiezza e alla frequenza.
2. b) Indica quale grandezza distingue l'oscillazione di un punto vicino alla sorgente da quella di un punto più lontano.
3. c) Spiega la differenza tra la velocità di oscillazione di un punto del mezzo e la velocità di propagazione dell'onda.

Un'onda trasversale viaggia lungo una corda secondo l'equazione, in unità del Sistema Internazionale, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sen(5 \cdot x + 20 \cdot t)$.

1. a) Determina in quale verso dell'asse $x$ si propaga l'onda e giustificalo a partire dal segno della fase.
2. b) Calcola la sua velocità di propagazione a partire da $k$ e $\omega$.
3. c) Riscrivi l'equazione cambiando lo stretto necessario perché l'onda viaggiasse nel verso positivo dell'asse.

Una boa oceanografica registra il passaggio di un treno d'onde di ampiezza $1,5\ \text{m}$ e periodo $T = 4\ \text{s}$; la distanza tra due creste consecutive è di $25\ \text{m}$. La figura rappresenta il profilo delle onde.

1. a) Calcola la pulsazione $\omega$ e il numero d'onda $k$.
2. b) Calcola la velocità di propagazione delle onde usando $v = \lambda \cdot f$.
3. c) Scrivi l'equazione d'onda supponendo fase iniziale nulla e propagazione nel verso positivo dell'asse $x$.

Lungo una corda si propaga un'onda armonica la cui equazione, in unità del Sistema Internazionale, è $y(x, t) = 0,02 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot x - 200 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcola l'elongazione del punto situato in $x = 0,5\ \text{m}$ all'istante $t = 0,01\ \text{s}$.
2. b) Indica qual è l'elongazione massima che può raggiungere quel punto e spiega se dipende dal punto scelto.
3. c) Calcola il periodo con cui oscilla quel punto.

Per studiare la fase di un'onda sonora di $f = 85\ \text{Hz}$ che si propaga nell'aria a $340\ \text{m/s}$ si collocano due microfoni allineati con l'altoparlante che la emette, come mostrato in figura.

1. a) Calcola la lunghezza d'onda del suono.
2. b) Calcola la differenza di fase tra le oscillazioni di due punti distanti $1\ \text{m}$, usando $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Infine i microfoni vengono posti a distanza $2\ \text{m}$: calcola il nuovo sfasamento e spiega se in questo caso i punti oscillano in fase o in opposizione di fase.

In una prospezione geologica si genera un'onda sismica armonica di ampiezza $0,01\ \text{m}$ e frequenza $f = 10\ \text{Hz}$ che si propaga nel terreno a $6000\ \text{m/s}$ nel verso positivo dell'asse $x$.

1. a) Calcola la sua lunghezza d'onda e il suo numero d'onda.
2. b) Calcola la sua pulsazione.
3. c) Scrivi la sua equazione d'onda sapendo che la fase iniziale è $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$.

Un punto al centro di una corda di violino oscilla con ampiezza $A = 5\cdot10^{-4}\ \text{m}$ quando la corda emette un la di $f = 440\ \text{Hz}$.

1. a) Calcola la pulsazione dell'oscillazione.
2. b) Sapendo che la velocità massima di oscillazione di un moto armonico semplice è $v_{max} = A \cdot \omega$, calcola la velocità massima di quel punto.
3. c) L'onda viaggia lungo la corda a $250\ \text{m/s}$: confronta questo valore con quello del punto precedente e spiega perché le due velocità sono così diverse anche se misurate sulla stessa corda.

Un generatore di ultrasuoni da laboratorio emette onde di $f = 40\ \text{kHz}$ che si propagano nell'aria a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Esprimi la frequenza in hertz e calcola la lunghezza d'onda, in metri e in millimetri.
2. b) Calcola il periodo ed esprimilo in secondi e in microsecondi ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
3. c) Spiega, sapendo che l'orecchio umano percepisce al massimo circa $20\ \text{kHz}$, perché nessuno sente il tono emesso dal generatore.

La fotografia istantanea di una corda mostra un profilo sinusoidale le cui creste si innalzano di $5\ \text{cm}$ rispetto alla posizione di equilibrio e distano tra loro $80\ \text{cm}$; la perturbazione avanza lungo la corda a $2\ \text{m/s}$. La figura mostra questa fotografia istantanea.

1. a) Determina l'ampiezza e la lunghezza d'onda a partire dalla descrizione della fotografia, esprimendole in metri.
2. b) Calcola la frequenza, il periodo, la pulsazione e il numero d'onda.
3. c) Scrivi l'equazione d'onda con fase iniziale nulla e propagazione nel verso positivo dell'asse $x$, con tutte le grandezze nelle unità del Sistema Internazionale.

Un'onda trasversale di ampiezza $0,04\ \text{m}$ e periodo $T = 0,5\ \text{s}$ si propaga lungo una corda a $8\ \text{m/s}$ nel verso negativo dell'asse $x$.

1. a) Calcola la sua pulsazione.
2. b) Calcola la sua lunghezza d'onda e il suo numero d'onda.
3. c) Scrivi la sua equazione d'onda con fase iniziale nulla, facendo attenzione al segno della fase affinché rappresenti il verso di propagazione indicato.

Lungo una corda da laboratorio viaggia un'onda armonica di $f = 50\ \text{Hz}$ a $200\ \text{m/s}$. In figura è rappresentato il profilo dell'onda con tre punti P, Q e R indicati.

