Esercizi: Energia e potenziale elettrico

Una piccola sfera del laboratorio ha una carica $Q = 3\,\mu\text{C}$ (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcola il potenziale elettrico a $0,5\ \text{m}$ dalla sfera, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Indica il segno del potenziale e spiega in quale luogo si assume, per convenzione, $V = 0$.

Il potenziale elettrico è una grandezza scalare; il campo elettrico, vettoriale.

1. a) Spiega quale differenza pratica comporta questo quando si sommano, in un punto, i contributi di più cariche.
2. b) Il potenziale in un punto può essere negativo? Fai un esempio.
3. c) Che segno ha il potenziale creato da una carica positiva?

Una carica $q = 2\,\mu\text{C}$ si trova in un punto in cui il potenziale è $V = 1000\ \text{V}$.

1. a) Calcola la sua energia potenziale elettrica, $E_p = q \cdot V$.
2. b) Se la carica, che è positiva, si spostasse spontaneamente verso un punto di potenziale minore, spiega se la sua energia potenziale aumenterebbe o diminuirebbe.

A partire dall'espressione del lavoro $W = q \cdot \Delta V$:

1. a) Deduci l'equivalenza $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$.
2. b) Spiega che cosa significa che tra i morsetti di una batteria d'auto ci sia una differenza di potenziale di $12\ \text{V}$, parlando dell'energia di ogni coulomb di carica che la attraversa.
3. c) Indica quali tra queste espressioni equivalgono a un volt: $\text{J/C}$; $\text{N/C}$; $\text{J}\cdot\text{C}$.

Una carica $q = 5\,\mu\text{C}$ si sposta da un punto A, con potenziale $V_A = 200\ \text{V}$, a un punto B, con $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Calcola il lavoro compiuto dal campo elettrico, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Spiega, a partire dal segno del risultato, se il campo «spinge» spontaneamente la carica in quel verso dello spostamento.

In fisica delle particelle si usa molto l'elettronvolt: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (dato: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Esprimi in joule un'energia di $3\ \text{eV}$.
2. b) Giustifica l'equivalenza precedente calcolando, con $W = q \cdot \Delta V$, l'energia che guadagna un elettrone accelerato da una differenza di potenziale di $1\ \text{V}$.

Due cariche puntiformi $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 2\,\mu\text{C}$ sono separate da $0,3\ \text{m}$ (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcola l'energia potenziale elettrica del sistema, $E_p = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}$.
2. b) Interpreta il segno del risultato: separando le cariche fino all'infinito, bisogna fornire energia o si libera? Collegalo al fatto che le cariche si respingono.

Tra l'interno e l'esterno di una cellula c'è una differenza di potenziale di circa $70\ \text{mV}$, con l'interno negativo (dato: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). La figura mostra lo schema della membrana.

1. a) Esprimi questa differenza di potenziale in volt e indica quanta energia occorre, come minimo, per trasportare un coulomb di carica positiva dall'interno all'esterno contro il campo.
2. b) Calcola l'energia necessaria per trasportare uno ione sodio $\text{Na}^+$ (carica $+e$) dall'interno all'esterno, in joule e in elettronvolt.

In un generatore di Van de Graaff del laboratorio si misura un potenziale di $6000\ \text{V}$ a $0,25\ \text{m}$ dal centro della sfera carica (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ e supponi la carica puntiforme).

1. a) Ricava la carica dall'espressione $V = K \cdot \frac{Q}{r}$ e calcolala.
2. b) Quanto varrebbe il potenziale a distanza doppia? Spiega la proporzionalità che hai usato.

Due cariche $q_1 = 4\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ si trovano, rispettivamente, a $0,3\ \text{m}$ e a $0,5\ \text{m}$ da un punto P (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcola il potenziale creato da ciascuna carica in P.
2. b) Calcola il potenziale totale in P.
3. c) Spiega perché qui i contributi si sommano direttamente come numeri, mentre per il campo elettrico bisogna sommare vettori.

Una carica $q = -3\,\mu\text{C}$ si sposta da un punto A ($V_A = 500\ \text{V}$) a un punto B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Calcola il lavoro compiuto dal campo, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Interpreta il segno negativo del risultato: è uno spostamento spontaneo o deve essere compiuto da un agente esterno?
3. c) Spiega verso dove si muoverebbe spontaneamente questa carica negativa: verso potenziali maggiori o verso potenziali minori?

Un rivelatore registra particelle molto energetiche (dato: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$).

1. a) Una particella registrata ha un'energia di $2,4\cdot10^{-17}\ \text{J}$: esprimila in elettronvolt.
2. b) Una particella alfa emessa in un decadimento nucleare ha un'energia di $5\ \text{MeV}$: esprimila in joule.
3. c) Spiega, confrontando i numeri precedenti, perché l'elettronvolt è un'unità comoda in fisica atomica e nucleare.

