Esercizi: Intensità e flusso nelle distribuzioni di carica

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie piana situata in un campo uniforme si definisce come $\Phi = E \cdot S \cdot \cos \alpha$. Osserva lo schema:

1. a) Identifica che cosa rappresenta ciascun simbolo della formula, compreso l'angolo $\alpha$.
2. b) Indica l'unità di misura del flusso nel Sistema Internazionale, costruendola a partire dalle unità di $E$ e di $S$.

Un campo elettrico uniforme $E = 500\ \text{N/C}$ attraversa perpendicolarmente una superficie piana di $0,2\ \text{m}^2$ (la normale alla superficie è parallela al campo, $\alpha = 0^\circ$). Calcola il flusso del campo attraverso la superficie.

Un foglio piano di $0,5\ \text{m}^2$ si trova all'interno di un campo elettrico uniforme $E = 300\ \text{N/C}$, orientato in modo che le linee di campo siano parallele al foglio. Osserva lo schema:

1. a) Quanto vale l'angolo $\alpha$ tra il campo e la normale al foglio?
2. b) Calcola il flusso attraverso il foglio e spiega, pensando alle linee di campo, perché si ottiene quel valore.

Un dipolo elettrico è un insieme di due cariche uguali e di segno opposto, $+q$ e $-q$, molto vicine tra loro; la molecola dell'acqua, per esempio, si comporta come un dipolo. Disegna sul quaderno le linee di campo di un dipolo.

1. a) Su quale carica nascono le linee di campo e su quale terminano?
2. b) Indica nel tuo disegno una zona in cui il campo è intenso e una in cui è debole, giustificandolo con la densità delle linee.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due cariche positive uguali sono vicine tra loro. Disegna sul quaderno le loro linee di campo.

1. a) Che cosa accade al campo totale nel punto medio del segmento che unisce le cariche? Collegalo all'aspetto del tuo disegno.
2. b) Due linee di campo possono incrociarsi in un punto? Spiega che cosa significherebbe un incrocio per il vettore $\vec{E}$ in quel punto.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un campo elettrico uniforme $E = 200\ \text{N/C}$ attraversa una superficie piana di $0,5\ \text{m}^2$ la cui normale forma un angolo di $60^\circ$ con il campo ($\cos 60^\circ = 0,5$). Calcola il flusso del campo attraverso la superficie.

Il teorema di Gauss afferma che il flusso netto del campo elettrico attraverso una superficie chiusa dipende soltanto dalla carica netta contenuta al suo interno. La figura mostra una carica esterna vicina a una superficie chiusa.

1. a) Se una superficie chiusa non racchiude nessuna carica, quanto vale il flusso netto attraverso di essa?
2. b) Significa che il campo elettrico è nullo in tutti i punti della superficie? Motiva la risposta considerando una carica puntiforme situata fuori dalla superficie, ma molto vicina ad essa.

Considera un dipolo formato dalle cariche $+q$ e $-q$, e questi punti dello spazio: quelli dell'asse che unisce le cariche (fuori dal segmento) e quelli dell'asse del segmento (la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio). Disegna sul quaderno i vettori campo di ciascuna carica in quei punti.

1. a) Spiega verso dove punta il campo totale in un punto dell'asse situato fuori dal segmento (analizza quale campo prevale e il suo verso).
2. b) Spiega verso dove punta il campo totale in un punto dell'asse del segmento (suggerimento: osserva quali componenti si annullano e quali si sommano).

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una scatola cubica di spigolo $a = 10\ \text{cm}$ è immersa in un campo elettrico uniforme $E = 3\cdot10^{3}\ \text{N/C}$, parallelo a uno dei suoi spigoli. La scatola non contiene nessuna carica. Osserva lo schema:

1. a) Calcola il flusso attraverso ciascuna delle sei facce del cubo, indicando il segno in ogni caso (convenzione: il flusso è positivo quando le linee escono dalla superficie chiusa e negativo quando entrano).
2. b) Calcola il flusso netto attraverso l'intera superficie del cubo e spiega, con il teorema di Gauss, perché ha quel valore.

Un dipolo è formato dalle cariche $q_1 = +1\ \text{nC}$ e $q_2 = -1\ \text{nC}$, separate da $20\ \text{cm}$ (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcola il campo (modulo, direzione e verso) creato da ciascuna carica nel punto medio del segmento che le unisce.
2. b) Calcola il campo totale in quel punto.
3. c) Confronta il risultato con il campo nel punto medio tra due cariche uguali dello stesso segno e spiega la differenza.