1. a) Calcola la sua lunghezza d'onda.
2. b) Calcola la distanza minima tra due punti della corda che oscillano in fase e giustifica il risultato.
3. c) Calcola la distanza minima tra due punti che oscillano in opposizione di fase.
4. d) Determina lo sfasamento tra due punti distanti $3\ \text{m}$ e descrivi come oscilla uno rispetto all'altro.

Lungo una corda tesa si propaga nel verso positivo dell'asse $x$ un'onda trasversale di ampiezza $0,05\ \text{m}$, pulsazione $\omega = 20 \cdot \pi\ \text{rad/s}$ e velocità $10\ \text{m/s}$. All'istante $t = 0$ il punto nell'origine raggiunge la sua massima elongazione positiva.

1. a) Calcola il numero d'onda $k$.
2. b) Determina la fase iniziale $\varphi_0$ imponendo la condizione $y(0, 0) = A$.
3. c) Scrivi l'equazione d'onda completa.
4. d) Calcola l'elongazione del punto $x = 1\ \text{m}$ all'istante $t = 0,05\ \text{s}$ e spiega il segno del risultato.

Un cavo d'acciaio di un banco di prova per vibrazioni ha una densità lineare $\mu = 4\cdot10^{-3}\ \text{kg/m}$ ed è sottoposto a una tensione $T = 40\ \text{N}$; la velocità delle onde trasversali nel cavo è $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Si genera un'onda armonica di ampiezza $0,02\ \text{m}$ e frequenza $f = 100\ \text{Hz}$ che viaggia nel verso positivo dell'asse $x$ con fase iniziale nulla.

1. a) Calcola la velocità di propagazione dell'onda.
2. b) Calcola la lunghezza d'onda, il numero d'onda e la pulsazione.
3. c) Scrivi l'equazione d'onda.
4. d) Se si raddoppiasse la tensione mantenendo la stessa frequenza, calcola la nuova velocità e la nuova lunghezza d'onda, e spiega perché cambiano queste grandezze e non la frequenza.

In un canale per onde da laboratorio si propaga nel verso positivo dell'asse $x$ un'onda di ampiezza $0,1\ \text{m}$ e velocità $4\ \text{m/s}$. All'istante $t = 0$ il profilo della superficie, con le creste distanti $2\ \text{m}$, è dato da $y(x, 0) = 0,1 \cdot \sen(\pi \cdot x)$.

1. a) Determina $k$ e $\omega$ e scrivi l'equazione d'onda completa.
2. b) Esprimi l'elongazione del punto $x = 0,5\ \text{m}$ in funzione del tempo e spiega se subito dopo $t = 0$ quel punto sale o scende.
3. c) Verifica l'elongazione iniziale del punto $x = 1\ \text{m}$ e deduci in quale verso inizia a muoversi.

In un'ecografia si impiegano ultrasuoni di $f = 3,5\ \text{MHz}$ che si propagano nel tessuto molle a $1540\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la lunghezza d'onda in metri ed esprimila in millimetri.
2. b) L'eco riflesso da una struttura interna viene ricevuto $8\cdot10^{-5}\ \text{s}$ dopo l'emissione: tenendo conto che l'impulso percorre due volte questa distanza, calcola la profondità della struttura.
3. c) Spiega perché, per apprezzare dettagli di pochi millimetri, conviene lavorare con frequenze dell'ordine dei megahertz anziché con suoni udibili.

Un'onda armonica di $f = 2\ \text{Hz}$ e ampiezza $0,05\ \text{m}$ viaggia nel verso positivo dell'asse $x$ lungo una corda leggera a $6\ \text{m/s}$ e passa in una seconda corda più densa, unita alla prima, dove la sua velocità è $3\ \text{m/s}$. Nel passaggio di mezzo la frequenza si conserva. Osserva lo schema delle due corde unite:

1. a) Calcola la lunghezza d'onda in ciascuna corda.
2. b) Scrivi l'equazione d'onda in ciascuna delle corde, con fase iniziale nulla.
3. c) Indica quali grandezze si conservano e quali cambiano nel passaggio da una corda all'altra.
4. d) Spiega, pensando a come oscilla il punto di giunzione tra le due corde, perché la frequenza non può cambiare in quel punto.

Un'onda trasversale si propaga lungo una corda a $v = 50\ \text{m/s}$ con una frequenza di $25\ \text{Hz}$.

1. a) Deriva, a partire da $y = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$, l'espressione della velocità di oscillazione di un punto della corda e dimostra che il suo valore massimo è $A \cdot \omega$.
2. b) Calcola l'ampiezza che dovrebbe avere l'onda affinché la velocità massima di oscillazione dei punti uguagliasse la velocità di propagazione.
3. c) Spiega, indicando la direzione e il significato fisico di ciascuna, perché la velocità di oscillazione e la velocità di propagazione sono grandezze completamente diverse.

In una corda tesa si osserva che due punti distanti $1\ \text{m}$ oscillano sempre in fase.

1. a) Giustifica che la lunghezza d'onda può assumere solo i valori $\lambda = \frac{1}{n}\ \text{m}$, con $n = 1, 2, 3, \dots$
2. b) Se si sa inoltre che $\lambda > 0,4\ \text{m}$, determina tutti i valori possibili di $\lambda$.
3. c) La velocità di propagazione nella corda è $100\ \text{m/s}$: calcola la frequenza corrispondente a ciascun valore possibile.
4. d) Proponi una misura aggiuntiva che permetta di decidere quale dei valori è quello reale e giustifica la tua proposta.