In un microscopio elettronico, un elettrone parte da fermo e viene accelerato mediante una differenza di potenziale $\Delta V = 2000\ \text{V}$ (dati: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa dell'elettrone $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Osserva lo schema:

1. a) Calcola l'energia cinetica che guadagna l'elettrone, in joule e in elettronvolt.
2. b) Applica la conservazione dell'energia, $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$, e calcola la sua velocità finale.

Perché due protoni possano fondersi all'interno del Sole devono vincere la loro repulsione elettrica e avvicinarsi moltissimo (dati: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$). La figura mostra l'energia potenziale della coppia di protoni in funzione della loro distanza.

1. a) Calcola l'energia potenziale elettrica di due protoni separati da una distanza $r = 1\ \text{nm}$.
2. b) Esprimi il risultato in elettronvolt.
3. c) Spiega perché la repulsione elettrica ostacola la fusione e che ruolo ha l'altissima temperatura dell'interno solare nel superarla.

Due cariche identiche $q = 5\ \text{nC}$ occupano i punti $(0, 0)$ e $(0, 40)$, con le coordinate in centimetri (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Spiega, disegnando i vettori sul quaderno, che il campo elettrico totale nel punto medio $P(0, 20)$ è nullo.
2. b) Calcola il potenziale elettrico in quello stesso punto P.
3. c) Trai una conclusione: è vero che dove il campo è nullo anche il potenziale lo è?

Tra i due elettrodi piani di un rivelatore di fumo a ionizzazione, separati da $d = 5\ \text{cm}$, c'è un campo elettrico uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ (dato: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Osserva lo schema:

1. a) Calcola la differenza di potenziale tra gli elettrodi, $\Delta V = E \cdot d$.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dal campo su uno ione positivo di carica $+e$ che va dall'elettrodo positivo a quello negativo.
3. c) Verifica che il risultato coincide con quello calcolato come $W = F \cdot d = e \cdot E \cdot d$ e spiega perché deve essere così.

Nella fase di accelerazione di un impianto di protonterapia (trattamento di tumori con fasci di protoni), un protone parte da fermo in un punto A con $V_A = 3000\ \text{V}$ e arriva a un punto B con $V_B = 500\ \text{V}$ (dati: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa del protone $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Calcola l'energia potenziale che perde il protone tra A e B.
2. b) Applica la conservazione dell'energia meccanica e calcola la velocità del protone in B.
3. c) Spiega, con il segno della carica e la variazione dell'energia potenziale, se il protone potrebbe muoversi spontaneamente in verso contrario, da B ad A.

Due cariche puntiformi $q_1 = 6\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ si trovano sull'asse $x$, in $x_1 = 0$ e $x_2 = 1\ \text{m}$ (poni $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Imposta la condizione $V = 0$ in un punto dell'asse ed esprimila come relazione tra le distanze da ciascuna carica: quale relazione deve valere tra $r_1$ e $r_2$?
2. b) Trova il punto dell'asse, tra le due cariche, in cui il potenziale si annulla.
3. c) Trova il punto dell'asse, a destra di $q_2$, in cui si annulla anch'esso.
4. d) Spiega perché non esiste alcun punto con $V = 0$ a sinistra di $q_1$.

Due cariche $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 3\,\mu\text{C}$, fissate a supporti isolanti, passano da una distanza di $1\ \text{m}$ a una distanza di $0,25\ \text{m}$ (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcola l'energia potenziale elettrica iniziale e finale del sistema.
2. b) Calcola il lavoro che deve compiere un agente esterno nel processo, $W_{ext} = \Delta E_p$.
3. c) Giustifica il segno del risultato: perché bisogna fornire lavoro per avvicinare due cariche che si respingono?
4. d) Quanto vale, nello stesso processo, il lavoro compiuto dal campo elettrico? Mettilo in relazione con quello dell'agente esterno.

In un tubo a raggi X di un ospedale, gli elettroni vengono accelerati verso l'anodo con una differenza di potenziale $\Delta V = 40\ \text{kV}$ (dati: carica elementare $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa dell'elettrone $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; velocità della luce $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). La figura mostra lo schema del tubo.

1. a) Esprimi la differenza di potenziale in volt e calcola l'energia cinetica di ogni elettrone quando arriva all'anodo, in elettronvolt e in joule.
2. b) Calcola la velocità finale dell'elettrone usando l'espressione classica $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$.
3. c) Confronta il risultato con la velocità della luce e commenta perché, a queste energie, l'approssimazione classica comincia a essere discutibile.

Tre cariche identiche $q = 1\ \text{nC}$ sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato $10\ \text{cm}$ (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcola l'energia potenziale di ciascuna coppia di cariche.
2. b) Somma i contributi di tutte le coppie e calcola l'energia potenziale totale del sistema.
3. c) Interpreta il risultato come il lavoro totale necessario per «costruire» la distribuzione portando le cariche, una alla volta, dall'infinito.
4. d) Spiega perché, in un sistema di cariche qualsiasi, non basta calcolare l'energia di una coppia e moltiplicarla per il numero di coppie: quale condizione è soddisfatta in questo caso che lo rende possibile?