Un campo elettrico uniforme $E = 4\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ attraversa una superficie rettangolare di $30\ \text{cm}$ per $10\ \text{cm}$ la cui normale forma un angolo di $45^\circ$ con il campo ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).

1. a) Esprimi l'area della superficie in $\text{m}^2$.
2. b) Calcola il flusso del campo attraverso di essa.

Una carica puntiforme $Q = 6\ \text{nC}$ si trova all'interno di una superficie sferica (poni $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Applica il teorema di Gauss, $\Phi = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$, e calcola il flusso netto del campo attraverso la sfera.
2. b) Il risultato cambierebbe se la sfera avesse il raggio doppio? Giustificalo.

Due cariche $q_1 = +2\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ occupano i punti $(10, 0)$ e $(-10, 0)$, con le coordinate in centimetri (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). Si studia il punto $P(0, 10)$. La figura mostra la geometria della situazione.

1. a) Calcola la distanza di ciascuna carica dal punto $P$.
2. b) Calcola il modulo del campo creato da ciascuna carica in $P$.
3. c) Disegna i due vettori sul quaderno e spiega quali componenti si annullano a vicenda e quali si sommano.
4. d) Calcola il modulo del campo totale in $P$ e indica la sua direzione e il suo verso.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una carica puntiforme $Q = 4\ \text{nC}$ si trova fuori da una superficie sferica chiusa, a una certa distanza da essa (dati: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Quanto vale il flusso netto del campo attraverso la sfera? Applica il teorema di Gauss e giustifica il risultato.
2. b) Anche il campo elettrico è nullo nei punti della superficie? Spiega la differenza tra flusso netto e campo in ogni punto.
3. c) Calcola il campo creato da $Q$ nel punto della sfera più vicino ad essa, situato a $30\ \text{cm}$ dalla carica.

Una cornice quadrata di $0,1\ \text{m}^2$ può ruotare all'interno di un campo elettrico uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$. Si misura il flusso per diverse orientazioni ($\cos 30^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$).

1. a) Calcola il flusso quando la normale alla cornice forma con il campo gli angoli $\alpha = 0^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$ e $90^\circ$.
2. b) Descrivi come sarebbe il grafico del flusso in funzione di $\alpha$ tra $0^\circ$ e $180^\circ$ e spiega perché il flusso può risultare negativo.
3. c) Spiega che cosa significa fisicamente un flusso negativo, in termini di linee di campo.

Una carica $Q = 3\ \text{nC}$ è racchiusa all'interno di una superficie chiusa di forma irregolare (per esempio, la superficie di uno zaino), senza che la carica sia al centro (poni $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Calcola il flusso netto del campo attraverso la superficie.
2. b) Se la carica si sposta in un'altra posizione, sempre all'interno della superficie, il flusso netto cambia? E il flusso attraverso ciascuna porzione della superficie separatamente? Motiva entrambe le risposte.

Un dipolo è formato dalle cariche $q_1 = +2\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$, separate da $10\ \text{cm}$ (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Si studia un punto dell'asse del dipolo situato a $50\ \text{cm}$ dal suo centro, dalla parte della carica positiva.

1. a) Determina la distanza del punto da ciascuna delle cariche.
2. b) Calcola il campo (modulo e verso) creato da ciascuna carica in quel punto.
3. c) Calcola il campo totale e indica il suo verso.
4. d) I due campi quasi si annullano, perché le distanze sono simili e le cariche opposte: usa questa idea per spiegare perché il campo di un dipolo decresce con la distanza molto più rapidamente di quello di una carica isolata.

Una superficie chiusa racchiude le cariche $Q_1 = 7\ \text{nC}$ e $Q_2 = -2\ \text{nC}$; una terza carica $Q_3 = 8\ \text{nC}$ è situata fuori dalla superficie (poni $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). Osserva lo schema:

1. a) Calcola la carica netta racchiusa dalla superficie.
2. b) Calcola il flusso netto del campo attraverso di essa.
3. c) Giustifica perché $Q_3$ non interviene nel calcolo, anche se contribuisce al campo elettrico in ogni punto della superficie.
4. d) Se $Q_2$ passasse a valere $-7\ \text{nC}$, quanto varrebbe il flusso netto? Significherebbe che il campo è nullo sulla superficie? Motiva la risposta.