Il tuo compagno afferma: «se in un punto il campo elettrico è nullo, anche il potenziale è nullo; e se il potenziale è nullo, anche il campo lo è» (prendi $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Confuta la prima parte con un esempio numerico: calcola il punto del segmento tra le cariche $q_1 = 9\ \text{nC}$ e $q_2 = 4\ \text{nC}$, distanti $1\ \text{m}$, in cui il campo è nullo, e calcola il potenziale in quel punto.
2. b) Confuta la seconda parte con un altro esempio numerico: calcola il potenziale e il campo nel punto medio tra le cariche $q_1 = +5\ \text{nC}$ e $q_2 = -5\ \text{nC}$, distanti $40\ \text{cm}$.
3. c) Spiega, a partire dalle definizioni di campo (vettoriale) e di potenziale (scalare), perché le due affermazioni sono in generale false.

In una regione, le superfici equipotenziali sono piani paralleli. Due di essi, distanti $2\ \text{cm}$, hanno potenziali $V_1 = 300\ \text{V}$ e $V_2 = 100\ \text{V}$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola il campo elettrico tra i due piani, supponendolo uniforme, $E = \frac{\Delta V}{d}$, e indica la sua direzione e il suo verso (il campo punta verso i potenziali decrescenti).
2. b) Calcola il lavoro che il campo compie spostando una carica $q = 2\ \text{nC}$ dal piano di $300\ \text{V}$ a quello di $100\ \text{V}$.
3. c) Uno studente sposta la carica prima «lateralmente», senza uscire dal piano di $300\ \text{V}$, e solo dopo la porta fino al piano di $100\ \text{V}$ lungo un percorso spezzato. Giustifica, usando il fatto che il campo elettrico è conservativo (il lavoro dipende solo dai punti iniziale e finale), che il lavoro totale è uguale a quello del punto b), e calcola il lavoro del tratto «laterale».

Durante un temporale, la base di una nube può trovarsi a un potenziale di circa $10^{8}\ \text{V}$ rispetto al suolo, e un fulmine può trasferire una carica di $20\ \text{C}$ (dato: $1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcola l'energia liberata nel fulmine, $E = Q \cdot \Delta V$.
2. b) Esprimila in kilowattora.
3. c) Il consumo elettrico mensile di un'abitazione è di circa $200\ \text{kW}\cdot\text{h}$: confronta i due valori e spiega perché, nonostante questa enorme energia, è così difficile sfruttare quella dei fulmini (pensa alla potenza istantanea e all'imprevedibilità delle scariche).

Sfida del tema. Progetta e calibra un sensore elettrostatico oscillante fatto in casa per caratterizzare il campo creato da un oggetto di uso quotidiano.

1. Montaggio e raccolta dei dati: Costruisci un pendolo con filo sottile e una pallina di alluminio ($m \approx 0,05\text{ g}$). Misura la lunghezza $L \pm \Delta L$ con un righello ($L = 0,300 \pm 0,001\text{ m}$). Cronometra $10$ oscillazioni libere con il cellulare (incertezza $\pm 0,2\text{ s}$) per determinare il periodo proprio $T_0$.

2. Trattamento vettoriale e flusso: Carica un righello di plastica per strofinio (modellalo come una distribuzione lineare di carica uniforme applicando la legge di Gauss per approssimare $\vec{E}$). Carica la pallina per contatto. Avvicinando il righello a una distanza fissa, imposta l'equilibrio vettoriale $\sum \vec{F} = \vec{T} + \vec{P} + q\vec{E} = \vec{0}$ a partire dall'angolo di deviazione per esprimere la carica netta $q$ in funzione della densità lineare di carica $\lambda$ del righello.

3. Energia oscillatoria e relazione: Allontana il pendolo con piccole ampiezze $A$ rispetto alla nuova posizione di equilibrio. Misura i periodi risultanti, ricava la costante di richiamo equivalente $k = m\omega^2$ e misura con la videoanalisi la velocità massima $v_{\max}$ in ogni caso; rappresenta in un grafico l'energia meccanica $E_m = \frac{1}{2}m v_{\max}^2$ in funzione di $A^2$ con le barre di dispersione e confrontala con la retta teorica $\frac{1}{2}kA^2$. Riassumi le tue conclusioni in una breve relazione.

Verrà valutato:

• Rigore nel trattamento sperimentale dei dati, nella propagazione delle incertezze e nel grafico.

• Corretta applicazione del teorema di Gauss e analisi vettoriale delle forze.

• Giustificazione coerente della conservazione dell'energia nel regime oscillatorio.