Uno strumento registra il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa divisa in due regioni: attraverso la regione 1 il flusso è $\Phi_1 = -200\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (le linee entrano) e attraverso la regione 2 è $\Phi_2 = +350\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (le linee escono); non ci sono altre regioni (poni $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). La figura mostra le due regioni e il verso delle linee.

1. a) Calcola il flusso netto attraverso l'intera superficie.
2. b) Deduci il segno della carica netta racchiusa e calcolane il valore applicando il teorema di Gauss.
3. c) Spiega che cosa accadrebbe ai due flussi misurati se la carica racchiusa raddoppiasse, restando invariato tutto il resto.

Una cupola semisferica di raggio $R = 0,3\ \text{m}$, con la base orizzontale, è immersa in un campo elettrico uniforme e verticale $E = 400\ \text{N/C}$. Osserva lo schema:

1. a) Spiega che il flusso attraverso la superficie curva della cupola è lo stesso che attraverso la sua proiezione orizzontale (il cerchio di base): le linee di campo che attraversano la semisfera sono esattamente quelle che attraversano la sua base.
2. b) Calcola quel flusso.
3. c) Se la cupola fosse chiusa con la sua base piana, formando una superficie chiusa senza cariche al suo interno, quanto varrebbe il flusso netto? Spiega come si compensano i flussi della parte curva e della base.

Considera un dipolo formato dalle cariche $+q$ e $-q$ (poni $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$ per il punto c)).

1. a) Spiega, disegnando sul quaderno i vettori campo di ciascuna carica, se esiste qualche punto del piano, a distanza finita, in cui il campo totale del dipolo sia nullo. Analizza separatamente: l'asse fuori dal segmento, l'asse tra le cariche, l'asse del segmento e un punto generico fuori da quelle rette.
2. b) Concludi dove si annulla realmente il campo di un dipolo.
3. c) Calcola il flusso netto attraverso una superficie chiusa che racchiude tutto il dipolo e collegalo al fatto che le sue linee di campo nascono in $+q$ e terminano in $-q$.

Due cariche identiche $q = 4\ \text{nC}$ sono separate da una distanza $d = 20\ \text{cm}$ (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Si studia il campo nei punti dell'asse del segmento che le unisce, a una distanza $y$ dal punto medio. La figura mostra la geometria.

1. a) Spiega, per simmetria, che il campo totale sull'asse del segmento è perpendicolare al segmento che unisce le cariche (quali componenti si annullano?).
2. b) Calcola il modulo del campo totale per $y = 0$, per $y = 10\ \text{cm}$ e per $y = 20\ \text{cm}$.
3. c) Calcola anche il modulo per $y = 7\ \text{cm}$.
4. d) Il campo è nullo in $y = 0$ e tende a zero quando $y$ è molto grande, ma inizialmente cresce con $y$: spiega, con i quattro valori calcolati, che deve esistere un massimo intermedio e stabilisci tra quali distanze si trova.

Un programma di simulazione disegna la mappa delle linee del campo elettrico di una distribuzione di cariche: in una regione A, $12$ linee attraversano ogni $\text{cm}^2$ perpendicolare al campo, e in una regione B solo $4$ linee. Osserva lo schema:

1. a) Che relazione c'è tra i moduli del campo in A e in B? Giustificalo a partire dal significato della densità di linee.
2. b) Se nella regione B il campo vale $200\ \text{N/C}$, calcola il flusso attraverso una superficie di $0,05\ \text{m}^2$, perpendicolare al campo, situata nella regione A.
3. c) Il numero di linee che attraversano una superficie è proporzionale al flusso, e le linee nascono o terminano solo dove ci sono cariche: usa queste due idee per spiegare qualitativamente il teorema di Gauss, cioè perché il flusso netto attraverso una superficie chiusa «conta» la carica racchiusa.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una carica puntiforme $Q = 4\ \text{nC}$ si trova al centro di una superficie sferica di raggio $R = 0,2\ \text{m}$ (dati: $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$; $K = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcola il flusso netto attraverso la sfera applicando il teorema di Gauss.
2. b) Per simmetria, il campo è radiale e ha lo stesso modulo in tutti i punti della sfera, per cui $\Phi = E \cdot 4 \cdot \pi \cdot R^2$. Ricava $E$ e calcolala.
3. c) Calcola lo stesso campo con la legge di Coulomb, $E = K \cdot \frac{Q}{R^2}$, e verifica che coincide.
4. d) Trai una conclusione sulla relazione tra il teorema di Gauss e la legge di Coulomb.